條件異方差模型-9

1、1 EViews中的大多數(shù)統(tǒng)計工具都是用來建立隨機變量的條件均值模型。中的大多數(shù)統(tǒng)計工具都是用來建立隨機變量的條件均值模型。本章討論的重要工具具有與以往不同的目的本章討論的重要工具具有與以往不同的目的建立變量的條件方差或變量建立變量的條件方差或變量波動性模型。波動性模型。 我們想要建模并預(yù)測其變動性通常有如下幾個原因我們想要建模并預(yù)測其變動性通常有如下幾個原因: 首先，我們可能要分首先，我們可能要分析持有某項資產(chǎn)的風險；其次，預(yù)測置信區(qū)間可能是時變性的，所以可以通析持有某項資產(chǎn)的風險；其次，預(yù)測置信區(qū)間可能是時變性的，所以可以通過建立殘差方差模型得到更精確的區(qū)間；第三，如果誤差的異方差是能適當

2、過建立殘差方差模型得到更精確的區(qū)間；第三，如果誤差的異方差是能適當控制的，我們就能得到更有效的估計?？刂频?，我們就能得到更有效的估計。 2 自回歸條件異方差自回歸條件異方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對其進行預(yù)測的。模型是特別用來建立條件方差模型并對其進行預(yù)測的。 ARCH模型是模型是1982年由恩格爾年由恩格爾(Engle, R.)提出，并由博勒斯萊文提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev, T., 1986)發(fā)展成為發(fā)展成為GARCH (Generalized AR

3、CH)廣義自回歸條件異方差。這廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟學的各個領(lǐng)域。尤其在金融時間序列分析中。些模型被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟學的各個領(lǐng)域。尤其在金融時間序列分析中。 按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點。但在時間序列數(shù)據(jù)中，會不會出現(xiàn)異方差呢？會是怎樣出現(xiàn)的？面數(shù)據(jù)的特點。但在時間序列數(shù)據(jù)中，會不會出現(xiàn)異方差呢？會是怎樣出現(xiàn)的？ 3 恩格爾和克拉格（恩格爾和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這）在分析宏觀數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時間序列模型

4、中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。樣一些現(xiàn)象：時間序列模型中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預(yù)測誤差會大恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預(yù)測誤差會大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測誤差的方差取決于后續(xù)擾動量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測誤差的方差取決于后續(xù)擾動項的大小。項的大小。4 從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預(yù)測的研究工作者，從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預(yù)測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預(yù)測能力隨時期的不同而有相當大的變化。預(yù)測的誤差曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預(yù)測能力隨時

5、期的不同而有相當大的變化。預(yù)測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預(yù)測誤差的方差中有某種相關(guān)性。財政政策變化等等的影響。從而說明預(yù)測誤差的方差中有某種相關(guān)性。 為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差(ARCH)模型。模型。ARCH的主要思想是時刻的主要思想是時刻

6、t 的的ut 的方差的方差( (= t2 ) )依賴于時刻依賴于時刻(t 1)的擾動項平方的大小，的擾動項平方的大小，即依賴于即依賴于 t2- 1 。 5 為了說得更具體，讓我們回到為了說得更具體，讓我們回到k -變量回歸模型：變量回歸模型：(6.1.1) 如果如果 ut 的均值為零，對的均值為零，對 yt 取基于取基于(t-1)時刻的信息的期望，即時刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的有如下的關(guān)系：關(guān)系： (6.1.2)由于由于 yt 的均值近似等于式（的均值近似等于式（6.1.1）的估計值，所以式（）的估計值，所以式（6.1.1）也稱為）也稱為。ttkkttuxxy110ktktt

7、ttxxxy221101)(E6 在這個模型中，變量在這個模型中，變量 yt 的條件方差為的條件方差為 （6.1.3）其中：其中：var(yt Yt-1)表示基于表示基于 (t-1) 時刻的信息集合時刻的信息集合Yt-1 = yt-1, yt-2, , y1的的 yt 的條的條件方差，件方差， 假設(shè)在時刻假設(shè)在時刻 ( t 1 ) 所有信息已知的條件下，擾動項所有信息已知的條件下，擾動項 ut 的條件分布是：的條件分布是： (6.1.7) 也就是，也就是，ut 遵循以遵循以0為均值，為均值，( 0+ 1u2t-1 )為方差的正態(tài)分布。為方差的正態(tài)分布。tu)( ,02110tuN2121101

8、1E)(E)Yvar(tttkktttttuxxyy7 由于由于(6.1.7)中中 ut 的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：過程： 通常用極大似然估計得到參數(shù)通常用極大似然估計得到參數(shù) 0, 1, 2, , k, 0, 1的有效估計。的有效估計。 容易加以推廣，容易加以推廣，ARCH ( (p) )過程可以寫為：過程可以寫為： (6.1.8)這時方差方程中的這時方差方程中的(p+1)個參數(shù)個參數(shù) 0, 1, 2, , p也要和回歸模型中的參數(shù)也要和回歸模型中的參數(shù) 0, 1, 2, , k一樣，利用極大似然估計法進行估計。一樣，

9、利用極大似然估計法進行估計。21102)var(tttuu222221102)var(ptpttttuuuu8 如果擾動項方差中沒有自相關(guān)，就會有如果擾動項方差中沒有自相關(guān)，就會有 H0 ：這時這時 從而得到擾動項方差的同方差性情形。從而得到擾動項方差的同方差性情形。 恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設(shè)：恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設(shè)：其中，其中，t 表示從原始回歸模型（表示從原始回歸模型（6.1.1）估計得到的）估計得到的OLS殘差。殘差。 222221102ptptttuuuu021p02)var(tu9 在在 ARCH(p) 過程中，由于過程中，由于

10、ut 是隨機的是隨機的，ut2 不可能為負，所以對于不可能為負，所以對于 ut 的所有實現(xiàn)值，只有是正的，才是合理的。為使的所有實現(xiàn)值，只有是正的，才是合理的。為使 ut2 協(xié)方差平穩(wěn)，所協(xié)方差平穩(wěn)，所以進一步要求相應(yīng)的特征方程以進一步要求相應(yīng)的特征方程 （6.1.9）的根全部位于單位圓外。如果的根全部位于單位圓外。如果 i（i = = 1, 2, , p）都非負，式（都非負，式（6.1.9）等）等價于價于 1 + + 2 + + + + p 1 1。 01221ppzzz10 下面介紹檢驗一個模型的殘差是否含有下面介紹檢驗一個模型的殘差是否含有ARCH效應(yīng)的兩種方法：效應(yīng)的兩種方法：ARCH

11、 LM檢驗和殘差平方相關(guān)圖檢驗。檢驗和殘差平方相關(guān)圖檢驗。 Engle在在1982年提出檢驗殘差序列中是否存在年提出檢驗殘差序列中是否存在ARCH效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗（檢驗（Lagrange multiplier test），即），即ARCH LM檢驗。自回歸條件異方差檢驗。自回歸條件異方差性的這個特殊的設(shè)定，是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時間序列中，殘差的大小性的這個特殊的設(shè)定，是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時間序列中，殘差的大小與最近的殘差值有關(guān)。與最近的殘差值有關(guān)。ARCH本身不能使標準的本身不能使標準的OLS估計無效，但是，忽略估計無效，但是，忽略ARCH影響可能導(dǎo)致有效性降低

12、。影響可能導(dǎo)致有效性降低。 11 ARCH LM檢驗統(tǒng)計量由一個輔助檢驗回歸計算。為檢驗檢驗統(tǒng)計量由一個輔助檢驗回歸計算。為檢驗，運行如下回歸：運行如下回歸： 式中式中 t 是殘差。這是一個對常數(shù)和直到是殘差。這是一個對常數(shù)和直到 q 階的滯后平方殘差所作的回歸。這階的滯后平方殘差所作的回歸。這個檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量：個檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量： （1）F 統(tǒng)計量是對所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個省略變量檢統(tǒng)計量是對所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個省略變量檢驗；驗； （2）T R2 統(tǒng)計量是統(tǒng)計量是Engles LM檢驗統(tǒng)計量，它是觀測值個數(shù)檢驗統(tǒng)計量，它是觀測值個數(shù) T 乘以回

13、歸檢乘以回歸檢驗的驗的 R2 ； tqtqttuuu22110212 普通回歸方程的普通回歸方程的ARCH檢驗都是在殘差檢驗下拉列表中進行的，需要注意檢驗都是在殘差檢驗下拉列表中進行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二階段最小二乘法和非線性最小二乘法估計的方的是，只有使用最小二乘法、二階段最小二乘法和非線性最小二乘法估計的方程才有此項檢驗。程才有此項檢驗。 Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustom Test Wizard13 顯示直到所定義的滯后階數(shù)的殘差平方顯示直到所定義的滯后階數(shù)的殘差平方t2的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，的自相關(guān)

14、系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，計算出相應(yīng)滯后階數(shù)的計算出相應(yīng)滯后階數(shù)的Ljung-Box統(tǒng)計量。殘差平方相關(guān)圖可以用來檢查殘差自統(tǒng)計量。殘差平方相關(guān)圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（回歸條件異方差性（ARCH）。）?？蛇m用于可適用于LS，TSLS，非線性，非線性LS方程。方程。在圖在圖6.4中選擇中選擇Residuals Tests/ Correlogram Squared Residuals項，它是對方項，它是對方程進行殘差平方相關(guān)圖的檢驗。單擊該命令，會彈出一個輸入計算自相關(guān)和偏自程進行殘差平方相關(guān)圖的檢驗。單擊該命令，會彈出一個輸入計算自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的滯后階數(shù)設(shè)定的對話框，默認的設(shè)定為相

15、關(guān)系數(shù)的滯后階數(shù)設(shè)定的對話框，默認的設(shè)定為36，單擊，單擊OK按鈕，得到檢驗按鈕，得到檢驗結(jié)果。結(jié)果。 14 為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性，本例選擇了為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性，本例選擇了滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因為上海股票市滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因為上海股票市場不僅開市早，市值高，對于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感，因此，本例所場不僅開市早，市值高，對于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感，因此，本例所分析的滬市股票價格波動具有一定代表性。在這個例子中，我們選擇的分析的滬市股票價格波動具有一定代表性。在這個例子中，我們選擇的樣

16、本序列樣本序列sp是是1996年年1月月1日至日至2006年年12月月31日的上海證券交易所每日股日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計時，對票價格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計時，對sp進行自然對數(shù)處進行自然對數(shù)處理，即將序列理，即將序列l(wèi)n(sp)作為因變量進行估計。作為因變量進行估計。15 由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程隨機游動隨機游動（Random Walk）模型描述，所以本例進行估計的基本形式為：）模型描述，所以本例進行估計的基本形式為： (6.1.12) 首先利用最小二乘法，估計了一個普通的

17、回歸方程，結(jié)果如下：首先利用最小二乘法，估計了一個普通的回歸方程，結(jié)果如下：(6.1.13) (2.35) (951) R2= 0.997 tttuspsp)ln()ln(1)ln(9976. 00178. 0)ln(1ttspps16 可以看出，這個方程的統(tǒng)計量很顯著，而且，擬合可以看出，這個方程的統(tǒng)計量很顯著，而且，擬合 的程度也很好。的程度也很好。但是需要檢驗這個方程的誤差項是否存在條件異方差性，。但是需要檢驗這個方程的誤差項是否存在條件異方差性，。17 觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動的觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動的“成群成群”現(xiàn)象：波動在現(xiàn)象：波動在一

18、些較長的時間內(nèi)非常小，在其他一些較長的時間內(nèi)非常大，這說明殘差序列存在高一些較長的時間內(nèi)非常小，在其他一些較長的時間內(nèi)非常大，這說明殘差序列存在高階階ARCH效應(yīng)。效應(yīng)。18 因此，對式因此，對式(6.1.26)進行條件異方差的進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到了在滯后階數(shù)檢驗，得到了在滯后階數(shù)p = 3時的時的ARCH LM檢驗結(jié)果如下。此處的檢驗結(jié)果如下。此處的P值為值為0，拒絕原假設(shè)，說明式（，拒絕原假設(shè)，說明式（6.1.26）的）的殘差序列存在殘差序列存在ARCH效應(yīng)。效應(yīng)。 可以計算式（可以計算式（6.1.26）的殘差平方）的殘差平方t2的自相關(guān)（的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（）

19、和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，）系數(shù)，結(jié)果說明式（結(jié)果說明式（6.1.26）的殘差序列存在）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)。效應(yīng)。19 本例建立本例建立CPI模型，因變量為中國的消費價格指數(shù)（上年同月模型，因變量為中國的消費價格指數(shù)（上年同月=100）減去）減去100，記為，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應(yīng)量；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應(yīng)量M1的增長率，記為的增長率，記為m1rt；3年期貸年期貸款利率，記為款利率，記為Rt，樣本期間是，樣本期間是1994年年1月月2007年年12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用X-12季節(jié)季節(jié)調(diào)整方法對調(diào)整方法對 cpit

20、 和和 m1rt 進行了調(diào)整，結(jié)果如下：進行了調(diào)整，結(jié)果如下： t = (19.5) (-5.17) (2.88) (-2.74) R2=0.99 對數(shù)似然值對數(shù)似然值 = -167.79 AIC = 2.045 SC =2.12 ttttttuRrmcpicpicpi06. 0168. 236. 035. 1212120 這個方程的統(tǒng)計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘這個方程的統(tǒng)計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的差圖，也可以注意到波動的“成群成群”現(xiàn)象：波動在一些時期內(nèi)較小，在其他現(xiàn)象：波動在一些時期內(nèi)較小，在其他一些時期內(nèi)較大，這

21、說明誤差項可能具有條件異方差性。一些時期內(nèi)較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。21 從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應(yīng)。效應(yīng)。再進行條件異方差的再進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到了在滯后階數(shù)檢驗，得到了在滯后階數(shù)p = 1時的時的ARCH LM檢驗檢驗結(jié)果：結(jié)果： 因此計算殘差平方因此計算殘差平方t2的自相關(guān)（的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下：）系數(shù)，結(jié)果如下： 22 從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列

22、存在著一階ARCH效應(yīng)。因此利用效應(yīng)。因此利用ARCH(1)模型重新估計模型模型重新估計模型（6.1.14），結(jié)果如下：），結(jié)果如下： 均值方程：均值方程： z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程：方差方程： z = (5.03) (3.214) R2=0.99 對數(shù)似然值對數(shù)似然值 = -151.13 AIC = 1.87 SC = 1.98 方差方程中的方差方程中的ARCH項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和和SC值都變小了，這說明值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬

23、合數(shù)據(jù)。模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。 ttttttuRrmcpicpicpi062. 01098. 313. 0088. 12121212648. 0186. 0ttu23 再對這個方程進行條件異方差的再對這個方程進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到了殘差序列在滯后階數(shù)檢驗，得到了殘差序列在滯后階數(shù)p=1時的統(tǒng)計結(jié)果：時的統(tǒng)計結(jié)果： 此時的相伴概率為此時的相伴概率為0.69，接受原假設(shè)，認為該殘差序列不存在，接受原假設(shè)，認為該殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，效應(yīng)，說明利用說明利用ARCH(1)模型消除了式（模型消除了式（6.1.14）的殘差序列的條件異方差性。式）的殘差序列的條件異方差性。式（6.

24、1.15）的殘差平方相關(guān)圖的檢驗結(jié)果為：）的殘差平方相關(guān)圖的檢驗結(jié)果為： 自自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個結(jié)果也說明了殘差序列不再存在。這個結(jié)果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應(yīng)。效應(yīng)。 24 擾動項擾動項 ut 的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應(yīng)用更是如此）。因此采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應(yīng)用更是如此）。因此 必須估計很多參數(shù)，而這一點很必須估計很多參數(shù)，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程(6.1.8)不過

25、是不過是 t2 的分布滯后模型，的分布滯后模型，我們我們就能夠用一個或兩個就能夠用一個或兩個 t2 的滯后值代替許多的滯后值代替許多 ut2 的滯后值，這就是廣義自回的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型歸條件異方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，簡記為，簡記為GARCH模型模型)。在。在GARCH模型中，要考慮模型中，要考慮兩個不同的設(shè)定：一個是條件均值，另一個是條件方差。兩個不同的設(shè)定：一個是條件均值，另一個是條件方差。 222221102ptptttuuu21232221021ptpt

26、ttuuu25 在標準化的在標準化的GARCH(1,1)模型中：模型中：均值方程：均值方程：(6.1.17)方差方程：方差方程：(6.1.18)其中：其中：xt 是是 (k+1)1維外生變量向量維外生變量向量， 是是(k+1)1維系數(shù)向量維系數(shù)向量。 (6.1.17)中給中給出的均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數(shù)。由于出的均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數(shù)。由于 t2是以前面信息為基礎(chǔ)的是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測方差一期向前預(yù)測方差 ，所以它被稱作條件方差，所以它被稱作條件方差，式式（6.1.18）也被稱作也被稱作 。tttuyx21212tttu26 (6.1.18)中給出的條

27、件方差方程是下面三項的函數(shù)：中給出的條件方差方程是下面三項的函數(shù)： 1常數(shù)項（均值）：常數(shù)項（均值）： 2用均值方程用均值方程(6.1.11)的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息：的信息： ut2-1（ARCH項）。項）。 3上一期的預(yù)測方差：上一期的預(yù)測方差： t2-1 （GARCH項）。項）。 GARCH(1,1)模型中的模型中的(1,1)是指階數(shù)為是指階數(shù)為1的的GARCH項（括號中的第一項）項（括號中的第一項）和階數(shù)為和階數(shù)為1的的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH模型是模型是GARCH

28、模型的一個特例，模型的一個特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后，即在條件方差方程中不存在滯后預(yù)測方差預(yù)測方差 t2-1的說明。的說明。 27 在在EViews中中ARCH模型是在擾動項是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函模型是在擾動項是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計的。例如，對于數(shù)方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t 時期的對數(shù)似然函數(shù)為：時期的對數(shù)似然函數(shù)為：(6.1.19) 其中其中 (6.1.20) 這個說明通?？梢栽诮鹑陬I(lǐng)域得到解釋，因為代理商或貿(mào)易商可以通過建立長期這個說明通?？梢栽诮鹑陬I(lǐng)域得到解釋，因為代理商或貿(mào)易商可以通過建立長期均

29、值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預(yù)期方差（均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預(yù)期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關(guān)項）和在以前各期中觀測到的關(guān)于變動性的信息（于變動性的信息（ARCH項）來預(yù)測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意項）來預(yù)測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會增加對下期方差的預(yù)期。這個模型還包括了經(jīng)?？梢栽谪攧?wù)料地大，那么貿(mào)易商將會增加對下期方差的預(yù)期。這個模型還包括了經(jīng)常可以在財務(wù)收益數(shù)據(jù)中看到的變動組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨收益數(shù)據(jù)中看到的變動組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。大變化。

30、222/)(21ln21)2ln(21tttttylx2121212112)(ttttttuyx28 有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型：有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型： 1如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代（如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代（6.1.18）式的右端，就可以將條）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動項平方的加權(quán)平均：件方差表示為滯后擾動項平方的加權(quán)平均： （6.1.21） 我們看到我們看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，擾動項的加權(quán)條件方差。后階

31、數(shù)上的，擾動項的加權(quán)條件方差。 .12112jtjjtu29 2設(shè)設(shè) vt = ut2 t2。用其替代方差方程（。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，）中的方差并整理，得到關(guān)于擾動項平方的模型：得到關(guān)于擾動項平方的模型： （6.1.22）因此，擾動項平方服從一個異方差因此，擾動項平方服從一個異方差A(yù)RMA(1, 1)過程。決定波動沖擊持久性的自回過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是歸的根是 加加 的和。在很多情況下，這個根非常接近的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。，所以沖擊會逐漸減弱。 . 1212ttttvvuu30 方程方程(6.1.18)可以擴展成包

32、含外生的或前定回歸因子可以擴展成包含外生的或前定回歸因子 z 的方差方程：的方差方程： （6.1.23） 注意到從這個模型中得到的預(yù)測方差不能保證是正的。可以引入到這樣一些注意到從這個模型中得到的預(yù)測方差不能保證是正的?？梢砸氲竭@樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負的預(yù)測值的可能性降到最小。形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負的預(yù)測值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：例如，我們可以要求：ttttzu21212ttxz 31 高階高階GARCH模型可以通過選擇大于模型可以通過選擇大于1的的 p 或或 q 得到估計，記作得到估計，記作GARCH(q, p)。其方差表示為：其

33、方差表示為：（6.1.24） 這里這里，q 是是GARCH項的階數(shù)，項的階數(shù)， p是是ARCH項的階數(shù)項的階數(shù)，p0并并且且, , (L)和和 (L)是是滯后算子多項式滯后算子多項式。 22012122)()(ttpiitiqjjtjtLuLu32 為了使為了使GARCH(q, p)模型的條件方差有明確的定義，相應(yīng)的模型的條件方差有明確的定義，相應(yīng)的ARCH()模模型型 （6.1.25）的所有系數(shù)都必須是正數(shù)。只要的所有系數(shù)都必須是正數(shù)。只要 (L)和和 (L)沒有相同的根并且沒有相同的根并且 (L)的根全部的根全部位于單位圓外，那么當且僅當位于單位圓外，那么當且僅當 0= 0/(1- (L)

34、， (L)= (L)/(1- (L)的所有系數(shù)的所有系數(shù)都非負時，這個正數(shù)限定條件才會滿足。例如，對于都非負時，這個正數(shù)限定條件才會滿足。例如，對于GARCH(1, 1)模型模型 （6.1.26）這些條件要求所有的這些條件要求所有的3個參數(shù)都是非負數(shù)個參數(shù)都是非負數(shù)。202)(ttuL21212tttu33 如果限定如果限定GARCH模型的方差方程中的參數(shù)和等于模型的方差方程中的參數(shù)和等于1，并且去掉常數(shù)項：，并且去掉常數(shù)項： （6.1.27）其中其中 （6.1.28） 這就是這就是Engle和和Bollerslev（1986）首先提出的單整）首先提出的單整GARCH模型模型（Intergra

35、ted GARCH Model，IGARCH）。）。piitiqjjtjtu12122111piiqjj34 在估計一個在估計一個GARCH模型時，有兩種方式對模型時，有兩種方式對GARCH模型的參數(shù)進行約束模型的參數(shù)進行約束（restrictions）。一個選擇是）。一個選擇是IGARCH方法，它將模型的方差方程中的所有參方法，它將模型的方差方程中的所有參數(shù)之和限定為數(shù)之和限定為1。另一個就是方差目標（。另一個就是方差目標（variance target）方法，它把方差方程）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常數(shù)項設(shè)定為）中的常數(shù)項設(shè)定為GARCH模型的參數(shù)和無條件方差的方程：模型的參數(shù)和無條件方差的方程： （6.1.29）這里的這里的 是是殘差的無條件方差。殘差的無條件方差。qpiij1j121235 在計算在計算GARCH模型的回推初始方差時，首先用系數(shù)值來計算均值方程中的模型的回推初始方差時，首先用系數(shù)值來計算均值方程中的殘差，然后計算初始值的指數(shù)平滑算子殘差，然后計算初始值的指數(shù)平滑算子 （6.1.30）其中：其中：t 是來自均值方程的殘差，是來自均值方程的殘差， 是無條件方差的估計：是無條件方差的估計： （6.1.31）平滑平滑參數(shù)參數(shù) 為