圖形運動與幾何證明題中的輔助線添加1

1、努力打造國內(nèi)最開放的資源下載基地和最專業(yè)的遠程教育平臺！圖形運動與幾何證明題中的輔助線添加上海初中數(shù)學(xué)新教材的特色之一是打破平面幾何的公理體系，將平面幾何大致分成直觀幾何、實驗幾何和論證幾何。其編者意圖一方面是為了順利實現(xiàn)幾何的入門教學(xué)，另一方面通過實驗幾何中學(xué)生的動手操作去發(fā)現(xiàn)幾何知識并進一步發(fā)現(xiàn)解決幾何問題的方法。教學(xué)中如果能利用好這部分內(nèi)容對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)將很有裨益。由于實驗幾何又以線段或直線的平移、基本圖形的旋轉(zhuǎn)與翻折為核心，而這部分內(nèi)容對于幾何證明題中的輔助線添加又有著非常密切的關(guān)系。因為我們可以通過圖形運動把幾何題中分散的條件匯聚到一個基本圖形或者通過圖形運動把題目中不很明朗

2、的、比較隱蔽的條件明朗化。本文試圖通過圖形運動的三種基本形式對平面幾何證明題中的輔助線添加作點探索，拋磚以期引玉。一、線段或直線的平移平移的特征是把線段或直線從一個地方移動到另一個地方，通過平移可以將圖形中一些分散的條件匯集到一起，也可以把不太明朗的關(guān)系明朗化。特別是對于有些條件比較隱蔽的幾何題，往往能起到“柳暗花明又一村”的效果。由于線段或直線在平移過程中保持著線段的長短和角的大小不變，這一結(jié)論對于將題目中的有用條件集中到一起從而能比較容易的添加出輔助線以達到解題的目的很有好處。例、如圖一，在梯形ABCD 中，A+B=90°，ABCD，M、N分別是AB、CD 的中點，求證：MN=1

3、（ABCD）。 2分析：觀察本題的已知條件90°中的、分別為梯形的兩個底角不利于這一條件的應(yīng)用。比較理想的是將這兩個角放到一個三角形中，從而可以利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)來解決。又考慮到通過線段的平移可以將一個角從一個位置移動到另一個位置，這樣，就想到過點作的平行線。也就是將線段平移到線段，可以得到°。自此不難發(fā)現(xiàn)（ABCD）AP。而AP為直角三角形ADP的斜邊，要證MN1AP，只要證等于邊上的中2圖一線，因此，想到取線段AP的中點G并連結(jié)DG，這樣只要證明=MN，只需證明四邊形DGMN為平行四邊形就可以了。這由GM=AMAG=ABAP）=121B211CD=DN及ABCD即

4、可證明。 22證明從略。例、求證：兩中線相等的三角形是等腰三角形。已知：如圖二，ABC中，、分別是AB、AC的中點，BECD。求證：ABAC。 分析：本題中的BECD不能直接應(yīng)用，而證明AB AC的基本思路是證明ABC=ACB,因此只需證明BCE CBD,只需證明EBC=DCB,要證明這兩個角相等就需 要把這兩個角中的一個進行移動?？紤]到線段的平移能把 一個角從一個地方移動到另一個地方，故過點作的 平行線并和BC的延長線相交于F,從而把平移到 位置。只需證明，而連結(jié)、后，DEBC，容易證明四邊形為平行四邊形，從而原命題可證。證明從略。圖二 1努力打造國內(nèi)最開放的資源下載基地和最專業(yè)的遠程教育平

5、臺！例、由平行四邊形ABCD的頂點作它的高AE、AF，已知EF，AC（如圖三），求點到AEF的三條高的交點的距離。分析：若從已知條件直接求相當困難。而題目中的基本圖形是平行四邊形，平行關(guān)系較多，如、FHCEAG等等,因此可以考慮將圖中的某些線段進行平移。故將AE平移到CG。這一平移既保持了CG=AE，又有CGAD。從而EG=AC，由于四邊形HECF為平行四邊形，四邊形AECG為矩形，所以HF=CE=AG，從而四邊形AHFG為平行四邊形，AH=FG，又AHEF，GFAH，EFG為直角三角形，所以圖三EG2-EF2b2-a2。本題的解題關(guān)鍵是將平移到并由此得到若干個相等線段和平行四邊形，由此可見，

6、線段或直線的平移對于幾何題中的輔助線添加有著非常重要的作用。證明從略。二、圖形的旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)是把圖形的一部分或全部繞著一個確定的點從一個位置移動到另一個位置。通過旋轉(zhuǎn)可以把題目中一些不明朗的關(guān)系明朗化，它的最大特點是在旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)部分兩點之間的距離不變、兩直線間的夾角不變和對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。它的使用范圍一般是等腰三角形或中心對稱圖形。有時再結(jié)合基本輔助線添加更能體現(xiàn)其在添加輔助線中的優(yōu)勢。例、如圖四，已知ABC中，點M是BC邊上的中點，過M作BAC的平分線AD的平行線交AB于E，交CA的延長線于F點。求證：BE=CF 分析：這一題的已知條件中有M是線段BC的中點， A即點M為線段B

7、C的對稱中心，同時考慮到相似三角 F形中的基本圖形“8”字形，故可將FMC繞中點 M旋轉(zhuǎn)180°，這時線段CF也由原來的位置移動到線段BN位置，而BN、E同在BEN中，只要證明BEN為等腰三角形即可。而，BEM=FEA，只要證明FEA=F。又F=CAD，F(xiàn)EA=BAD，AD又是角平分BMDC線，從而此題可證。此題的解題關(guān)鍵在于將線段CF旋轉(zhuǎn)到線段BN，從而將要證明相等的兩條線段集中到一個三角形中，而這一考慮正是基于點M為線段BC的中點（對稱中心），因此，有中心對稱圖形的幾何題的輔助線添加不妨仿此一試。證明從略。N例5、設(shè)P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=5，PB=4，PC=3，求

8、此等邊三角形的邊長。 分析：如圖五，本題的難度在于已知的PA、PB、PC是分散的，難以直接利用，因此必須添加輔助線。 又由于ABC為等邊三角形，從而可以考慮到利用旋 轉(zhuǎn)法來添加輔助線。但將那一部分旋轉(zhuǎn)又怎樣怎樣旋 轉(zhuǎn)呢？注意到CA=CB=AB，因而將ACP繞C點按逆時 針旋轉(zhuǎn)60°，點A到達點B，點P到達點D，即ACP BCD， 此時PCD是等邊三角形。PD=3，BD=AP=5，PB=4，根據(jù)勾股定理的逆定理知BPD=90°。過B點作CP的垂線交CP的延長線于E。BPE=180°°°°，從而， 圖五 CE=3+23這樣可以通過直角三角

9、形CBE的斜邊長求努力打造國內(nèi)最開放的資源下載基地和最專業(yè)的遠程教育平臺！出三角形ABC的邊長。證明從略。例6、在等腰直角三角形ABC中E、D分別是直角邊BC、AC上的點，且CE=CD。過C、D作AE的垂線交斜邊AB于L、K，求證：BL=LK。分析：如圖六，欲證BL=LK，由于三角形ABC為等腰直角三角形，即CA=CB，因此可以將直角三 角形CAE繞C點旋轉(zhuǎn)90°得到直角三角形CBF。 這時點A、D、C、E在一條直線上且有CF=CE=CD， 因此只要證明BFLCKD，只要證明FBC= LCB，而FBC=EAC，只要證明LCB=EAC，這一點利用同角的余角相等即可得到該結(jié)論。證明從略。

10、三、圖形的翻折 B L K A翻折就是將圖形中的一部分沿著一條直線進圖六 行翻折。通過翻折可以構(gòu)造出軸對稱圖形并充分利用軸對稱圖形的性質(zhì)進行解題。例如等腰三角形、等腰梯形等等。它的基本特點是各個對稱點到對稱軸的距離相等，因此利用圖中的已知相等線段并以其對稱軸為對稱軸構(gòu)造軸對稱圖形是一種常見的輔助線添加方法。 例、如圖七，已知：ABC中，AD為BAC 的平分線，EF為AD的垂直平分線 ，EF、BC交于 2F，求證：DF=FC×FB。 分析：這個題目中既有角平分線又有線段的垂直平分線，它們分別是這兩個基本圖形的對稱軸，若要翻折將那一部分翻折？結(jié)合結(jié)論中的線段DF、FC、FB都在一條直線上

11、證明起來很不方便，因此考慮到將DFE沿著直線EF（EF為線段AD的 2對稱軸）翻折。故連結(jié)A、F。這時，只要證明AF=FC 圖七 ×FB，只要證明ACFABF，只要證明FAC=FBA。由于FA=FD，所以FAD=FDA，ADF=B+BAD，F(xiàn)AD=FAD+CAD，而BAD=CAD為已知，故命題得證。證明從略。例8、如圖八，已知ABC中，ABAC，AD平分BAC，P是AD上任一點，求證：AB。分析：由于P點在BAC的平分線上，直線AP是BAC的對稱軸。又因為線段AB、AC、PB、PC在圖中相對分散，因此可將ABP沿著直線AD翻折得到AEP。這時，AE=AB， PE=PB，ABAC=AE

12、AC=CE。因此只要比較 PEPC與CE的大小，而這一點在PCE中 是顯然的。 證明從略。圖八 例9、如圖九，在等腰直角三角形ABC 中，E、F分別是底邊BC上的兩點，且EAF=45°。求證：以BE、EF、FC 為邊的三角形為直角三角形。努力打造國內(nèi)最開放的資源下載基地和最專業(yè)的遠程教育平臺！分析：線段BE、EF、FC在一條直線上， 要證明它們能組成直角三角形，關(guān)鍵是將它們移到一個三角形中以便于找到其邊或角之間的關(guān)系。所以將ACF沿著直線AF翻折得到 ADF，這時DF=CF，考慮到移動的目的，連 結(jié)DE并期望著DE=BE。故想到證明ABE ADE。因為CAF=DAF，所以DAE=BAE。又 AD=AC=AB，故ABEADE。ADE=B=45°， 而ADF=C=45°，所以EDF為直角三角形。 即BE、EF、FC組成直角三角形。本題的翻折圖九 D 主要