相似三角形主題講座

1、相似三角形知識點睛：相似三角形教學(xué)目的：了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比及成比例線段，了解黃金分割。認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角等，對應(yīng)邊成比例，面 積的比等于對應(yīng)邊比的平方。知道相似三角形的概念，體會相似三角形與相似圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識特殊與一般的辯 證關(guān)系。會根據(jù)概念判斷兩個三角形相似。能說出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的邊長。會用相似的基本模型解題。教學(xué)重點與難點：重點：相似三角形概念、相似比有關(guān)計算。難點：三角形相似的判定，用相似模型解題。 一、比例線段 1比例的性質(zhì) 這一性質(zhì)稱為比例的基本性質(zhì)，由它可推出許多比例形式； 2第四比例項，比例中項

2、若 ，則d叫做 a，b，c的第四比例項。 若 ，則b叫做a，c的比例中項。練習(xí)：1若a2，b3，c4，那么a，b，c的第四比例項d_。2列各組線段的長度成比例的是()A 2， 3， 4， 2 B 1， 2， 2， 4C 1.1， 2.2， 3.3， 5.5 D 1.5， 2.5， 7.5， 4.5 3如果4線段2cm和8cm的比例中項是_，2和8的 比例中項是_。 3黃金分割點 如果點P把線段AB分割成AP和BP(AP>BP)兩段，若P點是AB的黃金分割點。ABP則：思考：一條線段上有幾個黃金分割點？思考：怎樣用尺規(guī)作圖求一條線段的黃金分割點？二、平行線分線段成比例定理 思考：如圖，能否

3、得出：EDBC？平行線等分線段定理 【例1】已知：在ABC中，AD是角平分線。 _D_C_B_A 求證： 思考：已知在ABC中，外角平分線AD交BC延長線于D。求證： 2A1DCB【例2】如圖，在ABC中， D，E為BC的三等分點，F(xiàn)為AC中點，BF分別交AD，AE于M，N兩點。求： BMMNNF【例3】已知：如圖，AOC中，AOC120°，AOC的平分線交AC邊于B。 求證： 三、相似三角形的性質(zhì)1相似多邊形有哪些性質(zhì)？2相似三角形是否有這些性質(zhì)？3怎樣得到相似三角形定義？對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。 圖中的ABC和ABC，如果有A=A，B=B，C=C，且 那

4、么ABC與A'B'C'是相似的。相似我們用符號“”來表示，讀作“相似于”。相似三角形對應(yīng)邊的比k，叫做相似比(或相似系數(shù))。圖中的兩個三角形相似，我們就記作：ABCABC。如果ABAB BCBC ACAC 12。 那么兩個三角形的相似比k 。相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。相似三角形中對應(yīng)線段(高、中線、角平線) 的比等于相似比。相似三角形周長之比等于相似比。相似三角形的面積比等于相似比的平方。四、相似三角形的判定相似三角形的判定定理： 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似； 兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似； 三組邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似； 斜

5、邊和一直角邊成比例的兩直角三角形相似； 平行于三角形一邊的直線截三角形兩邊(或延長線)，所得三角形與原三角形相似。 判定定理一：AA 定理 判定定理二：SAS 定理 判定定理三：SSS 定理 直角三角形判定：HL 定理 平行線判定三角形相似定理： DEBCADEABC 畫一畫：【例4】如圖，在ABC和DEF中, AD 70o, B50o，E30o，畫直線a，把ABC分成兩個三角形，畫直線b，把DEF分成兩個三角形，使ABC分成的兩個三角形和DEF分成的兩個三角形分別相似。(要求標(biāo)注數(shù)據(jù))b 【例5】在方格紙中，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形。在如圖4×4的

6、格紙中，ABC是一個格點三角形。 (1)在右圖中，請你畫一個格點三角形，使它與ABC相似(相似比不為1) (2)在右圖中，請你再畫一個格點三角形，使它與ABC相似(相似比不為1)，但與圖1中所畫的三角形大小不一樣。 【例6】如圖，在正方形ABCD中，M，N分別在AB，BC邊上，且BMBN，又BPMC，垂足為P。求證：PDPN 【例7】已知如圖正ABC和正DEF，BC和EF的中點均為M。 求證：ADCF五、相似三角形判定的基本模型 A字型 8字型 反A字型 針8字型母子型 旋轉(zhuǎn)型 雙垂直 三垂直直角三角形的射影定理 【例8】如圖，在ABC中，ABAC，ADBC于D，CFAB。BP的延長線交AC于

7、E交CF于F。 求證：【例9】如圖，CD是RtABC斜邊上的高，M為AC的中點，MD與CB的延長線交于N。求證：BD·CNCD·DN 【例10】如圖，正方形ABCD，AB邊上有一點E，BC邊上一點F，使得EF3，DF4，DE5。那么，正方形ABCD的面積是_。 【例11】如圖，等腰三角形ABC中，ABAC，D為CB延長線上一點，E為BC延長線上一點，滿足求證：ADBEAC；若BAC40°，求DAE的度數(shù)?！纠?2】如圖D 、E為線段BC上兩定點，且BD=CE ，A為BC外一點，當(dāng)點A運(yùn)動到使1=2時，判斷ABC的形狀并證明。六、相似在函數(shù)與圓中的應(yīng)用【例13】如圖，在等腰ABC中，BAC90°，ABAC1，點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合)，在AC上取點E，使ADE45°。 求證：ABDDCE；設(shè)BDx，AEy，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值 時AE取得最小值；當(dāng)ADE是等腰三角形時，求AE的長。【例14】如圖，在ABC的邊AB上任取一點D，連接CD，過D作DEBC交AC于E，過E作EFCD交AB于F。求證：AB4DF?！纠?5】如圖，在半徑為r的O中，直徑ABCD，P為弧BC上任意一點，PD交AB于E，PA交C