電磁感應(yīng)與暫態(tài)過(guò)程

1、第六章 電磁感應(yīng)與暫態(tài)過(guò)程靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的基本規(guī)律，在表達(dá)公式中電場(chǎng)和磁場(chǎng)是各自獨(dú)立、互不相關(guān)的。然而，激發(fā)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的源電荷和電流卻是相關(guān)的，電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間也必然存在著相互聯(lián)系、制約的關(guān)系。1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，1831年法拉第經(jīng)過(guò)系統(tǒng)研究，發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，并總結(jié)出電磁感應(yīng)定律。電磁感應(yīng)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，不僅闡明了變化磁場(chǎng)能夠激發(fā)電場(chǎng)這一關(guān)系，還進(jìn)一步揭示了電與磁之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)了電磁理論的發(fā)展，從而奠定了現(xiàn)在電工技術(shù)的基礎(chǔ)。從實(shí)用的角度看，這一發(fā)現(xiàn)使電工技術(shù)有可能長(zhǎng)足發(fā)展，為后來(lái)的人類生活電氣化打下了基礎(chǔ)。從理論上說(shuō)，這一發(fā)現(xiàn)更全面地揭示了電和磁的關(guān)系，使在這一年初生的麥

2、克斯韋后來(lái)有可能建立一套完整的電磁場(chǎng)理論，這一理論在近代科學(xué)重得到了廣泛的應(yīng)用。因此，怎樣評(píng)價(jià)法拉第的發(fā)現(xiàn)的重要性都是不為過(guò)的。本章主要討論電磁感應(yīng)現(xiàn)象及其基本規(guī)律法拉第電磁感應(yīng)定律，介紹產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的兩種情況動(dòng)生和感生電動(dòng)勢(shì)，分別對(duì)電磁感應(yīng)的幾種類型，包括自感和互感進(jìn)行討論，最后介紹RL、RC電路的暫態(tài)過(guò)程和磁場(chǎng)的能量等內(nèi)容。1 法拉第電磁感應(yīng)定律一、 電磁感應(yīng)現(xiàn)象這里有三個(gè)具有代表性的實(shí)驗(yàn)。1、把線圈L和電流計(jì)G連接成一閉合回路，用磁棒插入線圈L，發(fā)現(xiàn)在磁棒插入過(guò)程中電流計(jì)G的指針有偏轉(zhuǎn)。這表明在磁棒插入過(guò)程中回路中出現(xiàn)了電流。若磁棒插入線圈后不動(dòng)，電流計(jì)指針降回到零點(diǎn)。這表明在磁棒相對(duì)線圈

3、靜止時(shí)，線圈回路中沒(méi)有電流。在磁棒從線圈L中抽出的過(guò)程中，電流計(jì)指針有發(fā)生偏轉(zhuǎn)，但偏轉(zhuǎn)的方向與插入過(guò)程的偏轉(zhuǎn)方向相反。這表明在磁棒抽出的過(guò)程中，回路中的電流方向與磁棒插入過(guò)程中回路的電流方向相反。如果加快磁棒插入或抽出的速度，則指針偏轉(zhuǎn)加大，說(shuō)明回路中電流加大。固定磁棒不動(dòng)使線圈相對(duì)磁棒運(yùn)動(dòng)，同樣可觀察到上述現(xiàn)象。2、用一個(gè)通有恒定電流的線圈L1代替磁棒，反復(fù)上面的實(shí)驗(yàn)，可觀察到同樣的現(xiàn)象。3、把線圈L1放在線圈L中不動(dòng)，線圈L1通過(guò)開(kāi)關(guān)K和一電池相連。當(dāng)將K合下時(shí)，發(fā)現(xiàn)電流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)然后回到零點(diǎn)。將K打開(kāi)時(shí)，發(fā)現(xiàn)電流計(jì)指針朝相反方向偏轉(zhuǎn)后又回到零點(diǎn)。這表明在線圈L1通電或斷電的過(guò)程中線圈L中

4、出現(xiàn)了電流。這三個(gè)看來(lái)不同的實(shí)驗(yàn)存在共同點(diǎn)。當(dāng)磁棒或載流線圈L1相對(duì)線圈L運(yùn)動(dòng)時(shí)，線圈所在處的磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，因而通過(guò)線圈L的磁通量也隨時(shí)間發(fā)生變化。因此不論什么原因，當(dāng)通過(guò)閉合導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，在導(dǎo)體回路中就會(huì)產(chǎn)生電流。電磁感應(yīng)定律是建立在廣泛的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的。法拉第的實(shí)驗(yàn)大體上可以歸結(jié)為兩類：一類是磁鐵與線圈有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線圈中產(chǎn)生了電流；另一類是當(dāng)一個(gè)線圈中電流發(fā)生變化時(shí)，在它附近的其他線圈中也產(chǎn)生了電流。法拉第將這些現(xiàn)象與靜電感應(yīng)類比，把它們稱作“電磁感應(yīng)”現(xiàn)象。對(duì)實(shí)驗(yàn)仔細(xì)分析可概括出一個(gè)能反映其本質(zhì)的結(jié)論：當(dāng)穿過(guò)一個(gè)閉合導(dǎo)體回路所包圍的面積內(nèi)的磁通量發(fā)生變化時(shí)，不管這種變化是

5、由什么原因引起的，在導(dǎo)體回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流。這種現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象。必須注意：由于線圈中插入鐵芯后線圈中的感應(yīng)電流大大增加，說(shuō)明感應(yīng)電流的產(chǎn)生是因?yàn)榇鸥袘?yīng)強(qiáng)度通量的變化，而不是由于磁場(chǎng)強(qiáng)度通量的變化。二、楞次定律1833年，楞次（Lenz）在進(jìn)一步概括了大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，得出了確定感應(yīng)電流方向的法則，稱為楞次定律：閉合回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流具有確定的方向，它總是使感應(yīng)電流所產(chǎn)生的通過(guò)回路面積的磁通量，去補(bǔ)償或者反抗引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。楞次定律實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律的一種體現(xiàn)，具體分析演示實(shí)驗(yàn)，感應(yīng)電流的方向遵從楞次定律的事實(shí)表明楞次定律本質(zhì)上就是能量守恒定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的具體

6、表現(xiàn)。用楞次定律確定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向時(shí)，可按照以下步驟進(jìn)行：1、判明原理磁場(chǎng)的方向以及穿過(guò)線圈的磁通的變換趨勢(shì)（增或減）2、根據(jù)楞次定律確定感應(yīng)電流產(chǎn)生的附加磁通的方向3、根據(jù)右手定則由附加磁通方向定出感應(yīng)電流的方向。三、法拉第電磁感應(yīng)定律回路中的感應(yīng)電流也是一種帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)。要注意，這里的定向運(yùn)動(dòng)并不是靜電場(chǎng)力作用于帶電粒子而形成的，因?yàn)樵陔姶鸥袘?yīng)的實(shí)驗(yàn)中并沒(méi)有靜止的電荷作為靜電場(chǎng)的場(chǎng)源。感應(yīng)電流應(yīng)該是電路中的一種非靜電力對(duì)帶電粒子作用的結(jié)果。我們知道電源產(chǎn)生電流是源于一種非靜電力作用的結(jié)果，可以用電動(dòng)勢(shì)的概念加以說(shuō)明。類似地，在電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)中的非靜電力也可以用電動(dòng)勢(shì)的概念加以說(shuō)明，叫

7、做感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這就是說(shuō)，其實(shí)感應(yīng)電流只是回路中存在感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的對(duì)外表現(xiàn)，由閉合回路中磁通量的變化直接產(chǎn)生的結(jié)果應(yīng)是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。法拉第對(duì)電磁感應(yīng)現(xiàn)象做了定量的研究，總結(jié)得出了用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)來(lái)描述電磁感應(yīng)的基本定律：通過(guò)回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量對(duì)時(shí)間的變化率成正比。如果采用國(guó)際單位制，以表示通過(guò)閉合導(dǎo)體回路的磁通量，以表示磁通量發(fā)生變化時(shí)在導(dǎo)體回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，則定律可表示為這一公式就是法拉第電磁感應(yīng)定律的一般表達(dá)式。在約定的正負(fù)符號(hào)規(guī)則下，式中的負(fù)號(hào)反映了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向與磁通量變化的關(guān)系，它是楞次定律的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。確定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的符號(hào)規(guī)則如下：在回路上

8、先任意選定一個(gè)轉(zhuǎn)向作為回路的繞行方向，再用右手螺旋法則確定此回路所包圍面積的正法線方向，然后確定通過(guò)回路面積的磁通量的正負(fù)，凡穿過(guò)回路面積的方向與相同者為正，相反者為負(fù)；最后再考慮的變化，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的正負(fù)只由決定。參見(jiàn)P481圖17.1和圖17.2所示。如果回路是由N匝導(dǎo)線串聯(lián)而成，那么在磁通量變化時(shí)，每匝中都將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。如果每匝中通過(guò)的磁通量都相同，則N匝線圈中的總電動(dòng)勢(shì)應(yīng)為各匝中電動(dòng)勢(shì)的總和，即習(xí)慣上把稱為線圈的磁通量匝數(shù)或磁鏈數(shù)。如果每匝中的磁通量不同，就應(yīng)該用各圈中磁通量的總和來(lái)代替，叫做穿過(guò)線圈的全磁通。如果閉合回路的電阻為R，則在回路中的感應(yīng)電流為利用，可算出在到這段時(shí)間內(nèi)通

9、過(guò)導(dǎo)線的任一截面的感生電荷量為式中、分別是、時(shí)刻通過(guò)導(dǎo)線回路所包圍面積的磁通量。上式表明，在一段時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)線截面的電荷量與這段時(shí)間內(nèi)導(dǎo)線回路所包圍的磁通量的變化值成正比，而與磁通量變化的快慢無(wú)關(guān)。如果測(cè)出感生電荷量，而回路的電阻又為已知，就可以計(jì)算磁通量的變化量。常用的磁通計(jì)就是根據(jù)這個(gè)原理而設(shè)計(jì)的。根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的概念可知，當(dāng)通過(guò)閉合回路的磁通量變化時(shí)，在回路中出現(xiàn)某種非靜電力，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)就等于移動(dòng)單位正電荷沿閉合回路一周這種非靜電力所作的功。如果用表示等效的非靜電性場(chǎng)強(qiáng)，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為又因通過(guò)閉合回路所包圍面積的磁通量為，于是法拉第電磁感應(yīng)定律又可表為積分形式式中積分面S是以閉合回路為

10、邊界的任意曲面。2 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)法拉第電磁感應(yīng)定律表明，只要通過(guò)回路所圍面積中的磁通量發(fā)生變化，回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。由可知，使磁通量發(fā)生變化的方法是多種多樣的，但從本質(zhì)上可歸納為兩類：一類是磁場(chǎng)保持不變，導(dǎo)體回路或?qū)w在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)；另一類是導(dǎo)體回路不動(dòng)，磁場(chǎng)發(fā)生變化。產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)分別稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)。一、在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)線內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)首先討論磁場(chǎng)不變、導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)或回路的形狀和位置變動(dòng)而產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，由于導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)習(xí)慣上稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。如圖17.3所示。一個(gè)由導(dǎo)線做成的回路abcda中，長(zhǎng)度為l的導(dǎo)線段ab以速度在垂直于磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速直

11、線運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為這里通過(guò)回路面積磁通量的增量也就是導(dǎo)線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所切割的磁感應(yīng)線數(shù)，所以動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)在量值上等于在單位時(shí)間內(nèi)導(dǎo)線所切割的磁感應(yīng)線數(shù)。由符號(hào)法則或楞次定律，可以確定動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向是從b指向a的。也可以用右手定則簡(jiǎn)便地判斷這種一段導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向：伸平右手掌并使拇指與其他四指垂直，讓磁感線從掌心穿入，當(dāng)拇指指向?qū)w運(yùn)動(dòng)方向時(shí)，四指所指就是導(dǎo)體中產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向。注意，電動(dòng)勢(shì)是運(yùn)動(dòng)導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，電動(dòng)勢(shì)只存在于導(dǎo)線ab段內(nèi)，即運(yùn)動(dòng)著的導(dǎo)線ab相當(dāng)于一個(gè)電源。導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)切割磁感應(yīng)線而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，可用金屬電子理論來(lái)解釋。當(dāng)導(dǎo)線ab以速度

12、向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)線內(nèi)每個(gè)自由電子也獲得向右的定向速度，自由電子受到的洛倫茲力為的方向沿導(dǎo)線從a指向b，電子在力的作用下將沿導(dǎo)線從a端向b端運(yùn)動(dòng)，結(jié)果在回路中出現(xiàn)逆時(shí)針?lè)较虻母袘?yīng)電流。非靜電性力就是洛倫茲力，可以看作等效于一個(gè)非靜電性場(chǎng)強(qiáng)對(duì)電子的作用，即或 由于回路的bc、cd、和da段相對(duì)磁場(chǎng)靜止，其中非靜電性場(chǎng)強(qiáng)，只有ab段中的，由矢量積分關(guān)系可知，ab段中的平行于l，所以在回路abcda中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為結(jié)果與前面完全相同，表明形成動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的實(shí)質(zhì)是運(yùn)動(dòng)電荷受洛倫茲力的結(jié)果。在一般情況下，磁場(chǎng)可以不均勻，導(dǎo)線在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)各部分的速度也可以不同，、和l也可以不互相垂直。這時(shí)可以先考慮一段以速度

13、運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體元，在其中產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為，整個(gè)導(dǎo)體中產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)應(yīng)該是各段導(dǎo)體之中產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)之和。動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)仍可用下式計(jì)算：線元矢量的方向是任意選定的，當(dāng)與間呈銳角時(shí)，為正，表示順著方向；呈鈍角時(shí)，為負(fù)，表示逆著方向。特別地，如果是整個(gè)導(dǎo)體回路L都在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則在回路中產(chǎn)生的總動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)應(yīng)為回路中建立起感應(yīng)電流后，載流導(dǎo)線ab段在外磁場(chǎng)中又要受到安培力的作用，其大小為方向在紙面內(nèi)垂直于導(dǎo)線向左。所以如要維持ab向右作勻速運(yùn)動(dòng)，使在ab導(dǎo)線中產(chǎn)生恒定的電動(dòng)勢(shì)，從而在回路中建立恒定的感應(yīng)電流，就必須在ab段上施加一同樣大小方向向右的外力。因此，在維持ab段導(dǎo)線作勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，外力必須克

14、服安培力而做功，它所消耗的恒定功率為因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)導(dǎo)線相當(dāng)于一個(gè)電源，其動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，它向回路中供應(yīng)的電功率為可以看到，正好等于P。這一關(guān)系從能量的轉(zhuǎn)換來(lái)說(shuō)就是：電源向回路中供應(yīng)的電能來(lái)源于外界供給的機(jī)械能。實(shí)質(zhì)上，我們這里所討論的就是發(fā)電機(jī)的工作原理，也就是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用。發(fā)電機(jī)是把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的裝置，從力學(xué)方面來(lái)說(shuō)，外力做功表示外界向發(fā)電機(jī)供給了機(jī)械能，磁場(chǎng)力做負(fù)功表示發(fā)電機(jī)接受了此能量。在回路方面來(lái)說(shuō)，電源的電動(dòng)勢(shì)為，電源向電路中供應(yīng)出電能，其電功率為。由此可見(jiàn)，“磁場(chǎng)力做負(fù)功，接受了機(jī)械能”和“電源向電路中供應(yīng)電能”就是“機(jī)械能向電能轉(zhuǎn)化”同一事實(shí)的兩個(gè)側(cè)面。所以，要使發(fā)電機(jī)不斷

15、地工作，就得用水輪機(jī)、汽輪機(jī)或其他動(dòng)力機(jī)械帶動(dòng)導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)，把機(jī)械能不斷地轉(zhuǎn)化為電能。二、磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)的線圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)設(shè)在均勻磁場(chǎng)中作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的矩形線圈ABCD的匝數(shù)為N，面積為S，使這些線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞固定的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度與軸垂直。當(dāng)時(shí)，線圈平面的法線單位矢量與磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的夾角為零，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，線圈平面的法線單位矢量與之夾角為，這時(shí)通過(guò)每匝線圈平面的磁通量為當(dāng)線圈以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，夾角隨時(shí)間改變，所以也隨時(shí)間改變。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，N匝線圈中所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為式中是線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度，若是常量，在t時(shí)刻，代入上式得令，表示當(dāng)線圈平面平行于磁場(chǎng)方向的瞬時(shí)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，也就是線圈中最

16、大動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的量值。這樣上式也可用洛倫茲力的觀點(diǎn)導(dǎo)出。當(dāng)線圈平面法線單位矢量與之間的夾角為時(shí)，AB段上各點(diǎn)都以速度運(yùn)動(dòng)，其等效非靜電性場(chǎng)強(qiáng)為方向由A指向B，其大小為；同樣，在CD段中，的方向由C指向D，大小和AB段中的相等；在BC和DA段中，的方向都垂直于線段。如設(shè)，則沿ABCD的線積分，即在線圈中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為線圈繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，AB和CD段的速度v與角速度的關(guān)系為，代入上式有式中是矩形線圈的面積，結(jié)果與前相同。上述關(guān)系表明在勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的線圈中所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)是隨時(shí)間作周期性變化的，周期為。在兩個(gè)相鄰的半周期中，電動(dòng)勢(shì)的方向相反，這種電動(dòng)勢(shì)叫交變電動(dòng)勢(shì)。在交變電動(dòng)勢(shì)的作用下，線圈中的電流也是交

17、變的，叫做交變電流或交流。由于線圈內(nèi)自感應(yīng)的存在，交變電流的變化要比交變電動(dòng)勢(shì)的變化滯后一些，所以線圈中的電流一般可以寫(xiě)成這就是發(fā)電機(jī)的基本原理。三、交流發(fā)電機(jī)（介紹或自己看）3 感生電動(dòng)勢(shì)和感生電場(chǎng)一、感生電動(dòng)勢(shì)和感生電場(chǎng)導(dǎo)線或線圈在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其非靜電性力起源于洛倫茲力。電磁感應(yīng)現(xiàn)象又表明：當(dāng)導(dǎo)線回路固定不動(dòng)，而磁通量的變化完全由磁場(chǎng)變化所引起時(shí)，導(dǎo)線回路內(nèi)也將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這種由于磁場(chǎng)變化引起的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱為感生電動(dòng)勢(shì)。產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的非靜電性力，不能用洛倫茲力來(lái)解釋。由于這時(shí)的感應(yīng)電流是原來(lái)宏觀靜止的電荷受到非靜電力作用形成的，而靜止電荷受到的力只能是電場(chǎng)力，所

18、以這時(shí)的非靜電力也只能是一種電場(chǎng)力。麥克斯韋分析后提出：變化的磁場(chǎng)在其周?chē)ぐl(fā)了一種電場(chǎng)，這種電場(chǎng)稱為感生電場(chǎng)。它就是產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的“非靜電場(chǎng)”。當(dāng)閉合導(dǎo)線處在變化的磁場(chǎng)中時(shí)，就是由這種電場(chǎng)作用于導(dǎo)體中的自由電荷，從而在導(dǎo)線中引起感生電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流的出現(xiàn)。如果用表示感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，則當(dāng)回路固定不動(dòng)，回路中磁通量的變化全是由磁場(chǎng)的變化所引起時(shí)，在一個(gè)導(dǎo)體回路L中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)應(yīng)為根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律應(yīng)該有法拉第當(dāng)時(shí)只著眼于導(dǎo)體回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生，麥克斯韋更著重于電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系的研究。他指出，在磁場(chǎng)變化時(shí)，不但會(huì)在導(dǎo)體回路中，而且在空間任一點(diǎn)都會(huì)產(chǎn)生感生電場(chǎng)，而且感生電場(chǎng)沿任何閉合路徑

19、的環(huán)路積分都滿足上式。用表示磁感應(yīng)強(qiáng)度，則上式表示的法拉第電磁感應(yīng)定律可表為上式明確反映出變化的磁場(chǎng)能激發(fā)電場(chǎng)。式中表示空間內(nèi)任一靜止回路L上的位移元，S為該回路所限定的面積。由于感生電場(chǎng)的環(huán)路積分不等于零，所以它又叫做渦旋電場(chǎng)。再?gòu)膱?chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，場(chǎng)的存在并不取決于空間有無(wú)導(dǎo)體回路存在，變化的磁場(chǎng)總是在空間激發(fā)電場(chǎng)。因此上式不管閉合回路是否由導(dǎo)體構(gòu)成，也不管閉合回路是處在真空或介質(zhì)中都是適用的。也就是說(shuō)：如果有導(dǎo)體回路存在時(shí)，感生電場(chǎng)的作用便驅(qū)使導(dǎo)體中的自由電荷作定向運(yùn)動(dòng)，從而顯示出感應(yīng)電流；如果不存在導(dǎo)體回路，就沒(méi)有感應(yīng)電流，但是變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)還是客觀存在的。這個(gè)假說(shuō)現(xiàn)在已經(jīng)被近代的

20、科學(xué)實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，例如電子感應(yīng)加速器的基本原理就是用變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)來(lái)加速電子的，它的出現(xiàn)無(wú)疑是為感生電場(chǎng)的客觀存提供了一個(gè)令人信服的證據(jù)。從理論上來(lái)說(shuō)，麥克斯韋的這個(gè)“感生電場(chǎng)”的假說(shuō)和另一個(gè)關(guān)于位移電流（即變化的電場(chǎng)激發(fā)感生磁場(chǎng)）的假說(shuō)，都是奠定電磁場(chǎng)理論、預(yù)言電磁波存在的理論基礎(chǔ)。在一般的情況下，空間的電場(chǎng)可能既有靜電場(chǎng)，又有感生電場(chǎng)。這樣，在自然界中存在著兩種以不同方式激發(fā)的電場(chǎng)，所激發(fā)電場(chǎng)的性質(zhì)也截然不同。由靜止電荷所激發(fā)的電場(chǎng)是保守力場(chǎng)（無(wú)旋場(chǎng)），在該場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度沿任一閉合回路的線積分恒等于零，即電場(chǎng)線永遠(yuǎn)不會(huì)形成閉合線。但變化磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)的感生是非保守力場(chǎng)，在該場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)

21、度沿任一閉合回路的線積分并不一定等于零。根據(jù)疊加原理，總電場(chǎng)沿某一封閉路徑的環(huán)路積分應(yīng)是靜電場(chǎng)的環(huán)路積分和感生電場(chǎng)的回路積分之和。由于前者為零，所以的環(huán)路積分就等于的環(huán)流。因此，有這一公式是關(guān)于磁場(chǎng)和電場(chǎng)關(guān)系的有一個(gè)普遍的基本規(guī)律。二、感生電動(dòng)勢(shì)和感生電場(chǎng)的計(jì)算例1，例25 自感在實(shí)際電路中，磁場(chǎng)的變化常常是由于電流的變化引起的，因此把感生電動(dòng)勢(shì)直接和電流的變化聯(lián)系起來(lái)有重要的實(shí)際意義?；ジ泻妥愿鞋F(xiàn)象的研究就是要找出這方面的規(guī)律。一、自感現(xiàn)象當(dāng)一個(gè)電流回路的電流I隨時(shí)間變化時(shí)，通過(guò)回路自身的全磁通也發(fā)生變化，因而回路自身也產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)。這就是自感現(xiàn)象。這時(shí)產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)叫自感電動(dòng)勢(shì)。自感現(xiàn)

22、象可通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)演示。圖中A1，A2時(shí)兩個(gè)相同的小燈泡，L是帶鐵心的多匝線圈（鐵心的作用能使同樣的電流激發(fā)強(qiáng)的多的磁場(chǎng)，從而使自感現(xiàn)象變的明顯。）R是電阻，其阻值與線圈L的阻值相同。接通開(kāi)關(guān)K，燈泡A1立即就亮，而A2則逐漸變亮，最后與A1同樣亮。這就說(shuō)明由于L中存在自感電動(dòng)勢(shì)，由楞次定律可知，電流增大緩慢。用圖2來(lái)觀察切斷電源時(shí)的自感現(xiàn)象。當(dāng)切斷開(kāi)關(guān)時(shí)，我們看到燈泡A先是猛然一亮，然后逐漸熄滅。這個(gè)現(xiàn)象同樣可以用自感現(xiàn)象來(lái)解釋。當(dāng)開(kāi)關(guān)切斷時(shí)，線圈L與電池組斷開(kāi)，它的電流從有到無(wú)，是一個(gè)減小的過(guò)程。按照楞次定律自感電動(dòng)勢(shì)應(yīng)阻礙電流的減小，因此線圈的電流不會(huì)立即減小為零。然而這時(shí)開(kāi)關(guān)已經(jīng)切斷，線圈

23、的電流只能通過(guò)燈泡A而閉合，因此燈泡A不會(huì)立即熄滅。如果線圈的電阻遠(yuǎn)小于燈泡的電阻，在開(kāi)關(guān)接通時(shí)線圈的電流就遠(yuǎn)大于燈泡的電流，在切斷開(kāi)關(guān)的瞬間，線圈的這一電流通過(guò)燈泡使燈泡比剛才還亮。但由于線圈以及燈泡回路已經(jīng)與電源斷開(kāi)，電流必將逐漸減小為零，因此燈泡逐漸熄滅。二、自感不同線圈產(chǎn)生自感現(xiàn)象的能力不同?？紤]一個(gè)N匝線圈，如果線圈使密繞的，則每匝可近似看成一條閉合曲線，因此可談及它的磁通。設(shè)線圈電流激發(fā)的穿過(guò)每匝的磁通相等（），則由法拉第定律可知每匝的感生電動(dòng)勢(shì)為，整個(gè)線圈的自感電動(dòng)勢(shì)為引入符號(hào)稱為線圈的自感磁鏈（磁通匝鏈數(shù)），于是得到在實(shí)際計(jì)算中線圈電流I比磁鏈更常出現(xiàn)，有必要找出自感電動(dòng)勢(shì)與I

24、的關(guān)系。根據(jù)畢奧薩伐爾定律I在空間各點(diǎn)激發(fā)的B都與I成正比，而與B成正比，所以與I成正比，即式中比例系數(shù)L叫做回路的自感系數(shù)（簡(jiǎn)稱自感），它取決于回路的大小、形狀、線圈的匝數(shù)以及它周?chē)拇沤橘|(zhì)的分布，而與電流無(wú)關(guān)。自感系數(shù)與互感系數(shù)的量綱相同，在國(guó)際單位制中，自感系數(shù)的單位也是H。由電磁感應(yīng)定律，在L一定的條件下自感電動(dòng)勢(shì)為可見(jiàn)線圈的自感電動(dòng)勢(shì)與線圈的電流變化率成正比，比例系數(shù)正是自感。當(dāng)電流增大，即時(shí)，上式給出，說(shuō)明的方向與電流的方向相反；當(dāng)時(shí)，上式給出，說(shuō)明的方向與電流的方向相同。由此可知自感電動(dòng)勢(shì)的方向總是要阻礙回路自身電流的變化。17-4 互感一、互感現(xiàn)象與互感當(dāng)一閉合導(dǎo)體回路中的電流

25、隨時(shí)間變化時(shí)，它周?chē)拇艌?chǎng)也隨時(shí)間變化，在它附近的另一導(dǎo)體回路中就會(huì)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，這就是互感現(xiàn)象。這種電動(dòng)勢(shì)叫互感電動(dòng)勢(shì)。如圖所示，有兩個(gè)固定的閉合回路和。閉合回路中的互感電動(dòng)勢(shì)時(shí)由于回路中的電流隨時(shí)間變化引起的，以表示此電動(dòng)勢(shì)。下面說(shuō)明與的關(guān)系。由畢奧薩伐爾定律可知，電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)正比于，因而通過(guò)所圍面積的、由所產(chǎn)生的全磁通也應(yīng)該和成正比，即其中比例系數(shù)叫做回路對(duì)回路的互感系數(shù)，對(duì)兩個(gè)固定的回路和來(lái)說(shuō)互感系數(shù)是一個(gè)常數(shù)。在一定的條件下電磁感應(yīng)定律給出如果回路中的電流隨時(shí)間變化，則在回路中也會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。根據(jù)同樣的道理，可以得出通過(guò)所圍面積的、由所產(chǎn)生的全磁通應(yīng)該與成正比，即而且上兩式中

26、的叫對(duì)的互感系數(shù)?？梢宰C明對(duì)給定的一對(duì)導(dǎo)體回路，有M就叫做這兩個(gè)導(dǎo)體回路的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱它們的互感。實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)線圈周?chē)鷽](méi)有鐵磁介質(zhì)時(shí)，它取決于兩個(gè)回路的幾何形狀、相對(duì)位置、它們各自的匝數(shù)以及它們周?chē)沤橘|(zhì)的分布，與線圈中的電流無(wú)關(guān)；當(dāng)線圈周?chē)嬖阼F磁介質(zhì)時(shí)，互感不僅與上述因素有關(guān)，還依賴于線圈中的電流。在國(guó)際單位制中，互感系數(shù)的單位名稱是亨利，符號(hào)為H，可知當(dāng)兩個(gè)線圈和的電流可互相提供磁通時(shí)，就說(shuō)它們之間存在互感耦合。為了加強(qiáng)互感耦合，通常采用兩個(gè)多匝線圈而且繞在同一筒子上，筒子可是空心的也可是插入鐵心。若以表示線圈1中每匝的磁通（包括有1，2電流提供的），則線圈1中每匝的感生電動(dòng)勢(shì)為，設(shè)它共

27、有N1匝，則其總電動(dòng)勢(shì)為令 則 就是線圈1的自感磁鏈，叫做線圈2對(duì)1的互感磁鏈。則叫做線圈1的總磁鏈（包括自感和互感）。于是又因?yàn)?，因?類似地線圈2的感生電動(dòng)勢(shì)為對(duì)于任意兩個(gè)線圈總有，因此可將互感系數(shù)寫(xiě)為M，為兩個(gè)線圈的互感，表征兩個(gè)線圈間互感耦合的強(qiáng)弱。如果兩個(gè)線圈之間的耦合是如此緊密，以至于每個(gè)線圈傳產(chǎn)生的穿過(guò)自己的B線全部穿過(guò)另一線圈，即，就說(shuō)它們存在完全耦合，不難證明對(duì)完全耦合有。于是兩個(gè)線圈中的電動(dòng)勢(shì)可表示為二、互感線圈的串聯(lián)兩個(gè)有互感耦合的線圈的串聯(lián)等效于一個(gè)自感線圈，但其洗干不等于兩個(gè)線圈的自感之和。下面分兩種情況進(jìn)行討論。1、 順接情況如圖所示的連接方式叫做順接，順接時(shí)，兩個(gè)

28、線圈的磁通互相加強(qiáng)，每個(gè)線圈的磁通都等于自感和互感磁鏈之和，即考慮到串聯(lián)時(shí)電流相等，串聯(lián)后總電動(dòng)勢(shì)等與每個(gè)線圈電動(dòng)勢(shì)之和，上式說(shuō)明兩個(gè)線圈的串聯(lián)等效于一個(gè)自感線圈，其自感為可見(jiàn)順接的等效線圈的自感大于兩個(gè)線圈自感之和。2、 逆接情況如圖所示的連接方式叫做逆接，逆接時(shí)兩個(gè)線圈電流的磁通互相削弱，則，于是，逆接后的等效線圈的總電動(dòng)勢(shì)為 其等效自感為可見(jiàn)逆接而成的等效自感小于兩個(gè)線圈自感之和。如果兩個(gè)線圈間沒(méi)有互感耦合，即，則沒(méi)有必要區(qū)分順接和逆接，得到的自感系數(shù)為，即兩個(gè)無(wú)互感耦合的象棋串聯(lián)而成的等效自感等于每個(gè)線圈的自感之和。反之，若兩個(gè)線圈間有完全耦合，則。6 渦電流（用演示實(shí)驗(yàn)）7 RL電路

29、的暫態(tài)過(guò)程我們知道自感有阻礙電流電荷的作用，因此對(duì)于有自感的電路，當(dāng)接通或斷開(kāi)電源時(shí)，電流不會(huì)立即達(dá)到穩(wěn)定值。同理在RC中接通或斷開(kāi)電源時(shí)，電容器上的電量也不會(huì)立即充滿或消失，而要經(jīng)過(guò)一個(gè)變化的之間過(guò)程，這個(gè)過(guò)程稱為暫態(tài)過(guò)程。電流達(dá)到穩(wěn)定值的電路狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)。討論暫態(tài)過(guò)程時(shí)要設(shè)計(jì)許多隨時(shí)間變化的量，為了區(qū)別起見(jiàn)，用大小寫(xiě)字母來(lái)區(qū)分。大寫(xiě)表示穩(wěn)定值，小寫(xiě)表示暫態(tài)量。另外需要注意的一點(diǎn)在暫態(tài)過(guò)程中的討論中需要借助于歐姆定律和基爾霍夫定律列出電路方程，這就出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：這些對(duì)于穩(wěn)恒電流電路成立的定律對(duì)于時(shí)變電流是否還成立。后面將有證明當(dāng)電流滿足集中參量條件時(shí)，歐姆定律和基爾霍夫定律近似成立。在通常遇

30、到的暫態(tài)過(guò)程以及通常遇到的交流電路中，這一條件都能近似滿足。一、 RL電路與直流電源的接通 在如圖所示的電路中，把開(kāi)關(guān)接通的時(shí)刻選擇，我們來(lái)找出這一時(shí)刻以后電流隨時(shí)間的變化規(guī)律，即求出從開(kāi)始的函數(shù)，為此先要列出以后電流所服從的微分方程。線圈在電流變化時(shí)相當(dāng)于一個(gè)電源，它提供自感電動(dòng)勢(shì)，選它以及電流的正方向如圖所示，則 再把直流電源電動(dòng)勢(shì)的正方向選得與實(shí)際方向一致，則按照基爾霍夫第二定律有 即這時(shí)關(guān)于未知函數(shù)的一個(gè)微分方程，可用分離變量法求解。積分后得到這是微分方程的通解，不同的常數(shù)A給出不同的函數(shù)。為了找出符合所給物理?xiàng)l件的特解，必須使用初始條件。初始條件是指函數(shù)在時(shí)的值，可由所給物理?xiàng)l件得到

31、。在我們的例子中開(kāi)關(guān)接通前，開(kāi)關(guān)接通時(shí)由于自感線圈的電磁慣性，電流只能漸變而不能突變（即不能在無(wú)限小的時(shí)間內(nèi)完成有限的變化），由此可得初始條件為。代入上式得到， 這就是電流i在開(kāi)關(guān)接通后的變化規(guī)律。注意到時(shí)i=0，可畫(huà)出i和t的關(guān)系曲線，并可得到一下相應(yīng)的特點(diǎn)：1） 在開(kāi)關(guān)接通后的暫態(tài)過(guò)程中，i以指數(shù)方式隨t增大，最后達(dá)到穩(wěn)定值。2） 電流的穩(wěn)態(tài)值只有電源電動(dòng)勢(shì)以及電流電阻決定，與線圈的自感L無(wú)關(guān)。但自感卻影響到趨于穩(wěn)態(tài)值的快慢。通常將叫做RL電路的時(shí)間常數(shù)。在時(shí)，i達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.63倍。二 已通電RL電路的短接但開(kāi)關(guān)未接通時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)，開(kāi)關(guān)接通后整個(gè)電路倍開(kāi)關(guān)所在的短路線分為兩個(gè)互不影響

32、的回路：ABCDA和DCFGD，我們只關(guān)心前者，選i以及的正方向如圖所示，則把基爾霍夫第二定律應(yīng)用于回路ABCDA中，有，因此得到微分方程解得上式的通解為， 利用初始條件得到特解，這就是RL電流被短接后的暫態(tài)電流表達(dá)式。利用其函數(shù)曲線可得到其如下特點(diǎn)：1） 在短接后的暫態(tài)過(guò)程中，i以指數(shù)方式隨t減小，最后達(dá)到的新的穩(wěn)態(tài)。2） RL電流短接后暫態(tài)過(guò)程的快慢也取決于時(shí)間常數(shù)，不難證明暫態(tài)過(guò)程經(jīng)過(guò)時(shí)間后,i將降至初始值的0.37倍。8 RC電路的暫態(tài)過(guò)程RC電路的暫態(tài)過(guò)程就是電容器通過(guò)電阻的充電或放電過(guò)程，在電子電路特別是脈沖、數(shù)字電路中經(jīng)常遇到。討論這種過(guò)程時(shí)，可著重求出電容電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律，

33、再求其他量。一、 RC電路與直流電源的接通如圖所示的開(kāi)關(guān)位于接點(diǎn)1時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)，然后將開(kāi)關(guān)與接點(diǎn)2連接后電容器電壓隨 時(shí)間的變化規(guī)律。以分別表示電容和電阻上的電壓。其正方向如圖所示，則有 以i代表RC電路的電流，則 于是 下面我們將找出i和的關(guān)系。I是單位時(shí)間內(nèi)自左向右流進(jìn)電容器左板的電荷，即 ， 其中q代表電容器左板內(nèi)壁的電荷，它與又有關(guān)系：，于是得到 這就是滿足的微分方程，解得通解為 由初始條件得到特解為顯然以指數(shù)方式隨t增大，最后達(dá)到穩(wěn)定值。這個(gè)暫態(tài)過(guò)程也就是電源通過(guò)電阻對(duì)電容的充電過(guò)程，過(guò)程的快慢取決于乘積RC，我們稱之為RC電路的時(shí)間常數(shù)，其意義與RL電路的時(shí)間常數(shù)類似。二、已充電

34、RC電路的短接將圖中的開(kāi)關(guān)位于接點(diǎn)2時(shí)處于穩(wěn)態(tài)，改置于接點(diǎn)1處。改置后有，即， 以及 解得方程的通解并利用初始條件為因此在這一暫態(tài)過(guò)程中以指數(shù)方式漸降為零，下降的快慢取決于時(shí)間常數(shù)。將RL電路與RC電路加以比較，應(yīng)該注意到RL電路中電流不能突變，而RC電路中電流可以突變，但電容器上的電量不能突變。這是兩種暫態(tài)過(guò)程的不同點(diǎn)。9 RLC電路的暫態(tài)過(guò)程一、 已充電RLC電路的短接設(shè)RLC電路的電容實(shí)現(xiàn)被充電至電壓U，我們來(lái)研究開(kāi)關(guān)接通后的暫態(tài)過(guò)程。此時(shí)電容通過(guò)RL電路放電，電容器電壓隨時(shí)間發(fā)生變化。根據(jù)電流的基本規(guī)律，我們選出的正方向如圖所示，可得到由于的正方向相同，所以有，根據(jù)的正方向以及q的狀態(tài)

35、，可的于是上式可表示為 這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程，求解過(guò)程比較復(fù)雜，我們不作介紹，下面僅僅對(duì)可能得到的兩種特解分別進(jìn)行討論。1）時(shí)，電路出現(xiàn)振蕩放電過(guò)程。在上述條件時(shí)，微分方程滿足初始條件的特解為其中按照上式可畫(huà)出電壓與時(shí)間的關(guān)系曲線。不難看出電容電壓振幅隨時(shí)間而衰減的正弦量，因此這種暫態(tài)過(guò)程稱為阻尼振蕩放電過(guò)程。在衰減的振蕩過(guò)程中，由于電路中沒(méi)有外加電源，所以這種振蕩過(guò)程稱為自由振蕩，而稱為自由振蕩角頻率，略大于稱為電路的諧振角頻率。在的理想情況下，RLC電路可簡(jiǎn)化為L(zhǎng)C電路。得到電壓為等幅振蕩，其物理過(guò)程可分為四個(gè)階段。第一階段開(kāi)始時(shí)，電容已被充電，開(kāi)關(guān)接通后電容通過(guò)線圈放電。由

36、于電感線圈的自感電動(dòng)勢(shì)阻礙電流的增加，所以放電電流只能逐漸增大直至放電完畢。電容儲(chǔ)存的能量全部轉(zhuǎn)化為線圈中的能量。第二階段開(kāi)始時(shí)，由于線圈力圖保持電流不變，從而使電容被反向充電，其電壓用負(fù)值表示。隨著電容的充電電壓的絕對(duì)值不斷增加而電流不斷減少直至電流降為零，電容的充電才停止。電容電壓絕對(duì)值達(dá)到最大。線圈中的能量全部轉(zhuǎn)化為電容的能量。第三階段電容又開(kāi)始放電，此階段和第一階段相似，不同的是電壓和電流的方向和正方向相反，結(jié)束時(shí)電容的能量全部轉(zhuǎn)化為線圈的能量。第四階段電容又被充電。此階段與第二階段相似，不同的是電壓的方向和正方向相同，而電流的方向和正方向相反。此階段結(jié)束時(shí)線圈的能量全部轉(zhuǎn)化為電容的能

37、量，至此電路狀態(tài)完成一個(gè)周期的變化。2）時(shí)，電路出現(xiàn)非振蕩的放電過(guò)程在此條件下，方程滿足初始條件的特解為其中不難看出以上兩個(gè)參數(shù)均為負(fù)值，因此電壓隨時(shí)間的推移而單調(diào)地下降，不會(huì)出現(xiàn)振蕩。放電過(guò)程進(jìn)行的很緩慢，稱為阻尼狀態(tài)。在時(shí)方程滿足初始條件的特解簡(jiǎn)化為，電壓隨時(shí)間的推移而單調(diào)下降，但放電過(guò)程進(jìn)行的較快，稱為臨界阻尼狀態(tài)。以上幾個(gè)情況的曲線見(jiàn)圖123曲線。11 磁能一、自感線圈的此能在如圖所示的實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)電鍵打開(kāi)后，電流已不再向燈泡供給能量了，它突然強(qiáng)烈地閃亮一下所消耗的能量從哪里來(lái)的呢？由于使燈泡閃亮的電流是線圈中的自感電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的電流，而這電流隨著線圈中的磁場(chǎng)的消失而逐漸消失，所以可以認(rèn)為使燈泡