第9章 動力學(xué)有限元

1、如圖所示有一工字形截面的外伸梁，外伸端長度為a=1m，跨度l=2m，外伸端受到W=10KN/m的均布載荷的作用。工字形截面的截面面積為A=45cm2，彈性模量E=200GPa，抗彎慣性矩Iz=5000cm4，求此外伸梁跨中的最大撓度。有一材料為鋼的軸類零件，其結(jié)構(gòu)如圖所示，兩端受50MPa的面載荷作用。已知鋼的彈性模量是200GPa，泊松比為0.3，試分析該零件內(nèi)部的應(yīng)力分布情況。現(xiàn)有一個薄壁圓筒，如圖所示。圓筒長度L為0.5m，壁厚t為5mm，內(nèi)徑R為0.2m，薄壁圓筒在其長度的中心處受一對沿著直徑方向的壓力F的作用，力的大小為1000N，求薄壁圓筒在受力點處的徑向位移，圓柱的兩端在邊界處自

2、由。已知薄壁圓筒的彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。長寬均為1m的厚度為0.05m的鋼板，在兩邊和中間位置均焊接有加強(qiáng)筋，建立其有限元分析模型。9.1 引言9.2 動力學(xué)有限元基本方程9.3 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣9.4 結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型9.5 結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)9.6 動力響應(yīng)算例9.1引引 言言u 動力學(xué)問題中最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，它有兩類研動力學(xué)問題中最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，它有兩類研究對象。一類是在運(yùn)動狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，例如，高究對象。一類是在運(yùn)動狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，例如，高速旋轉(zhuǎn)的電機(jī)，往復(fù)運(yùn)動的內(nèi)燃機(jī)，以及高速運(yùn)行的飛行器，速旋轉(zhuǎn)的電機(jī)，往復(fù)運(yùn)動的內(nèi)燃機(jī)

3、，以及高速運(yùn)行的飛行器，如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性是極為重要的研如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性是極為重要的研究課題。另一類是承受動力載荷作用的工程結(jié)，例如建于地究課題。另一類是承受動力載荷作用的工程結(jié)，例如建于地面的高層建筑和廠房，正確分析和設(shè)計這類結(jié)構(gòu)，在理論和面的高層建筑和廠房，正確分析和設(shè)計這類結(jié)構(gòu)，在理論和實際上都是具有重要意義的。實際上都是具有重要意義的。u 動力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問題。動力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問題。有限元方程（剛度方程）：靜力學(xué)問題：K =F靜力問題： 1) 靜止; 2) 勻速動力問題：外載隨時間變化大動載荷

4、（又稱動力分析）動載荷（又稱動力分析）固有特性分析固有特性分析響應(yīng)分析響應(yīng)分析固固有有頻頻率率振振型型位位移移響響應(yīng)應(yīng)速速度度響響應(yīng)應(yīng)加加速速度度響響應(yīng)應(yīng)動動應(yīng)應(yīng)變變動動應(yīng)應(yīng)力力固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度分布）決定，固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度分布）決定，而與外部載荷無關(guān)，但決定了結(jié)構(gòu)對動載荷的響應(yīng)；而與外部載荷無關(guān)，但決定了結(jié)構(gòu)對動載荷的響應(yīng)；響應(yīng)分析：是計算結(jié)構(gòu)對給定動載荷的各種響應(yīng)特性。響應(yīng)分析：是計算結(jié)構(gòu)對給定動載荷的各種響應(yīng)特性。以三維實體動力分析為例，用有限元法求解的基本步驟如下：以三維實體動力分析為例，用有限元法求解的基本步驟

5、如下：（1）連續(xù)區(qū)域的離散化）連續(xù)區(qū)域的離散化（2）構(gòu)造插值函數(shù)）構(gòu)造插值函數(shù)由于只對空間域進(jìn)行離散，所以單元內(nèi)位移由于只對空間域進(jìn)行離散，所以單元內(nèi)位移u,v,w的插值分別表的插值分別表示為示為:eNau ),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxuu（9.1）其中其中nNNNN.21),.,2 , 1(3*3niINNii),.,2 , 1()()()(.21nitwtvtuaaaaaiiiine（3）形成系統(tǒng)的求解方程）形成系統(tǒng)的求解方程)()()()(tQtKataCtaM（9.2）其中其中)()(tata和分別是系統(tǒng)的結(jié)點加速度向量和結(jié)點速度向量分別是系統(tǒng)的結(jié)點加速度向量和結(jié)點速

6、度向量，M,C,K和和Q(t)分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度和結(jié)點載荷向量。分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度和結(jié)點載荷向量。（4）求解運(yùn)動方程）求解運(yùn)動方程)()()(tQtKataM（9.3）如果忽略阻尼的影響，則運(yùn)動方程簡化為如果忽略阻尼的影響，則運(yùn)動方程簡化為0)()(tKataM如果上式的右端項為零，則上式進(jìn)一步簡化為如果上式的右端項為零，則上式進(jìn)一步簡化為（9.4）這是系統(tǒng)的自有振動方程，又稱為動力特性方程。這是系統(tǒng)的自有振動方程，又稱為動力特性方程。（5）計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力）計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的有限元法的實質(zhì)就是將一個彈性連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的有限元法的實質(zhì)就是將一個彈

7、性連續(xù)體的振動問題，離散為一個以有限個節(jié)點位移為廣義坐標(biāo)的的振動問題，離散為一個以有限個節(jié)點位移為廣義坐標(biāo)的多自由度系統(tǒng)的振動問題。其基本原理和分析方法類同靜多自由度系統(tǒng)的振動問題。其基本原理和分析方法類同靜力學(xué)的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不力學(xué)的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不同的是，應(yīng)用振動理論建立動力學(xué)方程時，在單元分析中同的是，應(yīng)用振動理論建立動力學(xué)方程時，在單元分析中除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣；在除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣；在整體分析中，不僅求動力響應(yīng)，還有求解特征值問題（結(jié)整體分析中，不僅求動力響應(yīng)，還有求解特征值

8、問題（結(jié)構(gòu)振動的固有頻率及相應(yīng)的振動型（或模態(tài)）構(gòu)振動的固有頻率及相應(yīng)的振動型（或模態(tài)）從以上步驟可以看出，和靜力分析相比，在動力分析中，由于慣從以上步驟可以看出，和靜力分析相比，在動力分析中，由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，最后得到求解方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其陣，最后得到求解方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其它的計算步驟和靜力分析是完全相同的。它的計算步驟和靜力分析是完全相同的。關(guān)于二階常微分方程組的解法有兩類：關(guān)于二階常微分方程組的解法有兩類：直接積分法和振型疊加法直接積分法和振

9、型疊加法。直接積分法是直接對運(yùn)動方程積分。而振型疊加法是首先求解一直接積分法是直接對運(yùn)動方程積分。而振型疊加法是首先求解一無阻尼的自由振動方程，然后用解得的特征向量，即固有振型對無阻尼的自由振動方程，然后用解得的特征向量，即固有振型對運(yùn)動方程式進(jìn)行變換。運(yùn)動方程式進(jìn)行變換。動力分析的計算工作量很大，因此提高效率，節(jié)省計算工作量的動力分析的計算工作量很大，因此提高效率，節(jié)省計算工作量的數(shù)值方案和方法是動力分析研究工作中的重要組成部分。目前兩數(shù)值方案和方法是動力分析研究工作中的重要組成部分。目前兩種普遍應(yīng)用的減縮自由度的方法是種普遍應(yīng)用的減縮自由度的方法是Guyan減縮法和動力子結(jié)構(gòu)法。減縮法和動

10、力子結(jié)構(gòu)法。 eKR ( )( )eKtR t( )( )eTF tMt ( )R t( )F t( )TF t( )cF t ( )( )ecF tCt ( )( )( )( )eeeMtCtKtF tl 從靜力學(xué)有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限從靜力學(xué)有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限個單元，建立整體剛度平衡方程：個單元，建立整體剛度平衡方程：l 關(guān)于靜力問題和動力問題的區(qū)別，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動力學(xué)問題關(guān)于靜力問題和動力問題的區(qū)別，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動力學(xué)問題只要在外力中計入慣性力后，便可按靜力平衡處理?？紤]到動力問題只要在外力中計入慣性力后，便可按靜力平衡

11、處理?？紤]到動力問題中的載荷和位移均為時間的函數(shù)，上式可記為：中的載荷和位移均為時間的函數(shù)，上式可記為：l 由于動力載荷由于動力載荷 可為作用于彈性體上的動載荷可為作用于彈性體上的動載荷 ，也可為彈，也可為彈性體的慣性力性體的慣性力 ，也可為與速度相關(guān)的阻尼力，也可為與速度相關(guān)的阻尼力 ，即：，即：l據(jù)慣性力定義表示為：據(jù)慣性力定義表示為：l如阻尼力正比與速度，如阻尼力正比與速度，l則動力學(xué)基本方程：則動力學(xué)基本方程： ( )( )etNt ( )( )eett、( )et TeVKBDB dV ( )( )etBt ( )( )( )etDtDBtl1、單元剛度陣、單元剛度陣l任取一個單元，

12、單元節(jié)點位移為任取一個單元，單元節(jié)點位移為 ，節(jié)點速度和加速度為：，節(jié)點速度和加速度為： ，則單元節(jié)點內(nèi)任一點的位移，則單元節(jié)點內(nèi)任一點的位移lN為形函數(shù)，與時間為形函數(shù)，與時間t無關(guān)，為無關(guān)，為X、Y、Z的函數(shù)，它與靜力分的函數(shù)，它與靜力分析中一樣；由于析中一樣；由于N與時間無關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍與時間無關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍與靜力分析完全相同：與靜力分析完全相同：l則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：( )et ( )( )etNt( )( )Tp tt 2、慣性力與單元質(zhì)量陣、慣性力與單元質(zhì)量陣設(shè)單元節(jié)點加速度為設(shè)單元節(jié)點加速度為 ，則單元內(nèi)任一

13、點的加速度：，則單元內(nèi)任一點的加速度：設(shè)單元的質(zhì)量密度為設(shè)單元的質(zhì)量密度為 ，則單位體積中的慣性力為：，則單位體積中的慣性力為：負(fù)號表示慣性力與加速度相反。負(fù)號表示慣性力與加速度相反。顯然，整個單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個作用于單元上顯然，整個單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個作用于單元上的慣性力移置到單元節(jié)點上，通常有兩種方法：的慣性力移置到單元節(jié)點上，通常有兩種方法：1）虛功原理法）虛功原理法求得一致質(zhì)量矩陣求得一致質(zhì)量矩陣2）直接分配法）直接分配法即按重心不變原則分配，求得集中質(zhì)量矩。即按重心不變原則分配，求得集中質(zhì)量矩。 2010100201011020100102011

14、2101020010102ectAm在動態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。在動態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。1、一致質(zhì)量矩陣、一致質(zhì)量矩陣按按 形成的單元質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣，因為形成的單元質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣，因為它采用了和剛度一致的形函數(shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類型和形函它采用了和剛度一致的形函數(shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類型和形函數(shù)的形式。數(shù)的形式。 eTVmNN dV 1000000100000010000001003000010000001eltAm2、集中質(zhì)量矩陣、集中質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個節(jié)點上，等效原則集中

15、質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個節(jié)點上，等效原則就是要求不改變原單元的質(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱為集中質(zhì)量矩就是要求不改變原單元的質(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱為集中質(zhì)量矩陣。集中質(zhì)量矩陣是一個對角陣，陣。集中質(zhì)量矩陣是一個對角陣，集中質(zhì)量矩陣：是一個對角陣，因而可簡化動態(tài)計算，減小存儲容量。利集中質(zhì)量矩陣：是一個對角陣，因而可簡化動態(tài)計算，減小存儲容量。利用這種矩陣計算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過有限元模型本身比實際結(jié)構(gòu)用這種矩陣計算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過有限元模型本身比實際結(jié)構(gòu)偏剛，兩者相互補(bǔ)償，計算出的固有頻率反而更接近真實值。偏剛，兩者相互補(bǔ)償，計算出的固有頻率反而更

16、接近真實值。一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整個模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。個模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。*( ) t*( )et *( )( )etNt*( )( )TVUttdV *( )( )eeTWtF t ( )( )etNt ( )( )( )TeeeeTVF tNN dVtMt l這里這里M為單元的一致質(zhì)量矩陣。顯然，對于不同的單為單元的一致質(zhì)量矩陣。顯然，對于不同的單元，因形函數(shù)不同，則質(zhì)量矩陣也是不同的。元，因形函數(shù)不同，則質(zhì)量矩陣也是不同的。l1）虛功原理法）虛

17、功原理法l設(shè)單元中發(fā)生虛位移為設(shè)單元中發(fā)生虛位移為l則單元慣性力作的虛功為：則單元慣性力作的虛功為：l單元節(jié)點上節(jié)點慣性力所作的功為：單元節(jié)點上節(jié)點慣性力所作的功為：l將將 和和 代入可得代入可得.50.250.250.50.250.25.50.2501.50.253.50.5eMA平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為：平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為： TeVMNN dV單元質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣1000001000010001003101eWMg一般而言，一致質(zhì)量較一般而言，一致質(zhì)量較準(zhǔn)確地反映了單元內(nèi)質(zhì)準(zhǔn)確地反映了單元內(nèi)質(zhì)量分布的實際情況，集量分布的實際情況，集中質(zhì)量精度不如前者，中質(zhì)量精

18、度不如前者，但不存在耦合，使計算但不存在耦合，使計算大大簡化，是工程中常大大簡化，是工程中常用的方法。用的方法。l2）直接分配法）直接分配法l將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變原則分配至單元節(jié)點上，將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變原則分配至單元節(jié)點上，所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒有耦合項的對角矩陣。所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒有耦合項的對角矩陣。l如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為W/g，則平，則平均分配至三個節(jié)點上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為：均分配至三個節(jié)點上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為：( )( )cp tt ( )( )( )TeeeecVF tNN dVtCt TeVCNN dV

19、l3、單元阻尼陣、單元阻尼陣l 單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為 ，則單位體積，則單位體積產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為：產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為：l利用虛功原理同理可得：利用虛功原理同理可得： 111neneneKKMMCC一旦單元剛陣、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動力一旦單元剛陣、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動力學(xué)方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣等可類似靜力分析的剛度學(xué)方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣等可類似靜力分析的剛度矩陣組裝得到：矩陣組裝得到： ( )( )0eeMtKt

20、 0( )ej tte 0l計算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析的主要內(nèi)容，也是計算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析的主要內(nèi)容，也是分析結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和其它動力特性問題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻分析結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和其它動力特性問題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型時，直接用無阻尼的自由振動方程求解。即和振型時，直接用無阻尼的自由振動方程求解。即l因任意彈性體的自由振動都可分解為一系列的簡諧振動的迭加：因任意彈性體的自由振動都可分解為一系列的簡諧振動的迭加：即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點位移為即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點

21、位移為l 為節(jié)點位移振幅向量（即振型），與時間為節(jié)點位移振幅向量（即振型），與時間t無關(guān)的位移幅值；無關(guān)的位移幅值； 為與該振型對應(yīng)的頻率。為與該振型對應(yīng)的頻率。 20()0KM 20KM221,n , 1,rrn 12n21l1、l將節(jié)點位移代入動力方程，化簡得廣義特征值問題：將節(jié)點位移代入動力方程，化簡得廣義特征值問題：l由于結(jié)構(gòu)自由振動時，各個節(jié)點的振幅不可能全為零，則由于結(jié)構(gòu)自由振動時，各個節(jié)點的振幅不可能全為零，則l稱為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型歸結(jié)為特稱為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型歸結(jié)為特征值問題。設(shè)計結(jié)構(gòu)的自由度為征值問題。設(shè)計結(jié)構(gòu)的自由度為n，則特征

22、方程為，則特征方程為 的的n次代次代數(shù)方程，其數(shù)方程，其n個根稱為特征值，記為個根稱為特征值，記為l它們的平方根稱為系統(tǒng)的固有頻率，即它們的平方根稱為系統(tǒng)的固有頻率，即l將這些固有頻率從小到大依次排列為將這些固有頻率從小到大依次排列為l最低的頻率最低的頻率 稱為基頻，它是所有頻率中最重要的一個。稱為基頻，它是所有頻率中最重要的一個。 2( )0()0rKMr ( )( )( )( )001020rrrrn( )0 1,.,rrn( )( )001TrrM( )0r( )0r2r ( )( )200TrrrKl這個過程稱之為正規(guī)化這個過程稱之為正規(guī)化l利用正規(guī)化，可得利用正規(guī)化，可得l2、特征向

23、量、特征向量l對應(yīng)每個固有頻率對應(yīng)每個固有頻率 ，可有方程，可有方程l由此求得一組節(jié)點振幅不全為由此求得一組節(jié)點振幅不全為0的向量的向量l稱稱 為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。由為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。由于上述方程為齊次方程，顯然解于上述方程為齊次方程，顯然解 不唯一，也就是說：不唯一，也就是說：l振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；l或一個特征值或一個特征值 可對應(yīng)有多個特征向量，但一個特征向量可對應(yīng)有多個特征向量，但一個特征向量只對應(yīng)一個特征值。只對應(yīng)一個特征值。l實際中，常選特征向量實際中，常選特征向量 使使2( )2( )00 r

24、srs( )( )000 TrsMrs221,n (1)( )00n ( )2( )00 1,2,.rrrKMrn(1)( )00,n則對應(yīng)所有的特征值問題則對應(yīng)所有的特征值問題:l3、特征向量的性質(zhì)、特征向量的性質(zhì)l正交性：任意兩個特征值對應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩正交性：任意兩個特征值對應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。即設(shè)陣或剛度矩陣正交。即設(shè)l則有則有l(wèi)若將所有的特征值若將所有的特征值 對應(yīng)的特征向量對應(yīng)的特征向量l組裝成特征向量矩陣，即組裝成特征向量矩陣，即 212TnKl考慮到正規(guī)化考慮到正規(guī)化:l可進(jìn)一步記為：可進(jìn)一步記為： 212nKM TM 可簡記為矩陣形式：可簡記為矩陣形

25、式： 20()0KM21 1DKM 20000 KMD 廣義特征值問題標(biāo)準(zhǔn)特征值問題1、冪迭代法、冪迭代法特點：用于計算最大（主）特征值十分有效。特點：用于計算最大（主）特征值十分有效。這里這里D稱為動力矩陣，也即一個變換矩陣，它可將任一特征稱為動力矩陣，也即一個變換矩陣，它可將任一特征向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積. 結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計算歸結(jié)為求結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計算歸結(jié)為求 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為n個自由度，個自由度，n一般相當(dāng)大，故一般相當(dāng)大，故n次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似

26、解，常用的求解次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等。方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等。 (1)(2)( )( )010200011nnrnr ( )( )00( )000211( )( )010111 rrrnrrDnnrrrrrrDD 11( )0010111 ()npprrrppDl由于任兩個特征值對應(yīng)的特征向量是正交的，則由于任兩個特征值對應(yīng)的特征向量是正交的，則n個特征向量個特征向量可組成特征向量空間中的一個特征向量基，其特征向量空間中的可組成特征向量空間中的一個特征向量基，其特征向量空間中的任一特征向量可表示為基向量的

27、線性組合。即存在任一向量：任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量：設(shè)這個向量被設(shè)這個向量被D變換后形成一新的特征向量為：變換后形成一新的特征向量為：類推，可得：類推，可得：12n111, ()0 pprr則當(dāng)時1p(1)012n 11( )(1)010011 ()pnpprrrpl由于所有的特征值排列為：由于所有的特征值排列為：l即即l存在存在l考慮到問題為齊次方程，特征向量前的系數(shù)考慮到問題為齊次方程，特征向量前的系數(shù) 可以略去，可以略去，則上式在則上式在p趨近無窮時，其第一項就趨近趨近無窮時，其第一項就趨近l實際計算，只需迭代有限次即可得精確解。實際計算，只需迭代有限次即可得

28、精確解。 01 001000max1kkkikkkkDmm02110ikkik2211121kkk (1)(1)1100TrrrrrDDMl冪法迭代格式冪法迭代格式l1、選初始特征向量、選初始特征向量 ，如單位向量，如單位向量l2、構(gòu)造新特征向量，并歸一化、構(gòu)造新特征向量，并歸一化l3、計算特征值近似值、計算特征值近似值l4、計算相鄰兩次迭代的特征值誤差，、計算相鄰兩次迭代的特征值誤差，l檢查是否收斂檢查是否收斂l若需計算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動力矩陣若需計算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動力矩陣 001KM 01 01kkYM 0kkKY 000max1kikkkkmml2、逆迭

29、代法、逆迭代法l逆迭代法也稱為反冪法，類似于冪法，逆迭代法也稱為反冪法，類似于冪法，特征值問題改寫為：特征值問題改寫為：l其具體迭代格式為：其具體迭代格式為：l1）選初始向量）選初始向量 如單位向量如單位向量l2）計算中間向量）計算中間向量l3）求解線性方程組）求解線性方程組l4）歸一化）歸一化l5）計算特征值近似值）計算特征值近似值l6）計算相鄰兩次迭代的特征值誤差，）計算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂檢查是否收斂 ( )( )( )( )eeeMtCtKtF t (1)(2)( )12000,nn (1)(2)( )01020( )( )( )( )nnty ty ty t( )

30、1,iy tinl 對于受迫振動，基本方程為對于受迫振動，基本方程為l求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法l1、振型迭加法、振型迭加法l振型迭加法的基本思想是利用結(jié)構(gòu)固有振型的正交性，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振振型迭加法的基本思想是利用結(jié)構(gòu)固有振型的正交性，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動分解為一組相互獨立的單自由度振動（即解耦），從而求得結(jié)構(gòu)的位移動分解為一組相互獨立的單自由度振動（即解耦），從而求得結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。響應(yīng)。l設(shè)結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的各階固有頻率和相應(yīng)的固有振型為：設(shè)結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的各階固有頻率和相應(yīng)的固有振型為：l則結(jié)構(gòu)任意時刻的受迫

31、振動產(chǎn)生的位移可認(rèn)為是則結(jié)構(gòu)任意時刻的受迫振動產(chǎn)生的位移可認(rèn)為是n個固有振型為基的線性個固有振型為基的線性組合，即組合，即l 為組合系數(shù)，是時間為組合系數(shù)，是時間t的函數(shù)，也稱為振形坐標(biāo)的函數(shù)，也稱為振形坐標(biāo) (1)(2)( )00012 ( )( )( )( )nntYYy ty ty t ( )MYCYKYF t ( )TTTTMYCYKYF t T廣義質(zhì)量陣廣義質(zhì)量陣廣義阻尼陣廣義阻尼陣廣義剛度陣廣義剛度陣廣義激振力廣義激振力l上式可記為上式可記為l這里這里l代入動力學(xué)方程：代入動力學(xué)方程：l左乘左乘 ( )( )( )( )( )( )000000( )0( )( )( ) =( )

32、1,2,TTTrrrrrrrrrTrMy tCy tKy tF trn12( ),( ),( )ny ty ty t(1)(2)( )01020( )( )( )( )nnty ty ty t據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對角矩陣，即表示方程各據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對角矩陣，即表示方程各個變量之間是沒有耦合項的，從而動力方程轉(zhuǎn)化為個變量之間是沒有耦合項的，從而動力方程轉(zhuǎn)化為n個相互個相互獨立的單自由度振動的動力方程，獨立的單自由度振動的動力方程，即：即：分別求解這分別求解這n個方程可求得個方程可求得從而求得動力方程的位移解從而求得動力方程的位移解:進(jìn)而可求得速度、加速度。進(jìn)而可求得速度

33、、加速度。采用瑞利阻尼， 即C=M+K2( )2( )( )( )rrrrrriy ty ty tt ttt ( )( )( )( ) (0)ttttttt 2211221136ttttttttttttttttt ( ) ,( ) ,( )ttt ( )( )( )( )eeeMtCtKtF ttl2、逐次積分法、逐次積分法l基本思想：將時間基本思想：將時間t離散為離散為n個區(qū)間，并假設(shè)在一個個區(qū)間，并假設(shè)在一個 時間區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)時間區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)為線性變化，由此，對加速度積分，可得速度和位移，一的加速度響應(yīng)為線性變化，由此，對加速度積分，可得速度和位移，一旦所有區(qū)間計算完畢，則求出

34、結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。旦所有區(qū)間計算完畢，則求出結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。l假設(shè)在假設(shè)在 至至t的很小時間間隔內(nèi)的很小時間間隔內(nèi) ，加速度線性變化：，加速度線性變化：l對對 積分，并引入初始條件待定積分常數(shù)積分，并引入初始條件待定積分常數(shù)l將將 代入代入t時刻的動力方程時刻的動力方程l并整理后即可逐步求解各時刻的加速度，然后求出各時刻的速度和位移。并整理后即可逐步求解各時刻的加速度，然后求出各時刻的速度和位移。3.直接積分法直接積分法一、中心差分法一、中心差分法 在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即tttttttttttaataaaata21212（3.

35、2）（3.1）中心差分法的遞推公式中心差分法的遞推公式ttttttaCtMtaMtKQaCtMt2112211222（3.3）上式是求解各個離散時間點解的遞推公式，這種數(shù)值積分方法又上式是求解各個離散時間點解的遞推公式，這種數(shù)值積分方法又稱為逐步積分法。稱為逐步積分法。直接積分法直接積分法需要指出需要指出，此算法有一個起步問題，為此利用，此算法有一個起步問題，為此利用(3.1)，(3.2)得到。得到。將利用中心差分法逐步求解運(yùn)動方程的算法步驟歸結(jié)如下：將利用中心差分法逐步求解運(yùn)動方程的算法步驟歸結(jié)如下：1.初始計算初始計算形成剛度矩陣形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣和阻尼矩陣C。

36、給定給定選擇時間步長選擇時間步長t， t tcr，并計算積分常數(shù)，并計算積分常數(shù)計算計算形成有效質(zhì)量矩陣形成有效質(zhì)量矩陣三角分解三角分解。和000,aaa0300acataat2302120/ 1,2,21,1cccctctcCcMcM10TLDLMM:直接積分法直接積分法2.對于每一時間步長（對于每一時間步長（t0， t ，2 t ）計算時間計算時間t的有效載荷的有效載荷求解時間求解時間t t的位移的位移如果需要，計算時間如果需要，計算時間t的加速度和速度的加速度和速度tttttaCcMcaMcKQQ102tttTQaLDLtttttttttttaacaaaaca102直接積分法直接積分法關(guān)

37、于中心差分法還需要著重指出一下幾點：關(guān)于中心差分法還需要著重指出一下幾點：中心差分法是顯式算法。中心差分法是顯式算法。中心差分法是條件穩(wěn)定算法。中心差分法是條件穩(wěn)定算法。顯式算法用于求解由梁、板、殼等結(jié)構(gòu)單元組成的系統(tǒng)的動顯式算法用于求解由梁、板、殼等結(jié)構(gòu)單元組成的系統(tǒng)的動 態(tài)響應(yīng)時如果對角化后的質(zhì)量矩陣態(tài)響應(yīng)時如果對角化后的質(zhì)量矩陣M中已略去了與轉(zhuǎn)動自由中已略去了與轉(zhuǎn)動自由 度相關(guān)的項，則度相關(guān)的項，則M的實際階數(shù)僅是對于位移自由度的階數(shù)。的實際階數(shù)僅是對于位移自由度的階數(shù)。中心差分法比較適合于由沖擊、爆炸類型載荷引起的波傳播中心差分法比較適合于由沖擊、爆炸類型載荷引起的波傳播 問題的求解。

38、問題的求解。對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，一般說，采用中心差分法就不太適合。對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，一般說，采用中心差分法就不太適合。直接積分法直接積分法二、二、NewmarkNewmark方法方法 在在tt t的時間區(qū)域內(nèi)，的時間區(qū)域內(nèi)， Newmark積分法采用下列的假設(shè)積分法采用下列的假設(shè)2211taataaataaaattttttttttttt（3.4）（3.5）其中其中和和是按積分精度和穩(wěn)定性要求決定的參數(shù)。另一方面，是按積分精度和穩(wěn)定性要求決定的參數(shù)。另一方面，和和取不同數(shù)值則代表了不同的數(shù)值積分方案。取不同數(shù)值則代表了不同的數(shù)值積分方案。Newmark方法中的時間方法中的時間t t的位移解答的

39、位移解答a t t是通過滿是通過滿足足時間時間t t的運(yùn)動方程的。的運(yùn)動方程的。直接積分法直接積分法計算計算a t t的兩步遞推公式的兩步遞推公式ttttttttttataatCaatatMQaCtMtK12112111122（3.6）將利用將利用Newmark法逐步求解運(yùn)動方程的算法步驟歸結(jié)如下：法逐步求解運(yùn)動方程的算法步驟歸結(jié)如下：1.初始計算初始計算形成剛度矩陣形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣和阻尼矩陣C。給定給定。和000,aaa直接積分法直接積分法選擇時間步長選擇時間步長t 及參數(shù)及參數(shù)和和，并計算積分常數(shù)。，并計算積分常數(shù)。 這里要求：這里要求： 0.50， 0.25

40、(0.5+)2tctctccctctctc765432120,1,22, 1121,1,1形成有效剛度矩陣形成有效剛度矩陣三角分解三角分解CcMcKKK10:TLDLKK:第第3節(jié)節(jié) 直接積分法直接積分法2.對于每一時間步長（對于每一時間步長（t0， t ，2 t ）計算時間計算時間t t的有效載荷的有效載荷求解時間求解時間t t的位移的位移如果需要，計算時間如果需要，計算時間t的加速度和速度的加速度和速度ttttttttttacacacCacacacMQQ541320ttttTQaLDLtttttttttttttacacaaacacaaca76320直接積分法直接積分法關(guān)于關(guān)于Newmark

41、法還需要著重指出一下幾點：法還需要著重指出一下幾點：Newmark法是隱式算法。法是隱式算法。關(guān)于關(guān)于Newmark法的穩(wěn)定性。法的穩(wěn)定性。以后將證明，當(dāng)以后將證明，當(dāng)0.50， 0.25(0.5+)2時，算法是無時，算法是無條件穩(wěn)定的。條件穩(wěn)定的。 Newmark法適合于時程較長的的系統(tǒng)瞬態(tài)響法適合于時程較長的的系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)分析。應(yīng)分析。Newmark法的其它表達(dá)形式。法的其它表達(dá)形式。Newmark法的另一種以法的另一種以tta為未知量的兩步遞推公式為未知量的兩步遞推公式tttttttttatataKataCQaKttCM22211（3.7）直接積分法直接積分法Newmark法的以法的以t

42、ta為未知量的三步遞推公式為未知量的三步遞推公式tttttttaKttCMaKttCMtQaKttCM2222211221212（3.7）其中其中tttttttQQQQ21221Newmark法的兩步遞推公式和三步遞推公式中，令法的兩步遞推公式和三步遞推公式中，令0，1/2，就可以得到中心差分法的兩步和三步遞推公式。，就可以得到中心差分法的兩步和三步遞推公式。這樣一來，這兩種時間積分公式就采用了統(tǒng)一的表達(dá)形式，便于這樣一來，這兩種時間積分公式就采用了統(tǒng)一的表達(dá)形式，便于程序編制，特別時便于應(yīng)用在隱式顯式混合時間積分方案種。程序編制，特別時便于應(yīng)用在隱式顯式混合時間積分方案種。直接積分法直接積分

43、法例例2 考慮一個三自由度系統(tǒng)。它的運(yùn)動方程是考慮一個三自由度系統(tǒng)。它的運(yùn)動方程是600220241012100030001aa（1）初始條件：當(dāng)初始條件：當(dāng)t0時，時，. 0, 000aa已知此系統(tǒng)的固有頻率是：已知此系統(tǒng)的固有頻率是：. 3, 2,31321相應(yīng)的振動周期是：相應(yīng)的振動周期是：T11089，T24.444，T33.628。直接積分法直接積分法（1）用中心差分法求解系統(tǒng)響應(yīng)）用中心差分法求解系統(tǒng)響應(yīng)時間步長分別取時間步長分別取tT3/100.363和和t5T318.14進(jìn)行計算。進(jìn)行計算。對于對于t0，可以計算得到，可以計算得到;6000Ta 然后按中心差分法所列步然后按中心

44、差分法所列步驟進(jìn)行計算。驟進(jìn)行計算。tT3/100.363時時c07.589， c11.377， c215.178， c36.588e259. 700077.2200059. 700000000038. 110003000159. 73953. 0006000659. 0000363. 0000Mat直接積分法直接積分法對于每一時間步長，先計算有效載荷對于每一時間步長，先計算有效載荷ttttaaQ59. 700077.2200059. 738. 120253.4110138. 1600（2）在從下列方程計算在從下列方程計算t t時間的位移時間的位移a t ttttQa59. 700077.22

45、00059. 7（3）第第3節(jié)節(jié) 直接積分法直接積分法由上式得到的每一時間步長的位移結(jié)果如下：由上式得到的每一時間步長的位移結(jié)果如下：該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。 直接積分法直接積分法t5T318.14時，按相同的步驟計算，所得結(jié)果如下時，按相同的步驟計算，所得結(jié)果如下:887355221066. 51036. 21013. 71046. 61007. 201087. 900tttaaa在計算下去，位移將繼續(xù)無限增大，這是不步穩(wěn)定的典型表現(xiàn)。在計算下去，位移將繼續(xù)無限增大，這是不步穩(wěn)定的典型表現(xiàn)。直接積分法直接積分法（2）用）用Newmark法求

46、解系統(tǒng)的響應(yīng)法求解系統(tǒng)的響應(yīng)時間步長分別取時間步長分別取tT3/100.363和和t5T318.14進(jìn)行計算。進(jìn)行計算。對于對于t0，可以計算得到，可以計算得到;6000Ta 然后按然后按Newmark法所列步法所列步驟進(jìn)行計算。驟進(jìn)行計算。給定給定0.25及及0.5。tT3/100.363時時c030.356， c15.510， c211.019， c31.0c41.0， c50.0， c60.1815， c70.1815 36.3220207.9510136.3210003000136.30220241012K第第3節(jié)節(jié) 直接積分法直接積分法對于每一時間步長計算有效載荷對于每一時間步長計算

47、有效載荷tttttaaaQ0 . 102.1136.30100030001600然后求解時間然后求解時間t t的位移的位移a t tttttQaK并計算時間并計算時間t t的加速度和速度的加速度和速度tttttttttttttaaaaaaaaa18. 018. 00 . 102.1136.30 直接積分法直接積分法得到的每一時間步長的位移結(jié)果如下：得到的每一時間步長的位移結(jié)果如下：該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。t5T318.14時，按相同的步驟計算，所得結(jié)果如下時，按相同的步驟計算，所得結(jié)果如下:振型疊加法振型疊加法振型疊加法在積分運(yùn)動方程以前，利

48、用系統(tǒng)自由振動的固有振型振型疊加法在積分運(yùn)動方程以前，利用系統(tǒng)自由振動的固有振型將方程轉(zhuǎn)化為將方程轉(zhuǎn)化為n個相互不耦合的方程，對這種方程可以解析或數(shù)個相互不耦合的方程，對這種方程可以解析或數(shù)值地進(jìn)行積分。當(dāng)采用數(shù)值方法時，對于每個方程可以采取各自值地進(jìn)行積分。當(dāng)采用數(shù)值方法時，對于每個方程可以采取各自不同的時間步長，即對于低階振型可采用較大的時間步長。不同的時間步長，即對于低階振型可采用較大的時間步長。這兩者結(jié)合起來相當(dāng)于直接積分法時很大的優(yōu)點，因此當(dāng)實際分這兩者結(jié)合起來相當(dāng)于直接積分法時很大的優(yōu)點，因此當(dāng)實際分析的時間歷程較長，同時只需要少數(shù)較低階振型的結(jié)果時，采用析的時間歷程較長，同時只需

49、要少數(shù)較低階振型的結(jié)果時，采用振型疊加法將時十分有利的。振型疊加法將時十分有利的。 振型疊加法振型疊加法一、求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型一、求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型此計算步驟是求解不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動方程，即此計算步驟是求解不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動方程，即 0tKataM它的解可以假設(shè)為以下形式它的解可以假設(shè)為以下形式0sintta（4.1）其中，其中，是是n階向量，階向量，是向量是向量的振動頻率，的振動頻率，t是時間變量，是時間變量，t0是由初始條件確定的時間常數(shù)。是由初始條件確定的時間常數(shù)。振型疊加法振型疊加法解方程確定解方程確定和和。特征向量。特征向量1， 2， n代表系

50、統(tǒng)的代表系統(tǒng)的n個個固有振型。它們的幅度可按以下要求規(guī)定固有振型。它們的幅度可按以下要求規(guī)定niMiTi,.2 , 11這樣規(guī)定的固有振型又稱為正則振型，今后所用的固有振型，只這樣規(guī)定的固有振型又稱為正則振型，今后所用的固有振型，只指這種正則振型。固有振型對于矩陣指這種正則振型。固有振型對于矩陣M是正交的。是正交的。在有限元分析中，特別是動力分析中，方程的階數(shù)很高而求解在有限元分析中，特別是動力分析中，方程的階數(shù)很高而求解的特征解又相對較少的特征值問題，稱為大型特征值問題。的特征解又相對較少的特征值問題，稱為大型特征值問題。（4.2）振型疊加法振型疊加法二、求解系統(tǒng)動力響應(yīng)二、求解系統(tǒng)動力響應(yīng)

51、1.位移基向量的變換位移基向量的變換引入變換引入變換 niiixtxta1)(（4.3）此變化的意義是此變化的意義是a(t)看成是看成是i(i=1,2,n)的線性組合，的線性組合，i可以看可以看成是廣義的位移基向量，成是廣義的位移基向量，xi是廣義的位移值。從數(shù)學(xué)上看，是將是廣義的位移值。從數(shù)學(xué)上看，是將位移向量位移向量a(t)從以有限元系統(tǒng)的結(jié)點位移為基向量的從以有限元系統(tǒng)的結(jié)點位移為基向量的n維空間轉(zhuǎn)換維空間轉(zhuǎn)換到以到以i為基向量的為基向量的n維空間。維空間。通常在實際分析中，需要求解的但自由度方程數(shù)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的自通常在實際分析中，需要求解的但自由度方程數(shù)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的自由度數(shù)由度數(shù)n振型疊

52、加法振型疊加法2.求解單自由度系統(tǒng)振動方程求解單自由度系統(tǒng)振動方程單自由度系統(tǒng)振動方程的求解，通常采用單自由度系統(tǒng)振動方程的求解，通常采用杜哈美積分，杜哈美積分，又稱為又稱為疊疊加積分。這個方法的基本思想是將任意激振力加積分。這個方法的基本思想是將任意激振力ri(t)分解為一系列分解為一系列微沖量的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對每個微沖量的響應(yīng)，然后微沖量的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對每個微沖量的響應(yīng)，然后根根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將它們疊加起來。得到系統(tǒng)對任意激據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將它們疊加起來。得到系統(tǒng)對任意激振振的響應(yīng)。的響應(yīng)。杜哈美積分的結(jié)果是杜哈美積分的結(jié)果是 tbtaedtertxiiii

53、ttitiiiiiiicossinsin10其中其中,12iiiai，bi是由起始條件決定的常數(shù)。是由起始條件決定的常數(shù)。（4.4） 振型疊加法振型疊加法3.振型疊加得到系統(tǒng)的響應(yīng)振型疊加得到系統(tǒng)的響應(yīng)在得到每個振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來就是系統(tǒng)響應(yīng)。在得到每個振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來就是系統(tǒng)響應(yīng)。對振型疊加法的一些性質(zhì)和特點：對振型疊加法的一些性質(zhì)和特點：振型疊加法中，將系統(tǒng)的位移轉(zhuǎn)換到以固有振型為基向量的空振型疊加法中，將系統(tǒng)的位移轉(zhuǎn)換到以固有振型為基向量的空 間這對系統(tǒng)的性質(zhì)并無影響，而是以求解廣義特征值為代價，間這對系統(tǒng)的性質(zhì)并無影響，而是以求解廣義特征值為代價， 得到得到n個單

54、自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程。個單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程。振型疊加法中對于振型疊加法中對于n個單自由度系統(tǒng)運(yùn)動方程的積分，比聯(lián)立個單自由度系統(tǒng)運(yùn)動方程的積分，比聯(lián)立 方程組的直接積分節(jié)省計算時間。方程組的直接積分節(jié)省計算時間。對于非線性系統(tǒng)通常必須采用直接積分法。對于非線性系統(tǒng)通常必須采用直接積分法。振型疊加法振型疊加法例例3 仍以例仍以例2中三自由度系統(tǒng)為例，現(xiàn)在用振型疊加法求解。中三自由度系統(tǒng)為例，現(xiàn)在用振型疊加法求解。此時應(yīng)求解的廣義特征值問題是此時應(yīng)求解的廣義特征值問題是 1000300012202410122（1）按照一般的線性代數(shù)方法可以得到（按照一般的線性代數(shù)方法可以得到（1）式的解答為）式的解答為TTT21131022235131323222121（2）振型疊加法振型疊加法利用（利用（2）式，可以將原文體轉(zhuǎn)換為以）式，可以將原文體轉(zhuǎn)換為以1，2和和3為基向量的為基向量的3個互不耦合的運(yùn)動方程，即：個互不耦合的運(yùn)動方程，即： 2/335/6210/931332211txtxtxtxtxtx（3）原系統(tǒng)的初始條件是原系統(tǒng)的初始條件是, 0000aa和經(jīng)轉(zhuǎn)換后為經(jīng)轉(zhuǎn)換后為3 , 2 , 10000ixxtiti（4） 振型疊加法振型疊加法利用無阻尼情形的