相似三角形的判定

1、27.2.1 相似三角形的判定學習目標、重點、難點【學習目標】 1掌握兩個三角形相似的判定條件（三個角對應相等，三條邊的比對應相等，則兩個三角形相似）相似三角形的定義，和三角形相似的預備定理（平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似）2掌握“兩組對應邊的比相等且它們的夾角相等的兩個三角形相似”的判定方法；掌握“兩角對應相等，兩個三角形相似”的判定方法3會運用“兩個三角形相似的判定條件”和“三角形相似的預備定理”解決簡單的問題【重點難點】 1相似三角形的定義與三角形相似的預備定理2運用三角形相似的條件解決簡單的問題知識概覽圖定義及表示方法兩個三角形的三組對應邊的比相等相

2、似三角形相似三角形的判定兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且它們的夾角相等兩個三角形有兩對對應角相等相似三角形的性質(zhì)：對應角相等，對應邊的比相等新課導引 【生活鏈接】 小明為了迎接世界中學生數(shù)學大會的召開，制作了一個如右圖所示形狀的花束，三邊長分別是35 cm，40 cm，50 cm，小麗也想制作一個這樣形狀的花束，但她手中只有一根長100 cm的木條，她應該怎么制作呢? 【問題探究】 如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似，但是定義中條件較多，過于苛刻，你能減少定義中的條件來判斷兩個三角形相似嗎? 教材精華知識點1 相似三角形 相似三角形是形狀相同的三角形，它們的

3、對應角都相等，對應邊的比都相等如圖2710所示，ABC與DEF的形狀相同，大小不同，這兩個三角形相似，所以AD，BE，CF，· 拓展 相似三角形的定義既是最基本的判定方法，也是最重要的性質(zhì)知識點2 相似三角形的表示方法ABC與DEF相似，可以寫成ABCDEF，也可以寫成DEFABC，讀作“ABC相似于DEF”或“DEF相似于ABC”拓展 用“”這個符號表示兩個圖形相似時，對應的頂點應該寫在對應的位置上，如圖2710所示，表示ABC與DEF相似，A的對應角是D，B的對應角是E，C的對應角是F，即ABCDEF，而不要寫成ABCEFD，如果把ABC寫成BAC，那么就應該記作BACEDF，這

4、樣做的目的是為了指明對應角、對應邊知識點3 三角形的相似比 兩個三角形相似，對應邊的比叫做相似比 例如:若ABCDEF，則設比值為k，于是k，即ABC與DEF的相似比為k拓展 這時DEF與ABC的相似比為若BC6，EF8，則ABC與DEF的相似比為，DEF與ABC的相似比為.探究交流 如果兩個三角形的相似比k1，那么這兩個三角形有怎樣的關系?點撥 當兩個三角形相似，且相似比為1時，這兩個三角形全等，也就是說，這兩個三角形的對應角都相等，對應邊都相等，這兩個三角形能夠重合三角形全等是三角形相似的特例知識點4 平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段的比相等把這個定理應用到三角形

5、中，可以得到：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段的比相等知識點5 相似三角形的判定定理 判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似 如圖2711所示，在ABC中，過AB上一點D作DEBC交AC于點E，求證ADEABC 證明：DEBC，ADEABC，AEDACB 連接DC，BE，SEBCSDBC，SABESACD 同高的兩個三角形面積的比等于底邊的比，. 如圖2712所示，過點D作DFAC交BC于點F易證又BDABAD，BFBCFCBCDE， ，即 . 又AA，ADEABC，AEDACB， ADEABC 判定定理2：如果兩個三角

6、形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似 如圖2713所示，在ABC和ABC中，求證ABCABC 證明：在線段AB(或它的延長線)上截取ADAB， 過點D作DEBC交AC于點E， ADEABC， . 又，AD=AB， .AE=AC，同理DE=BC， ADEABC(SSS)，ABCABC 例如：在ABC與ABC中，AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC24 cm，此時，ABCABC 書寫格式：在ABC與ABC中，ABCABC 判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似如圖2714所示 書寫格式：在ABC與A

7、BC中，AA，ABCABC 判定定理4：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似 如圖2715所示，在ABC與ABC中，AA，BB，求證ABCABC 證明：在ABC的邊AB上截取ADAB， 過點D作DEBC交AC于點E， ADEABC，且ADEABC， ABCABC書寫格式：在ABC與ABC中，AA，BB，ABCABC規(guī)律方法小結 判定三角形相似的方法主要有以下幾種：(1)定義；(2)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；(3)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；(4)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且

8、相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；(5)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似；(6)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形都與原三角形相似(此知識常用，但有時需要證明)；(7)若兩個直角三角形滿足一個銳角對應相等，或兩組直角邊的比相等，則這兩個直角三角形相似知識點6 相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應角相等，對應邊的比相等拓展 相似三角形的性質(zhì)可用于有關角的計算、線段的計算以及三角形的周長和面積的計算等，還可以用于證明兩角相等、兩條線段相等規(guī)律方法小結 運用轉(zhuǎn)化思想把要求證的線段間的關系逐步轉(zhuǎn)化為易證的線段間的關系，即由未知向已知轉(zhuǎn)化當兩個三角形相似，

9、但又沒有指明對應的情況時，應進行分類討論 課堂檢測基本概念題 1、所有的直角三角形都相似嗎?所有的等腰直角三角形呢?為什么? 2、根據(jù)下列條件判定ABC與ABC是否相似，并說明理由 (1)A120°，AB7 cm，AC14 cm，A120°，AB3 cm，AC6 cm； (2)AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC21 cm基礎知識應用題3、如圖2717所示，根據(jù)下列情況寫出各組相似三角形的對應邊的比例式 (1)ABCADE，其中DEBC； (2)OABOAB，其中ABAB； (3)ABCADE，其中ADEB. 4、如圖2718所示，

10、已知ABCDEF，那么下列結論正確的是 ( )A B C D 5、如圖2719所示，ABDACE，求證ABCADE 6、如圖2720所示，在不等邊三角形ABC中，P是AB邊上一點，過點P作一條直線，使截得的三角形與ABC相似，則滿足條件的直線一共有多少條?請畫出圖形 7、如圖2722所示，在RtABC中，C90°，ABC中有一個內(nèi)接正方形DEFC，連接AF交DE于G，AC15，BC10，求GE的長綜合應用題 8、如圖2723所示，從ABCD的頂點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E，F(xiàn)，求證AB·AE+AD·AFAC2 9、如圖2724所示，小明為

11、了測量一樓房MN的高度，在離N點20 m的A處放了一個平面鏡，小明沿NA后退到C點，正好從鏡子中看到樓頂M點，若AC1.5 m，小明的眼睛離地面的高度為16 m，請你幫助小明計算一下樓房的高度(結果保留小數(shù)點后一位)探索與創(chuàng)新題 10、如圖2725所示，在直角梯形ABCD中，D90°，AD7，AB2，DC3，P為AD上一點，以P，A，B為頂點的三角形與以P，D，C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P一共有多少個?為什么? 體驗中考 1、如圖2728所示，已知ABC是邊長為6 cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB，BC勻速運動，其中點P運動的速度是1 cm/s，點

12、Q運動的速度是2 cm/s，當點Q到達點C時，P，Q兩點都停止運動，設運動時間為t s，解答下列問題 (1)當t2時，判斷BPQ的形狀，并說明理由； (2)設BPQ的面積為S cm2，求S與t的函數(shù)關系式； (3)作QRBA交AC于點P，連接PR，當t為何值時，APRPRQ? 2、如圖2729所示，在ABCD中，E在DC上，若DE:EC1:2，則BF:BE= . 學后反思附： 課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析 由相似三角形的定義可知，所有的直角三角形不都相似，而所有的等腰直角三角形都相似 解：所有的直角三角形不都相似如圖2716所示的兩個直角三角形中的兩個銳角顯然不相等，因此這兩個直角三

13、角形不相似所有的等腰直角三角形都相似因為任意一個等腰直角三角形的三個內(nèi)角分別為45°，45°，90°，三條邊的比為1：1：，因此所有的等腰直角三角形都相似【解題策略】 所有的直角三角形中不滿足對應角都相等，因此所有的直角三角形不都相似2、分析 根據(jù)判斷兩個三角形相似的判定定理3與判定定理2來判定 解：(1),， 又AA，ABCABC (2) , ,. 即ABC與ABC的三組對應邊的比不相等，所以它們不相似 【解題策略】 此類題主要考查相似三角形的判定定理3、分析 要寫出比例式，關鍵應明確哪些邊是對應邊，而要找到對應邊，比較好的方法是找到對應角(或?qū)捻旤c)以(2

14、)為例，由于ABAB，AA，BB，AOBAOB，因此點A與點A是對應點，點B與點B是對應點，另一個公共點O是兩個三角形的對應點解：(1) (2) . (3) 【解題策略】 兩個三角形相似，在找對應角和對應邊時應按照對應字母來找4、分析 如圖2718所示，把直線AD向右平移，且使點A與點B重合容易證明：ADBD，DFDF，由比例線段的特點知故選A5、分析 由于ABDACE，所以BADCAE，所以BACDAE又，所以問題得證 證明：ABDACE，BADCAE， BAD+DACCAE+DAC， 即BACDAE 又ABDACE， 即，ABCADE 【解題策略】 解決此類問題的關鍵是熟練掌握相似三角形的

15、判定方法6、分析 可利用“如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似”和“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”來畫直線，故過點P分別作BC，AC的平行線，或過點P作與C相等的角，從而得到相似三角形解：滿足條件的直線一共有四條，如圖2721所示【解題策略】 本題考查相似三角形的識別方法，通過構造“兩角對應相等”使兩個三角形相似7、分析 根據(jù)相似三角形的判定方法和性質(zhì)列出比例式，從而求得GE的長 解：在RtABC中，C90°，正方形DEFC為其內(nèi)接正方形， ADEACB，AGEAFB， . 設正方形DEFC的邊長為x，則，x

16、=6AGEAFB，. 又,，即，GE=. 【解題策略】 利用比例式求線段的長度是求線段的一種重要方法，主要是根據(jù)相似的關系列出比例式，再由比例式列出方程，從而通過解方程求得線段的長8、分析 等式左邊的兩項均為兩條線段之積，而右邊為AC2，故應設法將AC2拆成兩條線段乘積的形式，由圖中可知AC2AC(AG+GC)AC·AG+AC·GC，從而只需證AC·AG和AC·GC與所證等式的左端兩項分別相等即可 證明：過B作BGAC于G， BGACEA90°，33， ABGACE， AC·AGAB·AE 又BCAD，CFAF， 12，CG

17、BAFC90°， CBGACF， AC·CGCB·AF 由+得AC(AG+CG)AB·AE+CB·AF 又CBAD，AB·AE+AD·AFAC2【解題策略】 一般地，要證形如abcd+ef的線段關系，常常在a(或b)上取一點P，使ab轉(zhuǎn)化為兩項9、分析 根據(jù)物理學中的反射定律可知：光線的反射角等于入射角，即BAPMAP，從而BACMAN，這樣就可以得到MNABCA，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出MN 解：BCCA，MNAN，BCAMNA90°， 又BAPMAP，BACMAN， BCAMNA，MN:BCAN:AC，

18、即MN：1.6=20:1.5，MN=213(m)， 樓房的高度約為213 m 【解題策略】 利用相似三角形的對應邊成比例，列出比例式求線段的長是常用的方法10、分析 PAB與PDC中各有一個直角，兩邊對應成比例，所以應分兩種情況進行討論，即APBDPC和APBPCD，分別求解即可 解：設APx，則PD7x 當PABPDC，即AD90°，APBDPC時， ,x. 當PABCDP，即AD=90°，APBDCP時， ，x1=1，x2=6 因此AP的值有三個，也就是這樣的點P一共有三個【解題策略】 本題中PAB與PDC相似，由于沒有指明兩個三角形的對應點(除點A和點D外)，所以要分類