《幾何與代數(shù)》

1、非齊次線性方程組非齊次線性方程組 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若記若記,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21m21bbbb則非齊次線性方程組可寫成矩陣形式：則非齊次線性方程組可寫成矩陣形式：.1bxAnnm aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajan若記若記b 2211 xaxaxann則非齊次線性方程組可寫成向量形式：則非齊次線性方程組可寫成向量形式：2 2齊次線性方程組齊次線性方程組 000221122221211212111nmn

2、mmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若記若記,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21 0000則齊次線性方程組可寫成矩陣形式：則齊次線性方程組可寫成矩陣形式：. 01 nnmxA aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajan若記若記0 2211 xaxaxann則齊次線性方程組可寫成向量形式：則齊次線性方程組可寫成向量形式： 定理定理1 非齊次方程組解的判定非齊次方程組解的判定 設(shè)方程組的系數(shù)矩陣設(shè)方程組的系數(shù)矩陣A是是mn 階矩陣，階矩陣，b是常是常數(shù)項(xiàng)，設(shè)數(shù)項(xiàng)，設(shè)=(A b)是增廣矩陣是增廣矩陣,

3、 經(jīng)過初等行變換化經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣成階梯形矩陣R。則方程組。則方程組有解有解的充分必要條件是的充分必要條件是R中的拐角元素不出現(xiàn)最后一列；中的拐角元素不出現(xiàn)最后一列；（1）方程組有）方程組有唯一解唯一解的充分必要條件是的充分必要條件是R中的拐中的拐角元素不出現(xiàn)最后一列，并且拐角元素的個數(shù)等角元素不出現(xiàn)最后一列，并且拐角元素的個數(shù)等于未知量的個數(shù)；于未知量的個數(shù)；（2）方程組有）方程組有無數(shù)解無數(shù)解的充分必要條件是的充分必要條件是R中的拐中的拐角元素不出現(xiàn)最后一列，并且拐角元素的個數(shù)小角元素不出現(xiàn)最后一列，并且拐角元素的個數(shù)小于未知量的個數(shù)；于未知量的個數(shù)；定理定理2 齊次齊次方程組

4、解的判定方程組解的判定 設(shè)方程組的系數(shù)矩陣設(shè)方程組的系數(shù)矩陣A是是mn 階矩陣，階矩陣，A 經(jīng)過經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣初等行變換化成階梯形矩陣R。則有。則有（1）方程組有唯一零解的充分必要條件是）方程組有唯一零解的充分必要條件是R中拐角中拐角元素的個數(shù)等于未知量的個數(shù)。元素的個數(shù)等于未知量的個數(shù)。（2）方程組有非零解的充分必要條件是）方程組有非零解的充分必要條件是R中拐角元中拐角元素的個數(shù)小于未知量的個數(shù)。素的個數(shù)小于未知量的個數(shù)。( ( ) )( ( ) )nRAR ( ( ) )( ( ) )nRAR 有無窮多解有無窮多解. .bAx 非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx 齊次線性

5、方程組齊次線性方程組0 Ax( ( ) )nAR ;0只只有有零零解解 Ax( ( ) )nAR .0有有非非零零解解 Ax;有有唯唯一一解解bAx 齊次線性方程組齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成最簡階梯矩陣，：系數(shù)矩陣化成最簡階梯矩陣，便可寫出其通解；便可寫出其通解；非齊次線性方程組：非齊次線性方程組：增廣矩陣化成階梯形矩陣，增廣矩陣化成階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成最簡階梯便可判斷其是否有解若有解，化成最簡階梯矩陣，便可寫出其通解；矩陣，便可寫出其通解；例例1 1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.0340222022432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 34

6、1122121221A 463046301221施行初等行變換：施行初等行變換：對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 , 0342, 0352432431xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把它它寫寫成成通通常常的的參參數(shù)數(shù)令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例2 2 設(shè)有線

7、性方程組設(shè)有線性方程組 23213213211 xxxxxxxxx?,有有無無窮窮多多個個解解有有解解取取何何值值時時問問 解解 21111111),( bA 11111112 作作初初等等行行變變換換，對對增增廣廣矩矩陣陣),(bAB 2222111011011 32222120011011 ( () )( () )( () ) ( () )( () ) 22112100111011 ( ( ) ),11時時當(dāng)當(dāng) ( ( ) )( () )., 3,方方程程組組有有無無窮窮多多解解 bARAR其通解為其通解為 33223211xxxxxxx( () ).,32為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)xx 000000001111),(bA( ( ) ),12時時當(dāng)當(dāng) ( () ) 22120011011),( bA這時又分兩種情形：這時又分兩種情形：( ( ) )( (