向量法解題孫居國(guó)—研課稿

1、向 量 法 解 立 體 幾 何 題（南京師大附中）師：請(qǐng)每位同學(xué)先畫(huà)一個(gè)正方體(教師在黑板上畫(huà))。都畫(huà)好了吧。(130)今天我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題：(讀題，板書(shū)方框中文字。) (247)在棱長(zhǎng)為1的正方體中，棱長(zhǎng)為1，E、F分別是A1D、AC上的點(diǎn)，并且=，=。問(wèn)題：當(dāng)為何值時(shí)，EF/D1B；EF與AC有何關(guān)系；證明EF/面 D1DCC1_O_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D(309)第1題，大家看看，大概多少？多少？××(322) 生：我想為。師：你想為，你怎么想的呢？生：直覺(jué)。師：直覺(jué)，感覺(jué)一下，為。為時(shí)，能不能證明這兩條線平行呢？你們得出一個(gè)結(jié)論，

2、為時(shí)，EF平行D1B。×× 生：連接D1E，并且延長(zhǎng)交AD于P。師：連接什么，D1E，交于一點(diǎn)P。(畫(huà)圖)生：然后連接BP，就可以構(gòu)成一個(gè)平面。_O_P_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D師：你就是假如，F(xiàn)點(diǎn)就在這個(gè)位置的時(shí)候(即F在BP上)，那么AF比上AC是不是。 生：是。 師：是，根據(jù)比例的關(guān)系。那么等于的時(shí)候，D1B與EF是否平行呢？你來(lái)證明。生：因?yàn)镻F: FB=AF: FC。師：這個(gè)比這個(gè)等于多少？PE:PD1？生：1:3。師：那么PF:PB？ 生：也是1:3。師：根據(jù)比例關(guān)系得到EF和D1B這兩條線平行，是不是啊。(540)前面我們學(xué)習(xí)了用

3、向量的辦法來(lái)解決問(wèn)題，剛才××同學(xué)用這種辦法證明了，我們來(lái)看看怎么用向量的辦法來(lái)證明：為時(shí)，這兩條線平行。(擦去PD1和PB)想一下，我們?cè)趺从孟蛄哭k法解決問(wèn)題。××，你想一下怎么用向量的辦法來(lái)證明D1B與EF平行？ 生：先找一組基底。師：先找一組基底，是不是啊。你找哪一組基底？ 生：為。師：為。(標(biāo)出) 生：為。師：好,為。(標(biāo)出) 生：為。師：好，為。(標(biāo)出)通常我們選擇不共面的三個(gè)向量作為空間向量的一組基底，然后其它所有的都可以通過(guò)這組基底來(lái)表示，是不是啊。建立好了，然后呢？問(wèn)題含義的理解(問(wèn)題是什么？)當(dāng) 為何值時(shí)，EFD1B？ Û求使

4、EFD1B的的值。 Û如果EFD1B，的值是多少? Û已知EFD1B，求。 假設(shè)= ，是否EFD1B？ Û已知=，求證EFD1B。Û當(dāng)=時(shí)， EF和D1B是什么位置關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題肯定不是原問(wèn)題，因?yàn)樵}中沒(méi)有=這個(gè)條件。原命題中求, 顯然是未知量, EFD1B是已知條件；而在假設(shè)命題中正好顛倒過(guò)來(lái)了,成了要求證的問(wèn)題?？梢?jiàn)其實(shí)是原命題的逆命題。 連PB交AC于F，易證AF:AC=PF:PB=1:3, 得EFD1B,所以AF:AC =1:3時(shí)，EFD1B。 因?yàn)镋FD1B，所以EF和D1B共面與平面BD1P中，D1P、BP都在這個(gè)平面中，易證AF:AC=P

5、F:PB=PE:PD1=ED:A1D=1:3。 假設(shè)AF:AC =1:3，連BP交AD與P,可證P與P重合，易證EFD1B。因?yàn)橐陨细鞑讲讲娇赡妗Ｋ援?dāng)AF:AC =1:3時(shí)，EFD1B。(這句話不可少) 因?yàn)镋FD1B，所以=-+- =(+-)，得=-，=；所以=- 。假設(shè)=，可得=-(+- )，= -+-，可 見(jiàn)=，即。_b_c_a_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D生：然后把和分別用基底來(lái)表示。師：分別把要解決的問(wèn)題中的和分別把它表示出來(lái)，(板書(shū))是不是啊。是什么呢？ 生：=+。師：好，是什么？(描紅) 生：+。師：哪個(gè)向量？噢，=+，好。我們看看是什么呢？ =+生：

6、- +。師：看看，=( 的什么？ 生：-。師：我們通常用什么方法表示向量比較好？我們前面講過(guò)，頭尾相連的？噢，從哪個(gè)箭頭進(jìn)去，到哪個(gè)箭頭結(jié)束。是這條線路，還可以走哪條線路，從E點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)？ 生：A到D到E。師：噢，這個(gè)到這個(gè)到這個(gè)(在圖中指E到A1到A）。你說(shuō)的是不是這一個(gè)？ 生：我說(shuō)的是A到D到E。師：A到D到E。觀察一下，起點(diǎn)在這個(gè)地方(E)，終點(diǎn)在這個(gè)地方(A)，觀察結(jié)果應(yīng)該是E到D到A，是不是。注意，終點(diǎn)，起點(diǎn)，對(duì)不=+·(+)=+(+)=(-)-+(+)=+- 對(duì)？那么就等于+。再加上什么，。是什么呢？ 生：·(+)。(板書(shū)) 師：·(+)，是不是啊。

7、等于多少？ 生：。師：好，。(改為)(+)再整理一下，？ 生：+。 師：啊？ 生：-。 師：噢，是(-)-+(+)。整理一下得等于什么？生：=+- 。(1204)師：好，通過(guò)基底就表示出來(lái)了，是不是啊。再看，它等于多少？看看哪位同學(xué)來(lái)表示一下？×× 生：師：你準(zhǔn)備走哪條線路？從D1到B，你走哪條線路？從這個(gè)點(diǎn)(D1)出發(fā)，你走哪個(gè)線路到B。 生：D1A1師：D1A1等于什么？ 生：-。師：到這邊了（指黑板上的圖），再怎么樣？ 生：A1到B1。師：A1到B，直接過(guò)來(lái)？ 生：A1到B1。師：到這里(B1)？向量是？ 生：。但是，這里不是步步可逆。由只能推出=，而推不出=，即推不

8、出=。所以不是步步可逆。 假設(shè)=，得=，,=，過(guò)E點(diǎn)與平行的向量唯一，所以=。即當(dāng)=時(shí)，EFD1B。 (兩邊夾) 教學(xué)路線 (1)猜想=，綜合幾何法證明；(2)猜想=，向量法證明；(3)歸納概括向量法解題步驟； (4)綜合幾何證明EFAC； (5)向量法證明EFAC； (6)兩法求異面A1D與AC距離；(7)歸納概括向量法可以解決的 所有問(wèn)題； (8)隨機(jī)提出一個(gè)線線角問(wèn)題解 決，并求解； (9)引導(dǎo)分析向量法的優(yōu)缺點(diǎn)； (10) =?時(shí)，EF面DD1C1C； (11)歸納幾何意義與向量意義的 轉(zhuǎn)化； 線線平行Û=； 線面平行Û=+ 線線垂直，線面垂直，線線角， 線面角，點(diǎn)

9、面距離，線線距離。(12)留一個(gè)問(wèn)題為下一節(jié)課作好 鋪墊解決與平面法向量 有關(guān)的問(wèn)題。 教學(xué)思維：通過(guò)具體問(wèn)題的解決概括出知識(shí)要點(diǎn)和方法步驟，這樣的知識(shí)點(diǎn)與問(wèn)題建立起意義聯(lián)系，是知識(shí)與運(yùn)用，解題與方法的一種有意義學(xué)習(xí)，使知識(shí)和方法具有了更大的彈性，具有更大的遷移能力。 兩課采用完全不同的教學(xué)方式，周從知識(shí)到知識(shí)， 師：這里再怎樣？ 生：B1到B。師：然后再下來(lái)到B。他說(shuō)的這條線路可不可以??？ 生：可以。師：好，就是=-+-。這里的a、b、c次序不太對(duì)，是不是 =+- =-+-=-+-=啊，把它整理一下，就是=-+- (-+-)?？纯?，這兩個(gè)表示起來(lái)有什么關(guān)系??？師：我們發(fā)現(xiàn)，等于什么？ 生：的

10、。師：某一向量等于乘以某一向量，說(shuō)明這兩個(gè)向量怎么？ 生：共線。(1)建立基底(2)向量表示(3)代入運(yùn)算(4)得出結(jié)論師：共線。那么這兩條線有沒(méi)有共同的交點(diǎn)啊？沒(méi)有，所以得到這兩個(gè)平行。(1400)我們發(fā)現(xiàn)通過(guò)向量辦法來(lái)解決平行問(wèn)題，剛才××同學(xué)說(shuō)得很好，第一步是什么？建立基底。(板書(shū))第二步呢？ 生：向量表示。師：噢，向量表示。第三步呢？代入運(yùn)算，是不是啊。運(yùn)算結(jié)果出來(lái)后，就可以什么呢，就可以下結(jié)論。我們發(fā)現(xiàn)，通過(guò)向量的辦法可以解決兩條線平行的問(wèn)題。(1500)我們?cè)賮?lái)看，另一個(gè)問(wèn)題，這里已得到等于了，如果等于的時(shí)候，我們來(lái)看看EF與AC有什么關(guān)系？(板書(shū)) ×

11、;× 生：垂直。 師：垂直啊，為什么垂直？ 生：EFD1B。師：好，因?yàn)镋F與D1B。 生：D1B在平面ABCD的射影是BD。師：噢，你就是根據(jù)三垂線定理證明D1BAC，因?yàn)镈1BEF，所以EFAC?？刹豢梢园?，很好?？刹豢梢杂孟蛄康霓k法證明EFAC？ 眾：可以。師：可以，用向量的辦法怎么來(lái)證明？ 眾：用向量的數(shù)量積。=+·=(-+-)·(+)=2-2=0師：現(xiàn)在EF有沒(méi)有表示出來(lái)？表示出來(lái)了。AC呢？ 眾：也可以表示。師：噢，也可以表示?？纯碅C是什么？ 生：+。師：等于什么，噢，+。我們來(lái)算算看，·。也就是運(yùn)算以后看看得到什么結(jié)果。分別展開(kāi)以后，&#

12、183;等于什么？ 生：等于0。師：為什么？ 生：垂直。師：噢，,兩兩垂直，因此等于什么，(2- 2)，2等于多少？ 生：1，都是1。師：等于1，都是1，好，那就等于什么？ 生：0。師：因?yàn)閮上蛄康臄?shù)量積為0，所以EF垂直于AC。(1805)再看看 孫從問(wèn)題解決引出知識(shí)； 周教記憶，記憶解題孫教思考，尋找解題思路； 周從一般到特殊，抽象到具體孫從特殊到一般，具體到抽象周教師是主體，學(xué)生是聽(tīng)眾 孫教師是向?qū)?，學(xué)生探究， 但向?qū)圆蛔?，探究仍不夠?解題教學(xué) 教學(xué)生“學(xué)”解題。什么是“學(xué)”解題？關(guān)鍵在“學(xué)”的過(guò)程，而不在結(jié)果的對(duì)錯(cuò)。 學(xué)如何著手解題； 學(xué)如何理解題意； 學(xué)如何數(shù)學(xué)表示,意義轉(zhuǎn)換;學(xué)

13、如何聯(lián)想轉(zhuǎn)換問(wèn)題； 學(xué)如何常識(shí)方法調(diào)整思路； 學(xué)如何預(yù)測(cè)估計(jì)前景學(xué)如何判斷正誤； 學(xué)如何估計(jì)意義和價(jià)值； 學(xué)如何反思監(jiān)控； (1)讀題， 復(fù)述問(wèn)題，重述問(wèn)題條件、問(wèn)題牢記于心，出自于心； (2)問(wèn)題是什么？ =？時(shí)EFD1B。(原話) 問(wèn)題是什么意思？換一種說(shuō)法：如果EFD1B，那么=？ 猜=，它是已知量未知量？(3)已知條件有哪些？特別注意EFD1B。是已知，而非未知(4)重申問(wèn)題：EFD1BÛ=？ 問(wèn)題特點(diǎn)： 問(wèn)題本身具有開(kāi)放性：=？時(shí) EFD1B。 提問(wèn)方式具有開(kāi)放性：邏輯意 義開(kāi)放，充分?必要?充要? 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué) 宗旨：以問(wèn)題和解題帶動(dòng)概念、技能和方法的復(fù)習(xí)、梳理及運(yùn) E

14、F與A1D有什么關(guān)系？ (板書(shū)) 生：垂直(少數(shù)人)。師：??？也垂直。根據(jù)三垂線定理可不可以證明？ 眾：可以。師：根據(jù)向量的方法算一算行不行??？ 生：行。師：這么一來(lái)發(fā)現(xiàn)，EF這條線非常特殊吧，是什么線？××生：這條線是A1D和AC的公垂線。師：是異面直線A1D和AC的公垂線。這條公垂線表示什么關(guān)系？是兩條異面直線的什么？ 眾：距離。師：距離是什么？ 生：EF。師：EF的什么？ 生：長(zhǎng)度，模。師：長(zhǎng)度，也就是模。下面算一算，兩條異面直線的距離：EF的模是多少呢？ 生：的D1B。師：D1B長(zhǎng)度的，為什么是？生：證第一題時(shí)已經(jīng)把它證明了(=)。師：噢，再兩邊加模，是不是啊?，F(xiàn)在

15、|怎么算呢？生：用勾股定理算出來(lái)。師：噢，(D1C2+CB2)再開(kāi)方，是不是啊。好，如果直接算EF可不可以？我不通過(guò)這個(gè)方法，也不用勾股定理，就直接算算?？梢栽趺此惆?？ 生：做一條輔助線。師：做一條輔助線，不加輔助線行不行？×× 生：行，用向量法，算模的平方。師：要算EF的長(zhǎng)度，先算它模的平方。模的平方等于什么？生：就等于(用基底表示的形式)師：我們寫(xiě)一下，他的意思就是2=(- +-)2。(板書(shū))這個(gè)式子非常重要：模的平方等于向量的平方，是不是啊。好，這個(gè)結(jié)果能不能算出來(lái)，算出來(lái)等于什么？ 生：。師：怎么算出來(lái)的。噢，就只要平方，等于2+2+2，其它中間的乘積要不要了？ 生

16、：不要。|2=2=(-+-)2=2+2+2=師：結(jié)果等于多少？ 生：。師：發(fā)現(xiàn)EF的長(zhǎng)度等于多少？生：。(2158)師：，是不是?。吭瓉?lái)我們可以根據(jù)向量解決平行問(wèn)題；解決垂直問(wèn)題；還可以求什么，距離。立體幾何中，平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系；兩種特殊的度量，一個(gè)是距離，還一個(gè)是什么，角。利用向量的方法能不能解決有關(guān)角的問(wèn)題呢？隨便拿一個(gè)問(wèn)題出來(lái)看看，找哪兩條線所成的角？ 生：EF跟AC。(眾笑)師：啊？哪一個(gè)啊？ 生：EF跟A1D1。不，A1F、A1C1。用，在運(yùn)用中復(fù)習(xí)，而不是教條的、僵化的、孤立的復(fù)習(xí)，否則復(fù)習(xí)的東西缺乏“彈性”。 教學(xué)教學(xué)生“學(xué)” 教學(xué)生“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)” 教學(xué)生“學(xué)”任何東西

17、 都要高舉這面大旗； 不是一句口號(hào)！ 如何落實(shí)教“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”“用科學(xué)研究的一般方法去學(xué)”首先，要在解決問(wèn)題中“學(xué)”，因而學(xué)習(xí)任何東西都要有一個(gè)問(wèn)題，沒(méi)有問(wèn)題就要設(shè)法形成問(wèn)題，用問(wèn)題帶動(dòng)知識(shí)，帶動(dòng)方法，帶動(dòng)反思總之用問(wèn)題帶動(dòng)思考。適當(dāng)?shù)膯?wèn)題至關(guān)重要，選擇“復(fù)合情境案例”，“多而似案例”，“概括性案例”等。 其次，解題教學(xué)的啟發(fā)與探究新知的啟發(fā)有所不同，解題教學(xué)的啟發(fā)重在發(fā)現(xiàn)解題思路，探究新知的啟發(fā)重在發(fā)現(xiàn)對(duì)象的本質(zhì)特征。 師：到底哪個(gè)。 生：A1F和A1C1。師：A1F，這條線吧(在圖中畫(huà)出該線)，看得見(jiàn)吧。 生：看不見(jiàn)。師：噢，改成虛線。和A1C1，上面這一條。行?。∥覀儊?lái)看看，他是A1F和A

18、1C1。你打算怎么來(lái)算這兩條線所成的 _b_c_a_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D_F角？?jī)蓷l異面直線啊？ 生：相交。師：是相交直線。相交直線也行哎！異面直線所成的角與相交直線所成的角有什么區(qū)別啊？??？ 生：平移。噢，噢，平移一下。通過(guò)向量平移，這個(gè)向量變不變?。?生：不變。師：角度變不變??？ 生：不變。師：就是異面直線所成的角通過(guò)平移就變成相交了。好，看這兩個(gè)吧。生：先把它們兩個(gè)向量點(diǎn)乘，再算它們的模師：怎么點(diǎn)乘？生：先把表示出來(lái)。師：怎么表示啊？哪條線路？A1F，走哪條路線？ =+-, =+,生：A1、A到F。師：A1到A等于什么？ 生：。師：什么向量？ 生：-。師：還

19、是-？ 生：-。師：一定要注意方向，-+。 生：。師：噢，(板書(shū)中)少了一個(gè)。A1C1呢？ 生：+。=+-, =+,cos= = 。師：那它們所成的角，怎么算？ 生：把它們點(diǎn)乘起來(lái)。師：噢，點(diǎn)乘起來(lái)，乘起來(lái)后呢？ 生：把、的模相乘，再相除。師：說(shuō)具體，cos等于什么？ 生：cos=·，師：噢，就等于·，然后什么？除以|·|。(2615)馬上把它算一下。算出來(lái)結(jié)果多少？ (教師巡視)有沒(méi)有算出來(lái)啦？(2705)分子上面多少？啊？ 生：。師：分子上面；分母上呢？ 生：。師：分母上。其他同學(xué)是不是算出來(lái)這個(gè)結(jié)果？ 生：是。師：是的，那問(wèn)題解決了，最后結(jié)果是什么？。最后下

20、結(jié)論：所以這兩條線所成的角等于什么，arccos。(2754)好，這樣我們發(fā)現(xiàn)通過(guò)向量的辦法，我們可以找見(jiàn)線線平行、 線線垂直、兩條異面直線的距離問(wèn)題，是不是?。窟€有線線角的問(wèn)題。我們想一下，向量的辦法跟我們前面講的證明的辦法比起 來(lái)，××你認(rèn)為怎么樣？ 生：我覺(jué)得向量的辦法非常好！ 師：好在哪里？生：如果要求異面直線所成角的話，要經(jīng)過(guò)平移，一不小心就會(huì)出錯(cuò)；而向量呢，完全建立在代數(shù)的運(yùn)算上，所以只要運(yùn)算過(guò)關(guān)的話，題目基本上能做對(duì)！師：你的意思就是說(shuō)，把原來(lái)證明的，要?jiǎng)幽X筋的麻煩的證明問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為計(jì)算問(wèn)題。好，我們把線線問(wèn)題解決了。(2855)再來(lái)，當(dāng)為何值時(shí)，EF平行于面

21、D1DCC1？當(dāng)為何值的_b_c_a_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D_F時(shí)候，EF與這個(gè)面平行？我們現(xiàn)在要解決線面平行的問(wèn)題。還是跟剛才一樣，你們大膽地猜想，你們估計(jì)這個(gè)大概為多少？ 生：。師：哦？能不能證明一下：等于時(shí)候，它們真的是平行嗎？(3025)能證明??？怎么證明??？哪位同學(xué)講講看。(3055)大家講等于了，F(xiàn)點(diǎn)就要向這邊來(lái)一點(diǎn)了吧?在這個(gè)位置(使=)。假如它是，你能不能證明EF平行于面D1DCC1。我們要解決線面平行的問(wèn)題啊，一般要用什么辦法？ 生：先證線線平行。師：找到線線平行，是不是啊。這是我們前面的經(jīng)驗(yàn)。好，××。生：我認(rèn)為，一開(kāi)始是用基

22、底來(lái)表示。師：先把表示出來(lái)，你打算用向量辦法，是??？把表示出來(lái)，那么已經(jīng)不一樣了，不一樣在哪里啊？重新表示一下，。要走哪條線路？的A1D、DA，哦，就這里變一下，變成什么，最后結(jié)果是 (- +)，有沒(méi)有？ 生：沒(méi)有。師：沒(méi)有？好，沒(méi)有了，就是(- +)。然后呢？生：因?yàn)橛没妆硎镜臅r(shí)候，它沒(méi)有在方向上(聽(tīng)不清）師：先看看這個(gè)東西(- +)表示什么？ 眾：生：應(yīng)該表示的是以和為基底的平面上的一個(gè)向量。師：我們前面講過(guò)，如果和是不共線的向量，這個(gè)+就搞定了這個(gè)平面中的任意向量。那么這個(gè)地方的是不是被這兩個(gè)向量所搞定了，所以是不是在這平面上，是不是？生：是。 師：好，這樣一來(lái)，又因?yàn)镋F與這個(gè)平面有

23、沒(méi)有交點(diǎn)啊，沒(méi)有交點(diǎn)， 所以得到EF與這個(gè)平面平行。這樣一來(lái)，我們要不要根據(jù)前面的判定定理，在這個(gè)平面中找一條線和它平行??？ 生：不要。師：沒(méi)有必要了。原來(lái)，只要把它表示成，在這個(gè)平面中找一組基底，只要能表示成 +，就可以證明它們平行，是不是??？(3442)這樣一來(lái)發(fā)現(xiàn)，證明線面平行還是很簡(jiǎn)單的吧？是不是很簡(jiǎn)單的？還能證明什么問(wèn)題啊，大家還想到有哪些問(wèn)題？師：還可以解決什么問(wèn)題??？線面平行解決了。還可以解決什么問(wèn)題？ 少數(shù)人：面面平行。 師：線面垂直可不可以？ 少數(shù)人：可以。師：線面垂直，可以不可以解決?。磕膫€(gè)同學(xué)找個(gè)問(wèn)題出來(lái)讓大家解決看哪！×× 生：可以算直線和平面所成的夾角。師：線面角。剛才是線面平行，那么你就來(lái)個(gè)問(wèn)題吧，哪條線和哪個(gè) 面所成的角。 生：直線BD1與平面A1BC1。(3730)師：哪條直線？ 生：BD1。師：與什么？ 生：A1BC1。 _O_C_1_D