校本課程教案(數(shù)學(xué)1)

1、第一章 集合集合是高中數(shù)學(xué)中最原始、最基礎(chǔ)的概念，也是高中數(shù)學(xué)的起始單元，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).它的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在：集合思想、集合語言和集合的符號(hào)在高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)如函數(shù)、數(shù)列、方程與不等式、立體幾何與解析幾何中都被廣泛地使用.在高考試題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，很多問題可以用集合的語言加以敘述.集合不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是支撐現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)的問題.§1.1 集合的概念與運(yùn)算【基礎(chǔ)知識(shí)】一集合的有關(guān)概念1集合：具有某些共同屬性的對(duì)象的全體，稱為集合.組成集合的對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.2集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性.3集合的分類：無限

2、集、有限集、空集.4. 集合間的關(guān)系：二集合的運(yùn)算1交集、并集、補(bǔ)集和差集差集：記A、B是兩個(gè)集合，則所有屬于A且不屬于B的元素構(gòu)成的集合記作.即且.2.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1),(冪等律);(2), (交換律);(3), (結(jié)合律);(4),(分配律);(5),(吸收律);(6)(對(duì)合律);(7), (摩根律)(8),.3.集合的相等(1)兩個(gè)集合中元素相同,即兩個(gè)集合中各元素對(duì)應(yīng)相等;(2)利用定義,證明兩個(gè)集合互為子集;(3)若用描述法表示集合,則兩個(gè)集合的屬性能夠相互推出(互為充要條件),即等價(jià);(4)對(duì)于有限個(gè)元素的集合,則元素個(gè)數(shù)相等、各元素的和相等、各元素之積相等是兩集合相等的必要條

3、件.【典例精析】【例1】在集合中,任意取出一個(gè)子集,計(jì)算它的各元素之和.則所有子集的元素之和是 .分析已知的所有的子集共有個(gè).而對(duì)于,顯然中包含的子集與集合的子集個(gè)數(shù)相等.這就說明在集合的所有子集中一共出現(xiàn)次,即對(duì)所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和為=說明本題的關(guān)鍵在于得出中包含的子集與集合的子集個(gè)數(shù)相等.這種一一對(duì)應(yīng)的方法在集合問題以及以后的組合總是中應(yīng)用非常廣泛.【例2】已知集合且,求參數(shù)的取值范圍.分析首先確定集合A、B,再利用的關(guān)系進(jìn)行分類討論.【解】由已知易求得當(dāng)時(shí),由知無解;當(dāng)時(shí),顯然無解; 當(dāng)時(shí), ,由解得綜上知,參數(shù)的取值范圍是.說明本題中,集合的定義是一個(gè)二次三項(xiàng)

4、式,那么尋于集合B要分類討論使其取值范圍數(shù)字化,才能通過條件求出參數(shù)的取值范圍.【例3】已知,集合.若,則的值是( )A.5 B.4 C.25 D.10【解】,且及集合中元素的互異性知,即,此時(shí)應(yīng)有而,從而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也滿足(1)式.說明本題主要考查集合相等的的概念,如果兩個(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)相等,那么兩個(gè)集合中對(duì)應(yīng)的元素應(yīng)分別相等才能保證兩個(gè)集合相等.而找到這種對(duì)應(yīng)關(guān)系往往是解決此類題目的關(guān)鍵.【例4】已知集合.若,求+的值.分析從集合A=B的關(guān)系入手,則易于解決.【解】,根據(jù)元素的互異性,由B知.且,故只有,從而又由及,得所以或,其中與元素的互異性矛盾

5、!所以代入得:+=()+2+()+2+()+2=0.說明本題是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利用的是集合相等的必要條件,即兩個(gè)集合相等,則兩個(gè)集合中,各元素之和、各元素之積及元素個(gè)數(shù)相等.這是解決本題的關(guān)鍵.【例5】已知A為有限集,且,滿足集合A中的所有元素之和與所有元素之積相等,寫出所有這樣的集合A. 【解】設(shè)集合A=且,由,得,即或(事實(shí)上,當(dāng)時(shí),有.當(dāng)時(shí),而當(dāng)時(shí),由,解得綜上可知,說明本題根據(jù)集合中元素之間的關(guān)系找到等式,從而求得集合A.在解決問題時(shí),應(yīng)注意分析題設(shè)條件中所給出的信息,根據(jù)條件建立方程或不等式進(jìn)行求解.【例6】已知集合,若,求實(shí)數(shù)的取值組成的集合A.【

6、解】,設(shè).當(dāng),即時(shí),滿足;當(dāng),即或時(shí), 若,則,不滿足,故舍去; 若時(shí),則,滿足.當(dāng)時(shí),滿足等價(jià)于方程的根介于1和2之間.即.綜合得,即所求集合A.說明先討論特殊情形(S=),再討論一般情形.解決本題的關(guān)鍵在于對(duì)分類討論,確定的取值范圍.本題可以利用數(shù)形結(jié)合的方法討論【例7】(2005年江蘇預(yù)賽)已知平面上兩個(gè)點(diǎn)集 R, R. 若 , 則 的取值范圍是【解】由題意知 是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線 為準(zhǔn)線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點(diǎn)集， 是以 為中心的正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)集(如圖)考察 時(shí), 的取值范圍:令 , 代入方程 ,得 ，解出得 所以，當(dāng) 時(shí), 令 ，代入方程 , 得 . 解出得所以，當(dāng) 時(shí), 因此, 綜合 與 可知，當(dāng) ，即 時(shí), 故填 .【例8】已知集合,其中,.若,.且中的所有元素之和為124,求集合A、B.【解】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,則有解得或(舍)此時(shí)有若,即,此時(shí)應(yīng)有,則中的所有元素之和為100124.不合題意.綜上可得, 說明