06節(jié)平面曲線的曲率

1、第6節(jié) 曲線的曲率6.1弧長微分 在曲線上取定一點為起點，從到的曲線段長記為，并規(guī)定當時。是單調(diào)增加的函數(shù)。下面求弧長微分。圖6.1 如果則 如果則以后經(jīng)常要用到以上弧長微分公式。6.2曲線的曲率這節(jié)討論曲線的曲率，也就是曲線的彎曲程度。設(shè)曲線在的切線與軸正向的夾角為，在的切線與軸正向的夾角為。經(jīng)過，切線的夾角變化了設(shè)和之間曲線的長為。 容易想見，和之間曲線的曲率（彎曲程度）與成正比，與成反比，平均曲率讓求極限，就得到曲線在的曲率（彎曲程度）下面我們求出從而得到求曲率的計算公式。用作參數(shù)例子：求半徑為的圓上一點的曲率。解、上半圓的方程。圓的曲率到處一樣，求在處的曲率即可。這一結(jié)果是符合實際的。

2、因此我們把稱為曲線在點的曲率半徑。以為半徑，在曲線凹側(cè)，又與曲線在點相切的圓稱為曲線在點的曲率圓，其圓心稱為曲率中心?！纠?.1】 求擺線，的曲率，并討論在擺線上哪一點曲率最??？最小的曲率是多少？（）解、最小最大。當曲率最小【例6.2】 鐵路彎道的緩和曲線鐵軌彎道的主要部分是呈圓弧形的（稱為主彎道）為了使列車既平穩(wěn)又安全，除了必須使直道與彎道相切以外，還須考慮軌道曲線的曲率在切點鄰近連續(xù)的變化（這時列車在該點鄰近所受向心力也將連續(xù)地變化）我們知道，直線的曲率為0，而半徑為的圓弧的曲率是，如果直道與圓弧形彎道直接相切，則在切點處曲率有一跳躍度，只有當充分大，列車在轉(zhuǎn)彎時才顯得較為平穩(wěn)，但是實際鋪

3、設(shè)鐵軌時，由于地形的限制，彎道的半徑不可能隨意放大，故需要在直道與彎道之間增加一段稱為緩和曲線的彎道，以使得鐵軌的曲率連續(xù)地從零過渡到解、（對題的解析看黑版。） 設(shè)過渡曲線為（這是為了下面推算簡單）。盡管設(shè)計精確一大堆小數(shù)，施工也不可能實現(xiàn)一大堆小數(shù)。因此作以下近似。，很大，。取，即過渡曲線為。習題3-6A類1. 求下列各曲線在指定點的曲率和曲率半徑：(1)在點；*(2)在點2. 求下列曲線的曲率與曲率半徑：(1) 拋物線(2) 雙曲線*(3) 星形線3. 求下列參數(shù)方程給出的曲線的曲率和曲率半徑：*(1) 橢圓(2) 圓的漸開線4. 求下列以極坐標表示的曲線的曲率半徑：*(1) 心臟線*(2

4、) 雙紐線(3) 對數(shù)螺線5. 求拋物線在頂點處的曲率圓方程.B類*1. 設(shè)為拋物線上任一點處的曲率半徑，為該曲線上一定點到的有向弧長（取增長方向與軸正向一致），證明：滿足關(guān)系2. 設(shè)曲線是用極坐標方程給出，且二階可導，證明它在點處的曲率為總 習 題 三*1. 設(shè)滿足關(guān)系式，且,，則在點處A. 取得極大值 B. 取得極小值C. 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 D. 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少2. 設(shè)在上,則或的大小順序是A. B. C. C. *3. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如下圖所示，則有 3題圖A一個極小值點和兩個極大值點B兩個極小值點和一個極大值點C兩個極小值點和兩個極大值點D三個極小值點和一個極大值

5、點4. 設(shè)常數(shù),函數(shù)在內(nèi)零點個數(shù)為A.3 B.2 C.1 D.0*5. 設(shè)時,與是同階無窮小,則為A.1 B.2 C.3 D.46. 設(shè)函數(shù)和在上存在二階導數(shù)，且,，證明(1) 在內(nèi)；(2) 在內(nèi)至少存在一點，使.7. 設(shè)在上函數(shù)有連續(xù)導數(shù)，且，證明：在內(nèi)有且僅有一個零點8. 設(shè)在上可導，且求證：存在，使9. 求證方程恰好有三個不同實根10. 求下列極限：*(1) (2) ，(3) (4) (5) (6) 11. 證明不等式：*(1) 當時，(2) 當時，(3) (4) ，其中12. 在中求出最大的一個數(shù)*13. 設(shè)在和處取得極值，試確定與的值，并證明是極大值，是極小值14. 設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有3階連續(xù)導數(shù)，如果，試問是否為極值點，為什么？是否為拐點，為什么？*15. 討論函數(shù)的性態(tài)，并作出圖形16. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間是下凸的,則,以及滿足的個非負數(shù)