第四章：邏輯代數(shù)及其化簡(jiǎn)(1)

1、內(nèi)容提要內(nèi)容提要1.邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算；邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算；2.邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法（真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖、工作波形圖和卡諾圖工作波形圖和卡諾圖）；）；3.邏輯代數(shù)的運(yùn)算公式和基本規(guī)則；邏輯代數(shù)的運(yùn)算公式和基本規(guī)則；4.4.邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法（代數(shù)化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法）邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法（代數(shù)化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法） 。邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算邏輯：一定的因果關(guān)系。邏輯：一定的因果關(guān)系。邏輯代數(shù)是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是進(jìn)行邏輯代數(shù)是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是進(jìn)行邏輯分析與綜合的數(shù)學(xué)工具。因?yàn)樗怯?guó)數(shù)學(xué)家喬治邏輯

2、分析與綜合的數(shù)學(xué)工具。因?yàn)樗怯?guó)數(shù)學(xué)家喬治布布爾爾(George Boole)(George Boole)于于18471847年提出的年提出的, ,所以又稱為布爾代數(shù)。所以又稱為布爾代數(shù)。 無論是數(shù)字儀表，還是計(jì)算機(jī)，其內(nèi)部功能比較復(fù)雜。但其內(nèi)部通常由幾種或幾十種最基本的電子電路組成。在這些電子電路中多數(shù)是數(shù)字邏輯電路數(shù)字邏輯電路。數(shù)字邏輯電路：數(shù)字邏輯電路：用邏輯函數(shù)進(jìn)行描述的電路。、輸入、輸出具有一定的邏輯關(guān)系、輸入、輸出具有一定的邏輯關(guān)系（條件、結(jié)果）（條件、結(jié)果）、實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)的電路叫做邏輯電路、實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)的電路叫做邏輯電路、描述輸出、輸入邏輯關(guān)系的表達(dá)式叫做邏輯表達(dá)式、描述輸出、

3、輸入邏輯關(guān)系的表達(dá)式叫做邏輯表達(dá)式、邏輯電路的輸出、輸入量，、邏輯電路的輸出、輸入量，都用數(shù)字量表示都用數(shù)字量表示、實(shí)現(xiàn)邏輯關(guān)系的電子電路、實(shí)現(xiàn)邏輯關(guān)系的電子電路通稱為通稱為門電路門電路。數(shù)字邏輯電路特點(diǎn)：數(shù)字邏輯電路特點(diǎn)：邏輯電路A0A1AnB0B1Bn 邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的基本工具。因此首先要了解邏輯代數(shù)有什么基本特性，邏輯代數(shù)和普通代數(shù)又有什么異同之處。邏輯代數(shù)和普通代數(shù)的區(qū)別：邏輯代數(shù)和普通代數(shù)的區(qū)別：共同點(diǎn)：共同點(diǎn)： 都用字母都用字母 A A、B B、C - C - 等表示變量。等表示變量。 仍遵守與普通代數(shù)一樣的運(yùn)算優(yōu)先順序（先括號(hào)、仍遵守與普通代數(shù)一樣的運(yùn)算優(yōu)先順序（先

4、括號(hào)、其次乘、最后加）。其次乘、最后加）。 不同點(diǎn)：不同點(diǎn)： 這些變量這些變量 A.B.C A.B.C 的取值范圍是的取值范圍是 0 0 和和 1 1 。 其運(yùn)算規(guī)則是按邏輯規(guī)則來定義的。其運(yùn)算規(guī)則是按邏輯規(guī)則來定義的。 0 0、1 1不再表示數(shù)量的大小，只代表不同的邏輯狀態(tài)。不再表示數(shù)量的大小，只代表不同的邏輯狀態(tài)。一、基本邏輯運(yùn)算：一、基本邏輯運(yùn)算：與、或、非與、或、非 三種。三種。 為了便于理解基本邏輯關(guān)系的基本含義，先通過一些簡(jiǎn)單例子為了便于理解基本邏輯關(guān)系的基本含義，先通過一些簡(jiǎn)單例子作一說明。作一說明。1 1、“與與”運(yùn)算及與門運(yùn)算及與門 邏輯與的概念：邏輯與的概念：若決定一件事的

5、所有條件都成立，這件事的結(jié)果若決定一件事的所有條件都成立，這件事的結(jié)果就會(huì)發(fā)生。否則這件事就不會(huì)發(fā)生。這樣的邏輯關(guān)系稱為：就會(huì)發(fā)生。否則這件事就不會(huì)發(fā)生。這樣的邏輯關(guān)系稱為：邏輯與、邏輯與、邏輯乘、或稱為：邏輯乘、或稱為：“與與”運(yùn)算運(yùn)算。能夠?qū)崿F(xiàn)與邏輯運(yùn)算的電子電路稱為與門電路。能夠?qū)崿F(xiàn)與邏輯運(yùn)算的電子電路稱為與門電路。開關(guān)斷開為 0開關(guān)閉合為 1燈亮為 1燈不亮為 0假設(shè)：假設(shè)：用四個(gè)式子表示：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1與邏輯的表示方法：（四種）與邏輯的表示方法：（四種）真值表：真值表： 將輸入變量所有的取值下對(duì)應(yīng)的輸出值找出來，列成表格，即可得到真值表。邏輯

6、表達(dá)式邏輯表達(dá)式： 把輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫出與與運(yùn)算的邏輯代數(shù)式，即為邏輯表達(dá)式。F = A BABF 220V有有0為為0全全1為為1工作波形圖工作波形圖 把輸入和輸出之間的邏輯關(guān)系用波形圖的方法表示，即為工作波形圖。有有0 0為為0 0，全，全1 1為為1 1邏輯圖（符號(hào)）邏輯圖（符號(hào)） 將邏輯函數(shù)中各變量之間的邏輯關(guān)系用圖形符號(hào)表示，即為邏輯圖。 把實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算把實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的單元電路叫做的單元電路叫做與門與門。F&ABFABF = A B 邏輯或的概念：邏輯或的概念：決定某一件事的諸條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上的條件滿足，這件事的結(jié)果就會(huì)發(fā)生，否則結(jié)果不會(huì)發(fā)生。這樣的

7、邏輯關(guān)系稱為：邏輯或、邏輯加、邏輯或、邏輯加、或稱為“或或”運(yùn)算。運(yùn)算。0 0 = 00 1 = 11 0 = http:/http:/假設(shè)：假設(shè)：開關(guān)閉合為 1開關(guān)斷開為 0燈亮為 1燈不亮為 0用四個(gè)式子表示：用并聯(lián)開關(guān)電路簡(jiǎn)單說明或或邏輯關(guān)系：或邏輯的表示方法：或邏輯的表示方法： 220VABF F真值表：真值表：工作波形圖工作波形圖邏輯圖（符號(hào)）邏輯圖（符號(hào)）邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式：F = A + B 把實(shí)現(xiàn)或邏輯運(yùn)算的把實(shí)現(xiàn)或邏輯運(yùn)算的單元電路叫做或門。單元電路叫做或門。有有1為為1全全0為為0F11ABFAB 邏輯非的概念：邏輯非的概念：條件具備了，結(jié)果不會(huì)發(fā)生。條件不具備，結(jié)果一定

8、發(fā)生。A F0 11 0邏輯表達(dá)式：邏輯表達(dá)式：AF 工作波形工作波形: :邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：開關(guān)閉合為 1 開關(guān)斷開為 0燈亮為 1燈不亮為 0假設(shè)：假設(shè)：把實(shí)現(xiàn)非邏輯運(yùn)算的單元電路叫做非門。把實(shí)現(xiàn)非邏輯運(yùn)算的單元電路叫做非門。 220VAFAF1 1AFAAA0 AA邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算邏輯符號(hào)邏輯符號(hào)真值表真值表基本運(yùn)算規(guī)則基本運(yùn)算規(guī)則與與AA100 AAAA1AA11AAA0AA 邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式BAFBAFAF 或或非非&ABF1ABF1 1AF 實(shí)際的邏輯問題比與、或、非與、或、非復(fù)雜得多。利用這三種基本邏輯關(guān)系，可以得出處理實(shí)際邏輯問題的各種復(fù)合邏輯，如與非、或非、與或

9、非、異或、同或與非、或非、與或非、異或、同或邏輯等。1 1、 與非邏輯與非邏輯 與非邏輯是與與邏輯運(yùn)算和非非邏輯運(yùn)算的組合。它是將輸入變量先進(jìn)行與運(yùn)算，然后再進(jìn)行非運(yùn)算。與非邏輯表達(dá)式：BAF與非門邏輯符號(hào)：能夠?qū)崿F(xiàn)與非邏輯運(yùn)算的電路稱為與非門能夠?qū)崿F(xiàn)與非邏輯運(yùn)算的電路稱為與非門。&AFBAFBAFB與非門真值表：與非門真值表：有有0 0為為1,1,全全1 1為為0 0與非門運(yùn)算順序是：與非門運(yùn)算順序是： 先與后非先與后非即：當(dāng)輸入A、B中，只要有一個(gè)0,輸出就是1,只有輸入全為1時(shí)，輸出才是0。BAF1110工作波形圖：工作波形圖：ABF 或非邏輯是或或邏輯運(yùn)算和非非邏輯運(yùn)算的組合。

10、它是將輸入變量先進(jìn)行或運(yùn)算，然后再進(jìn)行非運(yùn)算。能夠?qū)崿F(xiàn)或非邏輯運(yùn)算的電路稱為或非門或非門?；蚍沁壿嫳磉_(dá)式：或非邏輯表達(dá)式：BAF或非門邏輯符號(hào)：或非門邏輯符號(hào)：或非門真值表：或非門真值表：BAF或非門運(yùn)算順序是：或非門運(yùn)算順序是： 先或后非先或后非1000有有1為為0,全全0為為1即：當(dāng)輸入A、B中，只要有一個(gè)1,輸出就是0,只有輸入全為0時(shí)，輸出才是1?；蚍情T工作波形或非門工作波形11FAB+AFBAFBABF 與或非邏輯是與與邏輯運(yùn)算和或非或非邏輯運(yùn)算的組合。它是將輸入變量A,B及C,D先進(jìn)行與運(yùn)算，然后再進(jìn)行或非運(yùn)算。能夠?qū)崿F(xiàn)與或非邏輯運(yùn)算的電路稱為與或非門與或非門。ABCDF00001

11、000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：與或非門真值表：與或非門真值表：工作工作波形圖：波形圖：邏輯表達(dá)式：邏輯表達(dá)式：CDABF每組有每組有0為為1,某組全某組全1為為0。FABCD&11ABCDFC+ABDFFABCDA,B為兩個(gè)單刀雙擲開關(guān)。 燈亮的條件是：一個(gè)開關(guān)打在上面，另一個(gè)開關(guān)打在下面。兩個(gè)開關(guān)同時(shí)打在上面或者下面，則燈不亮。假設(shè)：假設(shè)：開關(guān)打在上面為1開關(guān)打在下面為0燈亮為1燈滅為0真值表：真值表：由真值表寫出邏輯表達(dá)式：由真值表寫出邏輯表達(dá)

12、式：取取F=1F=1列與項(xiàng)邏輯式。列與項(xiàng)邏輯式。對(duì)任何一種輸入變量組合，對(duì)任何一種輸入變量組合，變量之間是變量之間是“與與”運(yùn)算。運(yùn)算。如果輸入變量是如果輸入變量是“1”,1”,記記原變量。如果輸入變量是原變量。如果輸入變量是“0”,0”,記反變量。記反變量。各組合之間是各組合之間是“或或”邏輯關(guān)邏輯關(guān)系。系。BABABAF異或運(yùn)算特點(diǎn)：異或運(yùn)算特點(diǎn)：相異為相異為1 1，相同為，相同為0 0AFB220V異或異或邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：異或邏輯基本運(yùn)算規(guī)律：異或邏輯基本運(yùn)算規(guī)律：0 0 = 0 1 1 = 01 0 = 0 1 = 1推論：推論：異或門工作異或門工作波形圖：波形圖：1 AA0 AA

13、AA0AA1BABA=1AFBFAB假設(shè)：假設(shè)：開關(guān)打在上面為1開關(guān)打在下面為0燈亮為1燈滅為0燈亮的條件是：兩個(gè)開關(guān)均打在上面，或均打在下面。 ABBAF同或運(yùn)算特點(diǎn)同或運(yùn)算特點(diǎn)：相同為相同為1,1,相異為相異為0 0。同或同或邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：同或邏輯和異或邏輯互為反函數(shù)。同或邏輯真值表同或邏輯真值表同或邏輯表達(dá)式同或邏輯表達(dá)式=1AFBAFB220VABABABAB1 1、邏輯函數(shù)間的相等、邏輯函數(shù)間的相等設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)F = f (A1A2-An)G = g (A1A2-An)看出：F和G都是變量 A1A2-An的邏輯函數(shù)如果:2n 種組合中每一狀態(tài)組合F和G值相同，則稱為F和G相

14、等，記作F=G。如果F=G，其真值表相同。反之，F(xiàn)和G真值表相同，F(xiàn)一定等于G。因此，要證明兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，只需列出真因此，要證明兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，只需列出真值表，若真值表相同，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相等。值表，若真值表相同，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相等。 CBAC,B,AF CAABC,B,AG 例：設(shè)證明 F = G證：(1)、列出F和G的真值表 從真值表中可以看出： 每一種狀態(tài)組合 F 和 G 都相等，所以 F = G。 即：即：F F 和和 G G是同一邏是同一邏輯的兩種不同表達(dá)式。輯的兩種不同表達(dá)式。CBACAAB0 00 00 00 01 10 01 11 1FA BCGABAC(2)、實(shí)

15、現(xiàn)F和G的邏輯電路圖兩種不同的電路形式，表示同一種邏輯功能。兩種不同的電路形式，表示同一種邏輯功能。CCBBACCA將運(yùn)算符號(hào)變?yōu)檫壿嫹?hào)將運(yùn)算符號(hào)變?yōu)檫壿嫹?hào)11&ABCABC&111 AAAA BABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0 AA（1 1）常量之間的關(guān)系）常量之間的關(guān)系0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 請(qǐng)?zhí)貏e注意請(qǐng)?zhí)貏e注意與普通代數(shù)與普通代數(shù)不同之處不同之處與或（2）常量與變量之間的關(guān)系普通代數(shù)結(jié)普通代數(shù)結(jié)果如何？

16、果如何？（3）與普通代數(shù)相似的定理 交換律交換律AB = BAA + B = B + A結(jié)合律結(jié)合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)（4）特殊的定理D De morgene morgen定理定理兩點(diǎn)說明：兩點(diǎn)說明：1 1、乘法運(yùn)算中乘號(hào)、乘法運(yùn)算中乘號(hào)“”可以省略，可以省略，A B A B 可寫可寫為為ABAB2 2、運(yùn)算順序，先括號(hào)，再算乘，最后加。、運(yùn)算順序，先括號(hào)，再算乘，最后加。 這些基本定律反應(yīng)了邏輯代數(shù)的基本規(guī)律，其正確性都可以利用真值表加以驗(yàn)證。例：證明反演率BAABBABA,BABA

17、ABBAAB從真值表中看出：BABABAABBABABAAB（1 1）、代入規(guī)則）、代入規(guī)則 任何一個(gè)含變量任何一個(gè)含變量 A A 的等式中，如果將出現(xiàn)的等式中，如果將出現(xiàn) A A 的地方，的地方，都代之一個(gè)邏輯函數(shù)都代之一個(gè)邏輯函數(shù) F F ，則等式仍然成立。，則等式仍然成立。例1：分配率A(B+C) = AB+AC令：C = EF 代入公式A(B+EF)證:A(B+EF)用乘對(duì)加的分配率證明例2:BABAABCDBCDCD則：令：A = CD證：BCDBCDCDCDBCDCD)(代入規(guī)則之所以正確： 是因?yàn)槿魏我粋€(gè)邏輯函數(shù)和任何一個(gè)邏輯變量一樣，只有兩種可能取值 (0 ,1),所以可以將邏

18、輯函數(shù)當(dāng)作一個(gè)邏輯變量對(duì)待。= AB+AEF= AB+AEF（2 2）、反演規(guī)則：）、反演規(guī)則： （摩根定理）目的：求原函數(shù)的反函數(shù)求原函數(shù)的反函數(shù) 已知函數(shù)為已知函數(shù)為 F F ，將，將 F F 中的所有中的所有 “” 換為換為“”，“” 換為換為 “” ，0 0 換為換為 1 1 ，1 1 換為換為 0 0，原變量換為反變量，反變量換為原變量。，原變量換為反變量，反變量換為原變量。得到的函數(shù)式就是原函數(shù)的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)。記作得到的函數(shù)式就是原函數(shù)的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)。記作FCDBAFF求例1:已知解：由反演規(guī)則直接得出由反演規(guī)則直接得出DCBAF)(由反演率得由反演率得2 2、在運(yùn)算過程中適當(dāng)增加括號(hào)，以保證原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。、在運(yùn)算過程中適當(dāng)增加括號(hào)，以保證原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。本例說明：本例說明： 1 1、由反演規(guī)則求反函數(shù)，比直接用反演率求反函數(shù)方便、簡(jiǎn)單。、由反演規(guī)則求反函數(shù)，比直接用反演率求反函數(shù)方便、簡(jiǎn)單。CDBA DC