探討求極限的方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上摘 要極限是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要概念.極限理論是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ),極限思維貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)分析.由于極限定義具有高度的抽象性,使我們很難用定義本身去求極限,深知極限運(yùn)算遍布于數(shù)學(xué)分析的始終,許多重要的概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等都是由極限定義給出的.反之,我們又可以用這些概念求極限,所以求極限的方法十分繁多.針對這種情況,本文對極限的一般計(jì)算方法給出了比較詳細(xì)的論述,同時(shí),闡述了數(shù)列極限和函數(shù)極限之間的關(guān)系.更重要的介紹函數(shù)極限和數(shù)列極限的計(jì)算技巧,而這些技巧性通常是以前我們沒有用到的.熟練掌握這些方法與技巧,就會(huì)使我們對極限概念有深刻透徹的理解,在實(shí)踐中,提高用極限理論

2、解決問題的能力.關(guān)鍵詞:函數(shù)極限,數(shù)列極限,一般方法,計(jì)算技巧專心-專注-專業(yè)Seek ways to explore the limitsAbstract: Limit is "Mathematical Analysis" is an important concept. Limit theory is the theoretical basis of calculus, the limit of thinking throughout the mathematical analysis. Due to the limit defined with a high degr

3、ee of abstraction, so that we find difficult to define the limits of their own deep limit calculation method known throughout "Mathematical Analysis" always, many important concepts such as continuous, derivatives, definite integrals, etc. are defined by the limits given. Conversely, we ca

4、n also find the limit with these concepts, so the limit is seeking wide view of this situation, this article limits the general calculation method gives a more detailed exposition, meanwhile, describes the relationship between the number of columns between the limit and the limit function more impor

5、tant function of the limits introduced several columns limit calculation skills, and these techniques of the past, we are usually not used. mastering these methods and techniques, it will make us have a deep and thorough understanding of the concept of limit, in practice, improve the ability to solv

6、e problems with the theoretical limit.Keywords: function limit, limit the number of columns, the general method to calculate tips 目 錄一、引言數(shù)學(xué)分析是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學(xué)科,也是我國師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門主干基礎(chǔ)課程.極限是微積分的理論基礎(chǔ),研究函數(shù)的形態(tài)變形為研究各種類型的極限求法,由此可見極限的重要性.理解好極限的概念,并且掌握好極限的思想方法對學(xué)好數(shù)學(xué)分析是至關(guān)重要的.尤其是熟練掌握極限的計(jì)算,是準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)分析 中所有問題

7、必備的能力.因此,很好地理解極限概念也是學(xué)好微積分的關(guān)鍵所在,同時(shí),運(yùn)用極限思想方法,可使人的思維從有限空間向無限空間伸展,從靜態(tài)向動(dòng)態(tài)發(fā)展,從具體向抽象升華,它不僅僅解決了初等數(shù)學(xué)所不能解決的諸多難題,同時(shí)也是從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要階梯.二、極限的內(nèi)涵（一）極限概念在數(shù)學(xué)分析中的地位及意義數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開極限,極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念,是從近似認(rèn)識(shí)精確,從有限認(rèn)識(shí)無限,從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法.極限概念不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念,也體現(xiàn)了一種處理客觀數(shù)量變化的新思維、新方法.極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論,其理論的確立使微積分有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),進(jìn)

8、而使得微積分在當(dāng)今科學(xué)的整個(gè)領(lǐng)域得以更廣泛、更合理、更深刻的應(yīng)用和發(fā)展.因此,很好的理解極限概念是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵,同時(shí),極限的思想和方法也是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)之一,是一種數(shù)學(xué)修養(yǎng),是近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn).1、 數(shù)列極限,它刻畫了當(dāng)無限增大時(shí),數(shù)列無限接近,即要多小有多小及教材中的定義.這個(gè)定義中的是由來確定的,越小,要求越大.2、 函數(shù)極限,它刻畫了函數(shù)在自變量的某種變化過程中無限接近于的過程.其的變化方式有六種:,及,.從而有極限的定義和定義.（二）極限的分類 極限從宏觀上分為兩類:數(shù)列極限、函數(shù)極限三、數(shù)列極限和函數(shù)極限的關(guān)系 在數(shù)學(xué)分析中,函數(shù)極限和數(shù)列極限是

9、分別定義的,形式上似乎沒有什么聯(lián)系,但本質(zhì)上兩者卻可以互相轉(zhuǎn)化.這種關(guān)系表現(xiàn)為著名的海涅定理:任意數(shù)列,且有,與是有限數(shù)或無窮數(shù).由定理可知,若存在（有限或無限）,則.因此,當(dāng)計(jì)算時(shí),如果有一函數(shù)使,則先計(jì)算,若這個(gè)極限存在,必有.這樣,數(shù)列極限問題就通過函數(shù)極限計(jì)算得到解決.根據(jù)海涅定理的必要性,函數(shù)在的極限可化為函數(shù)值數(shù)列的極限;根據(jù)海涅定理的充分性,又能夠把數(shù)列極限的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到函數(shù)極限上來.因此,海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限的橋梁.四、求極限的一般方法（一）利用定義求極限定義 （趨向時(shí)的函數(shù)極限）設(shè)為定義在上的函數(shù),為定值.若對任給正數(shù),存在正數(shù)使得當(dāng)時(shí)有.則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限,記作

10、. 趨向于時(shí)的函數(shù)極限的定義與上述定義相似,只要把定義中的改為即可.下面舉例說明用定義求這種函數(shù)極限的方法.例1 證明:分析 這是一個(gè)關(guān)于自變量趨向于無窮大的函數(shù)極限,相當(dāng)于定義中的,先將函數(shù)式適當(dāng)放大,再根據(jù)函數(shù)定義求證函數(shù)極限.證明 當(dāng), 有 當(dāng)時(shí),有故1注1 在上式中運(yùn)用了適當(dāng)放大的方法,這樣求解比較簡便.但要注意這種放大必須要“適度”,這樣才能根據(jù)給定的來確定,同時(shí)要注意此題中的不一定非要是整數(shù),主要是正數(shù)即可.注2 函數(shù)在所求點(diǎn)的極限與函數(shù)在此點(diǎn)是否連續(xù)無關(guān),函數(shù)極限表示的是自變量趨向某點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律.注意 用定義法證明極限時(shí),有一先決條件,事先知道極限的猜測值,這種情況一般較

11、困難推測出,只能對一些比較簡單的數(shù)列或函數(shù)推測分析出極限值,然后再去用定義法去證明.（二）利用初等函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算函數(shù)極限初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的,因此,根據(jù)函數(shù)的定義及其連續(xù)性,可以將求連續(xù)函數(shù)的極限值問題轉(zhuǎn)化為求自變量趨向點(diǎn)處的函數(shù)值的問題.即例2 計(jì)算極限解:因?yàn)闉槌醯群瘮?shù),為的定義區(qū)間上的任意一點(diǎn),則 所以,原式注意 若函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)的極限值就等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值.（三）利用初等函數(shù)的圖形觀察出函數(shù)的極限有些函數(shù)極限不是計(jì)算出來的,而是看出來的.下面的極限都是觀察出來. ,.這里不在一一列出.（四）利用極限四則運(yùn)算法則求極限利用極限四則運(yùn)算法則來求極限,條件是每項(xiàng)或

12、每個(gè)因子極限存在,一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件,如“”, “”等情況,都不能直接用四則運(yùn)算法則,必須要對變量進(jìn)行變形,設(shè)法消去分子、分母中的零因子.在變形式中,要熟練掌握因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形.定理 已知,都存在,極限值分別為、.則 （此時(shí)需成立）2注意 極限號(hào)下面的極限過程是一致的,同時(shí)注意法則成立的條件,當(dāng)條件不滿足時(shí),常常對函數(shù)進(jìn)行恒等變形或化簡.常用的方法有分式的通分或約分、分式有理化、三角函數(shù)恒等變形等.有下面的幾種形式:1“”型計(jì)算方法是通過因式分解或根式有理化、消去分子、分母中的零因子之后再利用四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.例3 求的極限解:原式 2.“”型: 正常將分母、分子

13、同除以最大的無窮大之后再用四則運(yùn)算法則計(jì)算:例4 求的極限解:原式 3“”型:一般要通分轉(zhuǎn)化成上面兩種形式,這里要指出,應(yīng)用法則一定要注意法則成立的前提條件.有如下結(jié)論:（1） 極限存在極限不存在極限不存在;（2） 極限為極限不存在極限不存在;（3） 極限為（極限不存在且不為）極限不存在;（4） 極限不存在極限不存在,結(jié)果不一定.例5 求的極限解: 原式 （五）利用單側(cè)極限求極限 這種方法使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限,首先,必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限,如果左、右極限都存在且相等,則函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限存在,否則極限不存在.又如,此重要極限就是用單側(cè)極限求證出來的.3（六）利用兩個(gè)重要極限公

14、式求極限 ;不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限的本身,還應(yīng)注意運(yùn)用它們的變形形式: ;例6 解: 而 所以 解:注意 應(yīng)用第一個(gè)重要極限應(yīng)滿足,分母為無窮小,即極限為;分母正弦函數(shù)中的角度必須與分母一模一樣. 應(yīng)用第二個(gè)重要極限應(yīng)滿足:帶有“” 中間是“” “”后面跟無窮小量 指數(shù)和“”后面的數(shù)要互為倒數(shù)（七）利用無窮小量的等價(jià)代換計(jì)算極限定理 設(shè)且存在,則 應(yīng)用該方法時(shí),要討論常見的等價(jià)無窮小當(dāng)時(shí): , .4例7 解:例8 解:令,則 方法一: 方法二: 注意 只能做分子或分母的整體替換,或分子、分母中的部分因式做替換.無窮小的等價(jià)替換計(jì)算極限是最容易出錯(cuò)的方法之一,此法的難點(diǎn)在于搞不清楚替換的原

15、理及對象,還有就是對無窮小的等價(jià)概念不清,要注意等價(jià)是有極限條件的.（八）利用洛必達(dá)法則求極限 洛必達(dá)法則是處理未定式極限的重要手段,且非常有效.但它只能應(yīng)用于“”型和“”型的未定式.只要是“”型和“”型的,都可以一直進(jìn)行下去.每完成一次法則都要將式子化簡.而對于等形式,需化為“”型和“”型的形式求解.例9 求解:令,則 注意 如果仍是“”型不定式極限或“”型不定式極限,只要有可能,我們可以再次用洛必達(dá)法則,即考察極限是否存在,這時(shí)和在的某鄰域內(nèi)必須滿足洛必達(dá)法則的條件. 若不存在,并不能說明不存在. 不能對任何比式極限都按洛必達(dá)法則求解,首先必須注意它是不是不定式極限,其次是否滿足洛必達(dá)法則

16、的其他條件.比如這個(gè)簡單的極限雖然是“”型,但若不顧條件隨便使用洛必達(dá)法則,就會(huì)因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯(cuò)誤結(jié)論.五、求極限的巧用方法（一）利用歸結(jié)原則計(jì)算數(shù)列極限 若已知數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式,可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限進(jìn)行計(jì)算.即如果則有 例10 計(jì)算思路 用歸結(jié)的原則把數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限,再利用麥克勞林公式求的極限.該極限如果改用洛必達(dá)去做,就會(huì)導(dǎo)致極限越求越復(fù)雜的局面. 解:原式 .5（二）利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限 夾逼準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 如果數(shù)列滿足下列條件:1),當(dāng)時(shí),有2)則的極限存在,則 準(zhǔn)則如果i)（或）時(shí), ii) 則 .（時(shí),結(jié)論同樣成立）例11 ,求的極限解:因?yàn)閱握{(diào)遞減,所以存

17、在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 即 又因?yàn)?所以,注意 當(dāng)在連加或聯(lián)乘的極限里,可通過各項(xiàng)或各因式的放大或縮小來獲取所需的不等式. 單調(diào)有界準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,而且極限唯一.利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限,關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在,然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限.例12 證明下列數(shù)列的極限存在,并求極限. 證明 從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來看顯然是單調(diào)增加的.用歸納法可證 又因?yàn)? 所以得. 因?yàn)榍懊孀C明是單調(diào)增加的,兩端除以得 因?yàn)?則, 從而 即是有界的.根據(jù)定理有極限,而且極限唯一.令,則 則.因?yàn)?解方程得 所以注意 由于單調(diào)遞增數(shù)列必定有下界,因此對于單調(diào)遞增數(shù)列只要證明數(shù)列有上界,該數(shù)列就一定收斂,同樣的對

18、于單調(diào)遞減數(shù)列只要證明該數(shù)列有下界就可以了.（三）利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)在有定義,在自變數(shù)的改變量是,相應(yīng)函數(shù)的改變量是,如果存在,則此極限就稱函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),記為, 即.6在這種方法的運(yùn)用過程中,首先要選好,然后把所求極限表示成在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).例13 求極限分析 在沒有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念之前,常用的方法是消去分母中的零因子,針對本題的特征,對分子分母進(jìn)行有理化便可求解.但在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)定義之后,我們也可以直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義式來求解.解:令 則 （四）運(yùn)用定積分的定義計(jì)算函數(shù)極限定積分定義是一個(gè)和極限:,如果所求極限能夠化成定積分的和式形式,則所求極限可以是為某一區(qū)間上的定積分.例14

19、求解:把此極限化為某個(gè)積分和的形式,并轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分. （五）利用泰勒公式求極限對于求某些不定式的極限來說,應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達(dá)法則更為方便,使得原來的極限問題轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式或有理分式的極限.下列為時(shí)在點(diǎn)局部的麥克勞林公式:1、2、3、4、5、上述展開式中的符號(hào)都有: 例15 求極限分析 當(dāng)時(shí),此函數(shù)為“”型未定式,滿足洛必達(dá)法則求極限.若直接用洛必達(dá)法則就會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算過程十分復(fù)雜,稍不注意就會(huì)出錯(cuò).先用泰勒公式將分子展開,再求極限就會(huì)簡潔得多.解: 因此, 所以,注意 此方法必須熟記基本初等函數(shù)的展開式,才能靈活的運(yùn)用.（六）對數(shù)法 如果函數(shù)（或數(shù)列）的極限比較難求,可以先考慮取此函數(shù)（或

20、數(shù)列）的對數(shù),求出此函數(shù)（或數(shù)列）的對數(shù)的極限,然后求出原來函數(shù)（數(shù)列）的極限.7例16 求極限解: ,而 .設(shè).當(dāng)時(shí). .有 .于是, 原式.（七）利用級(jí)數(shù)和數(shù)列的關(guān)系求極限 這是應(yīng)用級(jí)數(shù)理論中某些結(jié)論求極限的方法.我們知道是級(jí)數(shù)收斂的必要條件.并且對于數(shù)列,對應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù),如果能判斷此級(jí)數(shù)是收斂的,由級(jí)數(shù)收斂的柯西收斂準(zhǔn)則得出,用此法的關(guān)鍵是求出的極限是0,換句話說,若一個(gè)數(shù)列的極限不是,就不能用此法.例17 求極限解:考慮級(jí)數(shù) 故級(jí)數(shù) 收斂,從而（八）利用中值定理求極限 1、微分中值定理 若函數(shù)滿足 1)在連續(xù).2)在可導(dǎo);則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使例18 求.解: 設(shè),在上用中值定理, 得:

21、（其中）, 故當(dāng)時(shí), ,可知:原式 2、積分中值定理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù); 在上不變號(hào)且可積,則在上至少有一點(diǎn)使得 （）例19 求 解: （九）利用壓縮性條件求極限原理 設(shè)滿足: 則收斂.例20 設(shè),求解:首先證明的存在:由已知條件: 又顯然 于是 故,于是存在,記為 則在上式中求極限:,即 又 ,故 于是:（舍去）.8（十）利用遞推公式求極限理論 我們常常見到一些數(shù)列滿足,我們可以利用的規(guī)律性來推得某些關(guān)系再結(jié)合其他求極限的方法,可求得的極限.例21 Fibonacci數(shù)列 那么證明:記 則 則 由可得: 于是, 顯然 于是: 滿足壓縮性條件,故收斂于,在中兩端取極限,且由,可知 即（十一）換元法求極限當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜時(shí)或不便于觀察時(shí),可采用換元的方法加以變形,使之簡化易求.例22 解:令,則有而所以（十二）用定理計(jì)算數(shù)列極限定理I （型）設(shè)是趨近于零的數(shù)列,是單調(diào)減少趨近于零的列,則當(dāng)存在時(shí),也存在，.定理II （型）設(shè),且則當(dāng)存在時(shí),也存在,且.例23求極限,為自然數(shù).解:令, 由定理,有 9例24 證明:證明