(完整版)高數(shù)中需要掌握證明過程的定理(二)

1、在第一期的資料內(nèi)我們總結(jié)了高數(shù)前半部分需要掌握證明過程的定理，由于最近比較忙，所以一直沒來得及寫?，F(xiàn)將后半部分補上。希望對大家有所幫助。1)泰勒公式(皮亞諾余項)設函數(shù)f (x)在點X0處存在n階導數(shù)，則在X0的某一鄰域內(nèi)成立2nf(x)f(Xo)X X f(Xo)X ：f(Xo). X：of(n)(Xo)o XXon2!n!【點評】：泰勒公式在計算極限、高階導數(shù)及證明題中有很重要的應用。對于它們，我們首要的任務是記住常見函數(shù)(sinx,cosx,ln(1x),ex,(1x)a)在x0處的泰勒公式，并能利用它們計算其它一些簡單函數(shù)的泰勒公式，然后在解題過程中加以應用。在復習的前期,但由于證明過

2、程中所如果基礎不是很好的話， 兩種不同形式的泰勒公式的證明可以先不看。用到的方法還是很常用的。因此把它寫在這里。證明：令 R(x) f(X)f (Xo)X Xo(Xo)2x Xo2!f (Xo).n土旦 f(n)(Xo) n!則我們要證明R(x) o x x0 n由高階無窮小量的定義可知，需要證明limX X0R(x)nxo0。這個極限式的分子分母都趨于零，并且都是可導的, 因此用洛必達法則得f (X) f (Xo)X Xof (Xo). R(x) lim nx Xo x xolimX xon 1n x xonx Xon 1 !1-f(n)(Xo)再次注意到該極限式的分子分母仍趨于零，則。不難

3、驗證該過程可以一直進行下去，運用過n 1次洛必達法則后我們可以得到并且也都是可導的,因此可以再次運用洛必達法. R(x) lim nx xo x xolimfX Xo(n1)(x) f，)X Xo f (Xo)lim fX Xo(n O(X)f(n (Xo)n! x x0n! x xo f (Xo)n!f(n1)(x) f(n1)(Xc)(n)由于f(x)在點Xo處存在n階導數(shù)，由導數(shù)的定義可知lim- f( )(xo)x XoX xo代入可得lim R(X) n x X0 x x00。證畢注：這個定理很容易得到如下錯誤的證明：直接用n次洛必達法則后得到lim R(x) n lim f (x)

4、 f (n) (x0)0XXx X)X X0錯誤的原因在于定理條件中僅告知了f (X)在點X0處存在n階導數(shù)，并沒有說明在其它點處的n階導數(shù)是否存在。就算其它點 處白n階導數(shù)也存 在，f(n) (X)也不一定連續(xù), lim f(x) f (n)(x0) 0也不一定成立。X X0希望大家注意。2)泰勒公式(拉格朗日余項)設函數(shù)f(X)含有點X0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n 1階導數(shù),則對(a, b)內(nèi)任意一點x,都成立f (x) f(Xo)X X f (Xo)2X02!f (X0).nX X0n!嚴(X0) Rn(x)其中R(x)n 1X X0(n1)!f (n 1)(介于X和X0之間?！军c

5、評】： 證明：同上。令 R(x)f(X)f (Xo)x Xof (Xo)2X X0.f (X0) .2!nX X。n!f(n)(x0)Ri(x)X X0則我們需要證明R(x)R 1(x)f(n 1)()o(n 1)!由于 R(Xo)Pni(Xo) 0,R(X)因此Pn1(x)R(x) R(xo)Pnl(x) P, 1(X0)易知，R(x), Pn 1 (x)滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知,x和X0之間存在一點1使得R(x) R(%)R( 1)R( 1)Pn 1 (x) Pn 1(x0)Pn 1 ( 1) n 1 Pn( 1)“-X Xo-(n)而 R(x) f (x) f (Xo

6、) X Xo f (Xo) . f (Xo)(n 1)!因此，此時仍然有 R (Xo) Pn(Xo) o。則 R(i)1 R(i) R(Xo)、n 1 Pn( l) (n 1)Pn( i) Pn(Xo) 易知，R(X), Pn(X)仍滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在1和Xo之間存R( 2)n 1 nPn 1( 2)一 .、一.、11 R ( i) R(x0)1 R ( 2)在一點2使得122n 1 Pn( 1) Pn(Xo) (n 1)Pn( 2)由于1在X和Xo之間，因此 2也在X和Xo之間。容易檢驗，上述過程可以一直進行下去，使用過 n 1次柯西公式后即可得到R(x) f(

7、n1)() O Pn1(x)(n 1)!證畢注：在計算極限或確定無窮小量的階時，一般用到皮亞諾余項的泰勒公式；在做證明題時用拉格朗日余項比較多。 兩種泰勒公式的條件是不同的，其中拉格朗日余項的條件更強，結(jié)論也更強。這兩個定理的證明，如果基礎不太好一時接受不了的話可以先跳過，到下一階段再看。3)定積分中值定理設函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點使得下式成立:bf(x)dx f( )(b a)a【點評】：積分中值定理是定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理的推論，它在是證明微積分基本定理的基礎，在整個微積分中具有極大的理論意義。同時，證明題中對該定理的應用也比較

8、常見，通常會和微分中值定理結(jié)合使用，考生首先應該熟記該定理的條件和該定理的證明過程也結(jié)論。另外，考試中還出現(xiàn)過與該定理證明方法類似的證明題。因此,是需要掌握的。該定理的證明過程教材上有，因為比較重要，也為了方便大家，在這里寫下我的證明過程證明：f (x)在區(qū)間a,b上由于f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理可知:可以取到最大與最小值。設最大值為M ,最小值為m 。則有mf(x)M ,x a,b 。b則有 mdxabf(x)dxabMdx ,也即m(b a)bf(x)dxaM (ba)兩邊同時除以(b a)可得mbf (x)dxab abf (x) dx可知是介于函數(shù)f (x

9、)在區(qū)間a,b上的最大值 M和最小值為b am之間的一個數(shù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知,f(x)能取到 m,M 上的一切數(shù)。bf(x)dx因此在積分區(qū)間a,b上存在一點使得：f ()。b ab也即 f (x)dx f ( )(b a)。a證畢附：下面是02年數(shù)三的一道證明題，證明方法與本定理很類似，大家可以試一試?！?2年數(shù)三6分】：設函數(shù)f (x), g(x)在a,b上連續(xù)，且g(x)0。試利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存bf(x)g(x)dxf( )g(x)dx。ab在一點 a,b ,使得a4)積分上限函數(shù)的導數(shù)x如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則變積分上限函數(shù)(x) f(t)

10、dt在a,b上可導,a并且它的導數(shù)是d x(x) f (t)dt f (x),a x b dx a【點評】：這個定理的重要性不用強調(diào)了，考試中也直接考到過它的證明。由于是對定理的證明，因此要證明(x)的導數(shù)等于f(x)只能用定義，對于大家強化導數(shù)的定義是一個很好的訓練。證明：x a,b由導數(shù)的定義可知，本定理等價于證明lim (x x) (x)x 0 xf(x)。而limx I,(x x) (x) lim， 0xx 0xxf (t)dt a f(t)dtaxx xx f出x由于f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，因此由定積分中值定理可知:存在介于x與xx之間的x x使得 f (t)dt xf (),

11、x則 lim (x x) (x) lim f( )ox 0xx 0由于介于x與x x之間，因此當 x 0時， x。又由于f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，可知lim f()x 0lim f ( ) f (x)。(xx) (x)一、也即 lim -f(x)。x 0 x d x由導數(shù)的定義可知(x) f (t)dt f(x),a x bodx a證畢5)牛頓萊布尼茲公式如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，bf(x)dx F(b) F(a)a【點評】：牛頓-萊布尼茲公式又名微積分基本定理，是因為它用一個簡單的公式就成功地聯(lián)系起了微積分中最重要的兩個概念：微分和積分，極大地簡

12、化了定積分的計算。它是微積分最核心的定理之一，其簡潔明了的形式也使它被認為是微積分幾百年研究歷史中最漂亮的結(jié)論之一！該定理和上一個定理實際上是等價的，只需要用到一個函數(shù)在同一區(qū)間上的不同原函數(shù)間僅相差一個常數(shù)。大家不妨自己推證。6)柯西 施瓦茲不等式設函數(shù)f(x),g(x)都在區(qū)間a,b上可積且平方可積(注意：這里沒有說連續(xù)),b2bb則有 f (x)g(x)dx f ( x)dx g (x)dxaaa【點評】 ：這個公式是教材上的習題，在考試時可以直接用。該公式在f ( x), g(x)連續(xù)時也成立， 但證明方法有區(qū)別， 通過這個例子可以說明應用牛頓 萊布尼茲公式時檢驗被積函數(shù)是否連續(xù)的重要

13、性。證明： x2xx法一： 令 F(x) f(t)g(t)dtf 2(t)dt g2(t)dt,x a,baaa則 F(a) 0。而x2 x22 x 2F(x) 2f(x)g(x) f(t)g(t)dt f2(x)g2(t)dt g2(x) f 2(t)dtaaax2f(x)g(x)f(t)g(t)f2(x)g2(t) g2(x)f2(t)dtf(x)g(t) g(x)f(t) dt 0F(x) 在區(qū)間 a,b 上單調(diào)遞減。則有F(b) F(a)整理即得所需不等式。證畢注：就本題來說，這個證明過程是錯的。因為本題沒有說f(x),g(x)連續(xù)，因此不能用變上限積分求導公式，也就是說對F(x) 的

14、計算是不合法的。把這個證明過程放在這里是因為在考研范圍內(nèi)我們遇到的函數(shù)大多是連續(xù)的， 而且利用函數(shù)單調(diào)性的方法在積分不等式的證明中也是很有代表性的。b2法二： 易知， t R ，有 f(x) tg(x) dx 0 。ab2bbb將括號打開可得f (x) tg( x) dx t g (x)dx 2t f (x)g(x)dx f (x)dxaaaa將該式看作變量t 的二次函數(shù)， h(t) 。可知，h(t) 0對任意白實數(shù)t都成立。由二次函數(shù)的相關理論可知，該二次函數(shù)的判別式小于或等于零b2 b2b2也即 2f ( x) g (x)dx4 g ( x)dx f (x)dx 0aaa整理即得所需不等式

15、。證畢注：由于這種證明方法所用到的條件比f(x),g(x)連續(xù)弱，因此當f(x), g(x)連續(xù)時， 該證明過程也成立。 但這個證明過程所用到的方法不具有代表性， 大家了解一下即可。7）二元函數(shù)偏導數(shù)存在與可微的關系如果函數(shù)z f（x, y）在點（x, y）可微，則函數(shù)在該點連續(xù)且兩個偏導數(shù)均存在，并且【點評】：學到多元函數(shù)時第一個困擾我們的就是多元函數(shù)的可微與可導不再等價，它們與連續(xù)性的關系也變得更為復雜了。 下面希望能通過幾個定理與反例來 將這個關系說清楚。證明： 由可微的定義可知存在只與（x, y）有關而與x, y實數(shù)A,B使得z AxByoJx2y2在點（x, y）附近成立?，F(xiàn)證明A

16、,由偏導數(shù)定義可知，這等價于證明 x11m0f (x x, y) f (x, y)由于 z A x B y o . x2成立,x,y) f(x, y)A limx 0由高階無窮小的定義可知o lim 一 x 00。因此，有l(wèi)im f(x x, y) f(x,y)x 0x因此 f (x x, y) f (x, y) Ao xlim 。x 0 x也即A 0 x同理，可證B 三。 y 也就是說：偏導數(shù)連續(xù)的函數(shù)必然可微， 可微的函數(shù)必然連續(xù)并且存在偏導數(shù)， 但連續(xù)和偏 導數(shù)存在這兩個概念本身是互不包含的 (也就是說連續(xù)的函數(shù)不一定存在偏導數(shù)， 偏導數(shù)存 在的函數(shù)也不一定連續(xù))。注1:關于二元函數(shù)可微，偏導數(shù)存在、證畢連續(xù)和偏導數(shù)連續(xù)的關系可以用下圖來表示：34注二：例如：1)函數(shù) f(x,y)y ,在(0,0)連續(xù),但偏導數(shù)不存在。2)又如函數(shù)f (x, y)xy 222 ,xyx y220, x y 0，在(0, 0)處的偏導數(shù)是存在的。因為 fx(0,0)limx 0