倒立擺MATLAB建模

1、線控大作業(yè)如圖所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立 擺在圖面內(nèi)運(yùn)動的二維問題。圖倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長度：2l=1m小車的質(zhì)量：M=1kg重力加速度：g=10/s2擺桿慣量：l=0.003kgm2擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。設(shè)計一個控制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件（由干擾引起）時，最大超調(diào)量%< 10%調(diào)節(jié)時間ts <4s ,使擺返回至垂直位置，并使小車返回至參考位置（x=0）。要求：1、建立倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程2、定量分析，定性分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)一一能控性、能觀性、穩(wěn)定性3、極點(diǎn)配置設(shè)計分析報告1系統(tǒng)建模在忽略了

2、空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和 勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。如下如所示。圖一級倒立擺模型其中：© 擺桿與垂直向上方向的夾角0擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。 其中，N和P為小車與擺桿相互作用 力的水平和垂直方向的分量。注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉２肥甔圖3-2小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:Mx F bx N由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:即:m£(xdt2l sin )N

3、 mx ml cos ml 2 sin把這個等式代入式(3-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個運(yùn)動方程：2(M m)x bx ml cos ml sin F為了推出系統(tǒng)的第二個運(yùn)動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析,可以得到下面方程：P mgd2m 2 (l cos ) dt2P mgmlsinml 2 cos力矩平衡方程如下：Pl sinNl cosI注意：此方程中力矩的方向，由于，COS cos ,sin sin ，故等式前面有負(fù)號。合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運(yùn)動方程：2(I ml ) mgl sin mlxcos設(shè)(是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè) 與1 (單位是弧度)相

4、比很小，艮卩1，則可以進(jìn)行近似處理：cos1,si n,(d)2 0<dt用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運(yùn)動方程如下：(I +ml2)$ mgl m圖(M m)X& b& mU& u對式(3-9)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到2 2 2(I ml ) (s)s mgl (s) mlX (s)s2 2(M m)X(s)s bX (s)s ml (s)s U (s)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組的第一個方程，可以得到：2X(s)仏旦引(s)ml s(s)mls2X(s) (I ml2)s2 mgl如果令v x，則有:(s)ml2

5、2V (s)(I ml )s mgl把上式代入方程組的第二個方程，得到:2 2(I ml ) g , (I ml ) g(Mm)b2 (s)s ml (s)s U (s)ml sml s整理后得到傳遞函數(shù)：ml 2 s(s)U (s)s4qb(Iml XI(M m) Mml 2 (M m) Mml) 3 (Msqm)mgl sqbmgl q其中q (Mm)(I2 2 ml ) (ml)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：X AX Buy CX Du方程組對x,解代數(shù)方程,得到解如下:(I ml2)I (M m) Mml2 U(I ml2)bx2 2m glmlbI(M m) Mml2 xmgl (M m)I

6、 (M m)Mml 2I (Mmlm) Mml2 U12)b000(Iml2 2m gl0xI ml2I (Mm)Mml2I(Mm)Mml2xI(Mm) Mml20010mlbmgl(Mm)0mlI (Mm)Mml2I(Mm)Mml2I(Mm) Mml2xx10 00 x0y00 10u 00u00整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:0代入倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長度：2l=1m小車的質(zhì)量： M=1kg 重力加速度： g=10/s2 擺桿慣量： I=0.003kgm2 x& x& & &0100x00010x&1u0001000110&a

7、mp;1另外，也可以利用 MATLAB 中 tf2ss 命令對 (3-13)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得上述 狀態(tài)方程。2 系統(tǒng)分析2.1 判斷系統(tǒng)能控性和能觀性在MATLAB中，可以利用ctrb()和obsv()函數(shù)直接求出能控性和能觀性矩陣A=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;1;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc);n=size(A);if rc=ndisp('system is controlled.')elseif rc<n disp('system is u

8、ncontrolled.') endVo=obsv(A,C);ro=rank(Vo);if ro=ndisp('system is observable.')elseif ro=ndisp('system is no observable.')End運(yùn)行情況如下:2.2系統(tǒng)穩(wěn)定性A=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0；1；0；1；C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0；0；P=poly(A),v=roots(P) 運(yùn)行結(jié)果如下：特征值為0 (二重)，3.3166,-3.3166,顯然，其中一個極點(diǎn)在右半平面，該

9、系統(tǒng)不穩(wěn)定。3系統(tǒng)設(shè)計極點(diǎn)配置與控制器設(shè)計極點(diǎn)配置的方法就是通過一個適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣的狀態(tài)反饋方法，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意期望的位置。X(t) = Ax(t) + Bu(t)，其中X是狀態(tài)變量(n維)，u是控制信號，這里選 取控制信號為u = - Kx，X(t)= (A- BK)?x(t)，該方程的解為 x(t)= e(A-BK)t?x(0)， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性由矩陣 A - B K的特征決定。K =-(心 K2 K3 心)衣，閉環(huán)系統(tǒng)的方程為& Ax+ Bf = (A- BK)x ，選取所希望的極點(diǎn)值為，Pl P2 P3 P4設(shè)計狀態(tài)反饋陣時，要使系統(tǒng)的極點(diǎn)設(shè)計

10、成具有兩個主導(dǎo)極點(diǎn)，兩個非主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行參數(shù)的確定。 最大超調(diào)量小于等于10%，調(diào)節(jié)時間為4S, 運(yùn)用超調(diào)量的計算公式，-zpd%= e 1異？ 100%，其中z為阻尼系數(shù)，有該公式可求得，阻尼系數(shù)z =0.59，小于1，是欠阻尼。33ts =（- s為極點(diǎn)實(shí)部），可以求得 wn=1.27zwn s則極點(diǎn)公式為P1,2 = - zWn? j / Z2 n，得到兩個共軛極點(diǎn)為p,2 = - 0.75? j1.025.配置非主導(dǎo)極點(diǎn)P3= - 15, P4 = - 15，在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了單變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置acker(),其格式為K=acker(A

11、,B,p)程序如下：A=0 1 0 0;0 0 -2 0;0 0 0 1;0 0 22 0;B=0；1；0；-1；C=1 0 0 0;0 1 0 0； 0 0 1 0； 0 0 0 1;D=0;rc=ra nk(ctrb(A,B);p=-0.75+1.025j,-0.75-1.025j,-15,-15;K=acker(A,B,p)運(yùn)行結(jié)果如下：clear>> a=o i o o；o o i o.o a o i ；o o 11 o；0;1,0；,1,C=1 0 0 0;0 0 1 01 :B=0;0.rc=rank(ctrb (A, B),p= -0. 75H. 025J.-D. 75-1.025-1 -15;K=acker(A, E, p)4程序及其執(zhí)行結(jié)果該二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為下圖所示0.4o O-OJpnEu/v0.40.1-O.s_=0el00.10.20 3 4050,5Time (sec)F ie I_ n x1FileEd it Viev/ jnsert Tools Desktop VVIndow