極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)方程

1、一、坐標(biāo)系1、數(shù)軸 它使直線上任一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)x確定2、平面直角坐標(biāo)系 在平面上，當(dāng)取定兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定了度量單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系。它使平面上任一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）確定。3、空間直角坐標(biāo)系 在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)取定這三條直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系。它使空間上任一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)對(duì)（x,y,z）確定。二、平面直角坐標(biāo)系的伸縮變換定義：設(shè)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換 的作用下，點(diǎn)P（x，y）對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P（x，y），稱為平面直角坐

2、標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換。三例題講解例1 在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。 （1）2x+3y=0； （2）x2+y2=1三、極坐標(biāo)系1、極坐標(biāo)系的建立：在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線OX，同時(shí)確定一個(gè)單位長(zhǎng)度和計(jì)算角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。（其中O稱為極點(diǎn)，射線OX稱為極軸。）2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用 r 表示線段OM的長(zhǎng)度，用 q 表示從OX到OM 的角度，r 叫做點(diǎn)M的極徑， q叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)（r，q）就叫做M的極坐標(biāo)。特別強(qiáng)調(diào)：由極徑的意義可知r0;當(dāng)極角

3、q的取值范圍是0,2)時(shí),平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)（r，q）建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 .們約定,極點(diǎn)的極坐標(biāo)是極徑r=0,極角是任意角.3、負(fù)極徑的規(guī)定在極坐標(biāo)系中，極徑r允許取負(fù)值，極角q也可以去任意的正角或負(fù)角當(dāng)r0時(shí)，點(diǎn)M （r，q）位于極角終邊的反向延長(zhǎng)線上，且OM=。M （r，q）也可以表示為 4、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1 寫出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)A（4，0）B（2 ）C（ ）D（ ）E（ ）F（ ）G（ ）規(guī)定：極點(diǎn)的極坐標(biāo)是=0，可以取任意角。變式訓(xùn)練 在極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn)A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，）例2 在極坐標(biāo)系中，（1） 已知兩點(diǎn)P（

4、5，），Q，求線段PQ的長(zhǎng)度；（2） 已知M的極坐標(biāo)為（r，q）且q=，r，說明滿足上述條件的點(diǎn)M 的位置。變式訓(xùn)練1、若的的三個(gè)頂點(diǎn)為2、若A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為求AB的長(zhǎng)以及的面積。（O為極點(diǎn)）例3 已知Q（r，q），分別按下列條件求出點(diǎn)P 的極坐標(biāo)。（1） P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)；（2） P是點(diǎn)Q關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；（3） P是點(diǎn)Q關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)。變式訓(xùn)練1.在極坐標(biāo)系中,與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)是 ( ) 2在極坐標(biāo)系中，如果等邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是求第三個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)。四、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。平面內(nèi)任意一點(diǎn)

5、P的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為和，則由三角函數(shù)的定義可以得到如下兩組公式： 說明1上述公式即為極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式2通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取0，。3 化公式的三個(gè)前提條件1. 極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;2. 極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;3. 兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同.三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1（1）把點(diǎn)M 的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)； （2）把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)。變式訓(xùn)練在極坐標(biāo)系中,已知求A,B兩點(diǎn)的距離例2若以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸正半軸,建立直角坐標(biāo)系.(1) 已知A的極坐標(biāo)求它的直角坐標(biāo),(2) 已知點(diǎn)B和點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為求它們的極坐標(biāo).0,02)變式訓(xùn)練把下列個(gè)點(diǎn)的

6、直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定0,0)例3在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn).求A,B中點(diǎn)的極坐標(biāo).變式訓(xùn)練在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn).判斷三點(diǎn)是否在一條直線上. 五、常用曲線的極坐標(biāo)方程 1、若直線經(jīng)過且極軸到此直線的角為，求直線的極坐標(biāo)方程。變式訓(xùn)練：直線經(jīng)過且該直線到極軸所成角為，求此直線的極坐標(biāo)方程。 2、若圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，求圓的方程。運(yùn)用此結(jié)果可以推出哪些特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。3、 在圓心的極坐標(biāo)為，半徑為4的圓中，求過極點(diǎn)O的弦的中點(diǎn)的軌跡。三、鞏固與練習(xí)在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心，半徑，（1）求圓的極坐標(biāo)方程。（2）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，在的延長(zhǎng)線上，且，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 1、圓錐曲線的統(tǒng)一

7、方程 設(shè)定點(diǎn)的距離為，求到定點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程。分析：建系 設(shè)點(diǎn) 列出等式用極坐標(biāo)、表示上述等式，并化簡(jiǎn)得極坐標(biāo)方程說明：為便于表示距離，取為極點(diǎn)，垂直于定直線的方向?yàn)闃O軸的正方向。表示離心率，表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。2、例題講解 例12003年10月1517日，我國(guó)自主研制的神舟五號(hào)載人航天飛船成功發(fā)射并按預(yù)定方案安全、準(zhǔn)確的返回地球，它的運(yùn)行軌道先是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，橢圓的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）和遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距離地面分別為200km和350km，然后進(jìn)入距地面約343km的圓形軌道。若地球半徑取6378km，試寫出神舟五號(hào)航天飛船運(yùn)行的橢圓軌道的極坐標(biāo)方程。 例2求證：過拋物線的焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成的兩部分的倒數(shù)和為常數(shù)。變式訓(xùn)練 設(shè)P、Q是雙曲線上的兩點(diǎn)，若。 求證：為定值； 三、鞏固與練習(xí)已知拋物線的焦點(diǎn)為。 （1）以為極點(diǎn)，軸正方向?yàn)闃O軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標(biāo)方程；（2）過取作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|16，運(yùn)用拋物線的極坐標(biāo)方程，求直線的傾斜角?；A(chǔ)訓(xùn)練1直線 的斜率是 2極坐標(biāo)方程表示的曲線是 3曲線和的交點(diǎn)坐標(biāo) 4在極坐標(biāo)系中與圓相切的一條直線方程為 （ ） A、 B、 C、 D、5橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng) 二、講解新課： 例1求曲線