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1、非齊次線性方程組非齊次線性方程組 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若記若記,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21m21bbbb則非齊次線性方程組可寫成矩陣形式:則非齊次線性方程組可寫成矩陣形式:.1bxAnnm aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajan若記若記b 2211 xaxaxann則非齊次線性方程組可寫成向量形式:則非齊次線性方程組可寫成向量形式:2 2齊次線性方程組齊次線性方程組 000221122221211212111nmn
2、mmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若記若記,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21 0000則齊次線性方程組可寫成矩陣形式:則齊次線性方程組可寫成矩陣形式:. 01 nnmxA aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajan若記若記0 2211 xaxaxann則齊次線性方程組可寫成向量形式:則齊次線性方程組可寫成向量形式: 定理定理1 非齊次方程組解的判定非齊次方程組解的判定 設(shè)方程組的系數(shù)矩陣設(shè)方程組的系數(shù)矩陣A是是mn 階矩陣,階矩陣,b是常是常數(shù)項(xiàng),設(shè)數(shù)項(xiàng),設(shè)=(A b)是增廣矩陣是增廣矩陣,
3、 經(jīng)過(guò)初等行變換化經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形矩陣成階梯形矩陣R。則方程組。則方程組有解有解的充分必要條件是的充分必要條件是R中的拐角元素不出現(xiàn)最后一列;中的拐角元素不出現(xiàn)最后一列;(1)方程組有)方程組有唯一解唯一解的充分必要條件是的充分必要條件是R中的拐中的拐角元素不出現(xiàn)最后一列,并且拐角元素的個(gè)數(shù)等角元素不出現(xiàn)最后一列,并且拐角元素的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù);于未知量的個(gè)數(shù);(2)方程組有)方程組有無(wú)數(shù)解無(wú)數(shù)解的充分必要條件是的充分必要條件是R中的拐中的拐角元素不出現(xiàn)最后一列,并且拐角元素的個(gè)數(shù)小角元素不出現(xiàn)最后一列,并且拐角元素的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù);于未知量的個(gè)數(shù);定理定理2 齊次齊次方程組
4、解的判定方程組解的判定 設(shè)方程組的系數(shù)矩陣設(shè)方程組的系數(shù)矩陣A是是mn 階矩陣,階矩陣,A 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形矩陣初等行變換化成階梯形矩陣R。則有。則有(1)方程組有唯一零解的充分必要條件是)方程組有唯一零解的充分必要條件是R中拐角中拐角元素的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)。元素的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)。(2)方程組有非零解的充分必要條件是)方程組有非零解的充分必要條件是R中拐角元中拐角元素的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)。素的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)。( ( ) )( ( ) )nRAR ( ( ) )( ( ) )nRAR 有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解. .bAx 非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx 齊次線性
5、方程組齊次線性方程組0 Ax( ( ) )nAR ;0只只有有零零解解 Ax( ( ) )nAR .0有有非非零零解解 Ax;有有唯唯一一解解bAx 齊次線性方程組齊次線性方程組:系數(shù)矩陣化成最簡(jiǎn)階梯矩陣,:系數(shù)矩陣化成最簡(jiǎn)階梯矩陣,便可寫出其通解;便可寫出其通解;非齊次線性方程組:非齊次線性方程組:增廣矩陣化成階梯形矩陣,增廣矩陣化成階梯形矩陣,便可判斷其是否有解若有解,化成最簡(jiǎn)階梯便可判斷其是否有解若有解,化成最簡(jiǎn)階梯矩陣,便可寫出其通解;矩陣,便可寫出其通解;例例1 1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.0340222022432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 34
6、1122121221A 463046301221施行初等行變換:施行初等行變換:對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 , 0342, 0352432431xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式,把把它它寫寫成成通通常常的的參參數(shù)數(shù)令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例2 2 設(shè)有線
7、性方程組設(shè)有線性方程組 23213213211 xxxxxxxxx?,有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)解解有有解解取取何何值值時(shí)時(shí)問(wèn)問(wèn) 解解 21111111),( bA 11111112 作作初初等等行行變變換換,對(duì)對(duì)增增廣廣矩矩陣陣),(bAB 2222111011011 32222120011011 ( () )( () )( () ) ( () )( () ) 22112100111011 ( ( ) ),11時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ( ( ) )( () )., 3,方方程程組組有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解 bARAR其通解為其通解為 33223211xxxxxxx( () ).,32為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)xx 000000001111),(bA( ( ) ),12時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ( () ) 22120011011),( bA這時(shí)又分兩種情形:這時(shí)又分兩種情形:( ( ) )( (
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