東北大學(xué)巖石力學(xué)講義彈性力學(xué)與巖石力學(xué)基礎(chǔ)彈性力學(xué)部分

1、彈性力學(xué)與巖石力學(xué)基礎(chǔ)彈性力學(xué)部分第一章 緒 論彈性體是理想化的固體，自然界中并不存在。但大部分工程材料，在屈服以前的一定載荷范圍內(nèi)，都可以看作是彈性體。彈性力學(xué)研究載荷作用下彈性體變形與應(yīng)力狀態(tài)的科學(xué)。彈性體的定義卸載以后完全恢復(fù)初始形狀和大小的物體，更加學(xué)術(shù)性的說法：“應(yīng)力與應(yīng)變一一對(duì)應(yīng)”。彈性與塑性的差別主要在于卸載以后能否恢復(fù)變形，或者是否存在永久變形。理論力學(xué)：研究外力作用下剛體的運(yùn)動(dòng)。材料力學(xué)：研究具有特殊形狀的彈性體（主要是一維桿件）在載荷作用下的變形與應(yīng)力。結(jié)構(gòu)力學(xué)：研究桿系結(jié)構(gòu)，對(duì)于單根稈子，采用材料力學(xué)中同樣的假設(shè)。稈子之間的連接，符合一定的力學(xué)條件。彈性力學(xué)是材料力學(xué)和結(jié)

2、構(gòu)力學(xué)的繼續(xù)。彈性力學(xué)分為數(shù)學(xué)彈性力學(xué)和應(yīng)用彈性力學(xué)。數(shù)學(xué)彈性力學(xué)是用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析方法，在相當(dāng)一般的假設(shè)下，首先建立起彈性力學(xué)的合理的數(shù)學(xué)模型，即彈性力學(xué)的初邊值問題，然后討論解的性質(zhì)，即存在性、唯一性、穩(wěn)定性等，同時(shí)尋求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求出其解，供工程部門參考。對(duì)于應(yīng)用彈性力學(xué)，如板殼理論、彈性穩(wěn)定性理論，雖然也可以采取數(shù)學(xué)分析的方法尋找具體問題的解，但為了提供實(shí)際需要的結(jié)果，不得不作出進(jìn)一步的假定，如板殼理論中的直線法假定。數(shù)學(xué)彈性理論和應(yīng)用彈性力學(xué)之間沒有明確的界限。彈性力學(xué)與材料力學(xué)以及結(jié)構(gòu)力學(xué)的差別在于，在更一般的假設(shè)下，研究任意形狀彈性體，在載荷作用下的變形。假設(shè)更少，比如拋棄了材

3、料力學(xué)中梁的平截面假設(shè)，忽略橫向集中引起的壓應(yīng)力等。2. 1 彈性力學(xué)的基本規(guī)律1、運(yùn)動(dòng)(或平衡)規(guī)律彈性力學(xué)研究物體宏觀運(yùn)動(dòng)和變形，因此，牛頓的三大運(yùn)動(dòng)定律，即動(dòng)量守恒、動(dòng)量矩守恒、作用力和反作用力定律也是彈性力學(xué)中的基本規(guī)律。2、熱力學(xué)基本定律。3、幾何連續(xù)性規(guī)律。4、線性(或非線性)彈性規(guī)律。前三條規(guī)律，對(duì)所有宏觀物體的低速運(yùn)動(dòng)和變形都適用，第4條規(guī)律是彈性力學(xué)與其它變形體力學(xué)的本質(zhì)區(qū)別。彈性力學(xué)的理論是圍繞以上幾個(gè)方面的規(guī)律建立起來的。2. 2 彈性力學(xué)的基本假設(shè)1、連續(xù)性：材料內(nèi)部不存在空隙，理想模型，理想材料而非實(shí)際情況。優(yōu)點(diǎn)：一切物理量和材料性質(zhì)參數(shù)都是空間位置的連續(xù)函數(shù)，如密度

4、、位移、應(yīng)力、應(yīng)變、彈模、泊松比、強(qiáng)度等性質(zhì)參數(shù)（注：對(duì)于非均勻材料），可以應(yīng)用連續(xù)性數(shù)學(xué)的研究成果。2、均勻性：物體內(nèi)部不同點(diǎn)處的彈性性質(zhì)處處相等。（即相關(guān)的材料性質(zhì)參數(shù)為常量）。3、各向同性：物體的彈性性質(zhì)與方向無關(guān)（具體指彈模、泊松比）4、彈性假設(shè)：此處指：1)卸載后恢復(fù)原狀（與定義相同）；2)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一一對(duì)應(yīng)。即單一函數(shù)假設(shè)。以上四個(gè)假設(shè)中1、4最基本，其他可以放松，得到不同的彈性力學(xué)。其它經(jīng)常使用的假設(shè)：(1) 線性彈性，比上面假設(shè)4 更強(qiáng)的限制。(2) 小變形，位移與應(yīng)變之間的線性關(guān)系，即幾何方程是線性的(3) 無初應(yīng)力假設(shè)。以上假設(shè)（1）、（2）、（3）都可以放松，得到非線性

5、彈性力學(xué)，大變形彈性力學(xué)等。本課程涉及的假設(shè)，連續(xù)、均勻、各向同性，小變形，無初應(yīng)力。2. 3 彈性力學(xué)的發(fā)展在日常生活中，人們利用彈性性質(zhì)的歷史可以追溯到非常久遠(yuǎn)的年代。但是探討其科學(xué)基礎(chǔ)，最先的嘗試到現(xiàn)在為止只有370多年的歷史，這便是1638年伽利略所做的嘗試。彈性力學(xué)的發(fā)展過程和一般科學(xué)的發(fā)展過程是一樣的。通過實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的積累和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的綜合，得到一些基礎(chǔ)原理，然后將這些原理作為應(yīng)用的根據(jù)，在生產(chǎn)實(shí)踐的過程中加以推廣，在應(yīng)用過程中又得到更深入的經(jīng)驗(yàn)，再結(jié)合科學(xué)實(shí)驗(yàn)，得到更廣泛的原則。數(shù)學(xué)是彈性力學(xué)的重要支柱，沒有數(shù)學(xué)就沒有彈性力學(xué)。另一方面，彈性力學(xué)也促進(jìn)和推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。彈性力學(xué)不僅

6、是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，也是一門基礎(chǔ)性學(xué)科。彈性力學(xué)的發(fā)展大體上可分為四個(gè)時(shí)期：1、發(fā)展初期(1660年1820年)從胡克(1660年)的實(shí)驗(yàn)到納維和柯西提出彈性理論基礎(chǔ)問題為止。除了胡克的實(shí)驗(yàn)，這個(gè)時(shí)期還有托馬斯揚(yáng)的試驗(yàn)(1807年)。因?yàn)闆]有成熟的理論，這個(gè)時(shí)期的工作主要是實(shí)驗(yàn)。還試圖用最粗糙和不完備的理論處理一些簡單構(gòu)件的力學(xué)問題。如J. 柏努利提出了梁的彎曲理論(1705年)和平板振動(dòng)理論。D. 柏努利(1744年)提出了彈性細(xì)桿問題。歐拉(1757年)提出柱體穩(wěn)定性和棒的振動(dòng)問題。庫侖(1776年)提出了現(xiàn)在材料力學(xué)中應(yīng)用梁的彎曲理論。從彈性力學(xué)的觀點(diǎn)來看，這些理論都基于很粗略的假定

7、，現(xiàn)在已歸入材料力學(xué)的內(nèi)容。彈性力學(xué)以后的發(fā)展表明，這些理論或多或少都有些問題，有些是完全不正確的。2、理論基礎(chǔ)的建立期（1821年1855年）從納維和柯西提出彈性理論的基礎(chǔ)問題，到格林和托馬斯確定最一般情況下彈性系數(shù)是21個(gè)為止。納維從分子運(yùn)動(dòng)論出發(fā)(微觀分析)，推出各向同性的均勻的彈性體只有一個(gè)彈性常數(shù)。柯西從宏觀角度出發(fā)，推出均勻各向同性的彈性體有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)?？挛骱筒此筛鶕?jù)分子間相互作用力指出，在最普遍的情況下，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有15個(gè)，而各向同性的彈性體只有一個(gè)，實(shí)驗(yàn)表明這個(gè)論斷與實(shí)際不符。格林用能量守恒定律，指出最普遍的彈性體，有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。以后托馬斯用熱力學(xué)第一定

8、律和第二定理證明了同樣的結(jié)果。同時(shí)證明各向同性彈性體有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。在這個(gè)時(shí)期，彈性力學(xué)獲得了穩(wěn)固的基礎(chǔ)，彈性力學(xué)已經(jīng)成為在給定的初邊條件下，求解基本方程的數(shù)學(xué)問題。3、線彈性力學(xué)的發(fā)展時(shí)期(1854年1907年)這個(gè)時(shí)期的特點(diǎn)是彈性力學(xué)大量地應(yīng)用到工程問題中。圣維南(1854年)發(fā)表了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的論文，同時(shí)開創(chuàng)了用半數(shù)學(xué)半物理的聯(lián)合解法求解常見的彈性力學(xué)方程。理論與實(shí)驗(yàn)完全吻合。艾里(1882年)解決了板平衡和振動(dòng)問題，提出了求解彈性力學(xué)平面問題的艾里應(yīng)力函數(shù)。愛倫(1874年)提出了薄殼問題。這個(gè)時(shí)期還建立了彈性力學(xué)的一般原理：最小勢(shì)能定理、最小余能定理、虛功原理、功的互等定理。4、非線性彈性力學(xué)的發(fā)展時(shí)期(1907年至今)卡門(1907年)提出了薄板大撓度問題(大位移問題)。比奧和摩納(1937年1939年)提出了大應(yīng)變問題?？ㄩT和錢學(xué)森(1939年)提出了薄殼的非線性穩(wěn)定問題。同時(shí)線性問題也在不斷發(fā)展?？ㄩT和錢偉長(1946年)發(fā)展了薄壁桿件理論。胡勃、胡海昌等(1953年)發(fā)展了各向異性彈性力學(xué)。熱彈性力學(xué)、電磁彈性力學(xué)、氣動(dòng)彈性、水動(dòng)彈性、非線性板殼理論，也在這個(gè)時(shí)期得到發(fā)展。彈性力學(xué)的廣義變分原理推廣到了塑性力學(xué)。提出了許多近似計(jì)算方法，李茲法、伽遼金法、有