數(shù)值分析復習題要答案

1、WORD格式第一章1、 ln2 0.69314718，準確到 10 3的近似值是多少？解 準確到 103 0.001，即絕對誤差限是 0.05，故至少要保存小數(shù)點后三位才可以。ln2 0.693。2、設 x1 6.1025, x280.115均具有 5 位有效數(shù)字，試估計由這些數(shù)據(jù)計算x1 x2，x1 x2的絕對誤差限解：記 x1 6.1025, x280.115那么有 | x1x1 | 1 10 4 ,| x2 x2 | 110 322所以 | x1x2 x1 x2 | | x1x2x1 x2x1 x2x1x2 | | x2 | x1x1 | | x1 | x2x2 |專業(yè)資料整理WORD格

2、式80.116110 46.102511022| x1 x2 (x1 x2 ) | | x1x1 | | x2x2 | 1 10230.0070574 1 10 3 0.000552專業(yè)資料整理WORD格式3、一個園柱體的工件 , 直徑 d 為 10.250.25mm,高 h 為 40.00 1.00mm,那么它的體積 V 的近似值、誤差和相對誤差為多少。解：Vd 2 h,4Vd 2 h240.00 4.000243.142 10.253300.6mm ;d 2 h2dh (d )d2(h)210.25 40.000.25 10.2521.00243.6,(V )444V3300.6243.6

3、mm2(V )243.6r (V )0.0738 7.38%V3300.6第二章：1、分別利用下面四個點的Lagrange 插值多項式和 Newton 插值多項式 N3(x)，計算 L3及 3(0.5)N (- 0.5)x2101f(x)1102解： (1)先求Lagrange插值多項式L3 ( x)l 0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l 2 ( x) y2l3 (x) y31 分l 0( x x1 )( x x2 )( x x3 )( x 1)( x 0)( x 1)1( x)x1 )( x0 x 2 )( x0x3 ) ( 2 1)( 2 0)( 2 1)( x 1)( x 1)

4、x ， 2分( x06專業(yè)資料整理WORD格式( xx0)( xx2 )( xx3 )( x2)( x0)( x1)l1 ( x)x0)( x1x2 )( x1x3 )( 12)( 10)(1 1)( x1l 2( xx0 )( xx1 )( xx3 )( x2)( x1)( x1)( x)x0 )( x2x1 )( x2x3 )( 02)(01)(01)( x2( xx0 )( xx1 )( xx2 )( x2)( x1)( x0)l 3 ( x)x0)( x3x1 )( x3x2 )(12)(11)(10)( x31 (x 2)(x 1)x2 分21 ( x 2)( x 1)( x 1)

5、2分21 ( x 2)( x 1) x2 分6專業(yè)資料整理WORD格式L3 (x)1 (x 1)( x 1) x1 (x 2)( x 1)x1 ( x 2)( x 1) x x33 x21 x 1分621322所以L31 分(0.5)4(2)再求 Newton 插值多項式列均差表如下：xyf xi , x j f xi , x j , xk f x0 , x1 , x2 , x3 x021(2分)x1112分)(2x20013(分22 )x312231(2分)2所以 Nx1 2(x2)3 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) xx33213 ( )2xx 2分122N3 (0.5

6、)1 分22、求過下面四個點的 Lagrange插值多項式 L3(x)和 Newton 插值多項式 N3(x)。x2101f(x)2111解： 1L 3(x)=lo(x)yo+l 1(x)y1+l 2(x)y2+l 3(x)y31 分li (x)( x x0 )( x 1)( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn )( xix0 )( xix1 )( xixi 1 )( xixi 1 )( xixn )得出 lo ( x)1x( x1)( x1) 2 分l1( x)1x(x2)( x1)2 分62l 2 ( x)1 x( x 2)( x 1)( x 1) 2分 l3 ( x)1x(

7、 x 2)( x 1) 2分26 L3 ( x)1x( x 1)( x 1)1x(x 2)( x 1)1( x 2)( x 1)( x 1) 1x( x 2)( x 1)32261 分2N3(x)a0a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) a3 ( x x0 )( x x1 )( xx2 ) 1分專業(yè)資料整理WORD格式a0 f ( x0 )22 分a1f ( x0 )f (x1 )x03x1f (x0 )f (x1 )f ( x1 )f ( x2 )x0x1x1x23a2x0x2 2 分，a32 N 3 ( x)2 3(x2)3 ( x2)( x1)1 ( x 2)(

8、 x262 分162 分1) x 1分專業(yè)資料整理WORD格式第三章1、令f ( x)xx1，且設p( x)a 0a1x ，求e , 1a 0 , a1使得p( x)為 f( x)在-1，1上的最正確平方逼近多項式。2數(shù)據(jù)對(7，3.1)，(8，4.9)，(9，5.3)，(10，5.8)，(11，6.1)，(12，6.4)，(13，5.9)。試用二次多項式擬合這組數(shù)據(jù)。解： y 0.145x2 3.324x 12.794專業(yè)資料整理WORD格式第四章：1數(shù)據(jù)如下表x1.001.011.021.031.04f (x)3.103.123.143.183.24用中心差分公式，分別取h = 0.01、

9、 0.02 計算f(1.02) 解：中心差分公式為ff (xh)f ( xh)2 分( x)2h1取 h=0.01 時，f(1.02)f (1.03)f (1.01)3.183.124 分0.0230.022取 h=0.02 時，f(1.02)f (1.04)f (1.00)3.243.104 分0.043.50.04210 分根據(jù)如下函數(shù)表X1.01.11.21.31.41.51.6f(x)1.5431.6681.8111.9712.1512.3322.577用中心差分公式，分別取h=0.3，0.1 計算f (1.3)專業(yè)資料整理WORD格式解：中心差分公式取 h=0.3 時，取 h=0.1

10、 時，f (xh)f (x h)2 分f (x)2hf (1.30.3)f (1.30.3)1.72334 分f (x)0.6f (1.30.1)f (1.30.1)1.70004 分f (x)0.2專業(yè)資料整理WORD格式3分別用復合梯形公式T6S30.61和復合辛普森公式計算定積分dx 的值ba ( fn 10 1x解： T6(0)f ( xn ) 2yi ) 2分2ni 10.60 ( f (0)f (0.6) 2 f (0.1)f ( 0.2) f (0.3)f (0.4) f ( 0.5) )260.470510733 分baf (0.6)4 f (0.1)f ( 0.3) f (0

11、.5) 2 f ( 0.2) f (0.4)S3 f ( 0)6n0.470006383 分f(0)=1 ， f(0.1)=0.9090 ， f(0.2)=.08333 ，f(0.3)=0.7692 ， f(0.4)=0.7142 ，f(0.5)=0.6667 ， f(0.6)=0.6257 分專業(yè)資料整理WORD格式4、利用復合4 計算積分11dx取小數(shù)點后4 位。Simpson 公式 S0 1x2ba (0)(2)(4n2n)解：Snffy2 i 1y2i 2分6nni1i 1f (0)4.00000 ， f 13.93846 ， f23.76470 ， f33.50685 ，888f43

12、.20000， f52.87640 ， f62.56000， f72.26000 ，8888f (1)2.000009 分S410f (0)f (1)4f1f 3f5f72 f2f4f6)6488888883.14164 分第五章：1、利用列主元消去法求解線性方程組3x12x26 x3410 x17x275x1x25x36計算過程保存到小數(shù)點后四位.326410707解： 10707 r1r 21分3 2642 分5156515631070710707r2r100.166.1 2分r2r302.552.5 2分11002.552.50. 1006.26.2r32r1r32. 5r2回代解得x3

13、1， x21 ， x301 分2、用矩陣的 LU 分解法解方程組210x12221x23412x34100u11u12u13解：設 A LUl 21100u21u 221 分l 31l 32100u33專業(yè)資料整理WORD格式100210LU1100114 分 LUX =b211001100y12其中設 UX =y，那么 Ly=b110y232 分211y34210x12y=(2, 1,1)TUX=y011x21(2 分)001x31x=(0, 2,1)T 1分5. 用追趕法解三對角方程組Ax=b，其中解：用解對三角方程組的追趕法公式計算得6. 用平方根法解方程組解：用分解直接算得專業(yè)資料整理

14、WORD格式由及求得專業(yè)資料整理WORD格式第六章：20 x12x23x3241Gauss-Seidel迭代法求解方程組x18x2x312，取初值x(0 )(0,0,0)T，、用2x13x215x330寫出 Gauss-Seidel 迭代格式，求出x(1)，x (2)，計算x(1)x( 2)，并根據(jù)原方程組的系數(shù)矩陣說明該迭代格式是否收斂2、對方程組10x12x2x332x110x2x315x12x25x3101寫出其 Jacobi 迭代格式，并據(jù)迭代矩陣的X數(shù)， 說明該迭代格式收斂。2寫出題中方程組的Seidel 迭代格式，取 x( 0)(0,0,0)T，迭代求出x(1)，x ( 2) ，x

15、 (3) 。 1解：其Jacobi 迭代格式為：專業(yè)資料整理WORD格式x1( k1)x2( k1)x3( k1)| M |1收斂1 x2( k )1 x3(k )3011510105101 x1( k )1 x3(k )35 分M1016 分51025101 x1( k )2 x2( k )21205555312分51 分專業(yè)資料整理WORD格式 2解：其Seidle 迭代格式為：專業(yè)資料整理WORD格式x1( k 1 )1 x2(k )1 x3( k )510x2( k 1 )1 x1( k 1)1 x3(k )510x3( k 1 )1 x1( k 1)2 x2(k 1)5531035

16、分22專業(yè)資料整理WORD格式x ( 0 )(0, 0, 0) T專業(yè)資料整理WORD格式xx(1)(0.3, 1.56, 2.684) T2 分( 2 )(0.8804, 1.94448, 2.953872) T 2分專業(yè)資料整理WORD格式x ( 3 )(0.9842832, 1.99224384, 2.993754176) T1 分3對方程組8x1x2x31x15x2x316x1x24x37 1寫出其 Jacobi 迭代格式，并根據(jù)迭代矩陣的X數(shù)，說明該迭代格式收斂。 2寫出 Seidel 迭代格式，取 x ( 0 )(0,0,0) T，迭代求出x(1 )；計算x0x1。專業(yè)資料整理WO

17、RD格式x1( k 1)解： (1)其 Jacobi 迭代格式為x2( k 1)x3( k 1)01188迭代矩陣為101M5511044|M |1所以1 2 分41 x2(k )1 x3(k )18881 x1(k 1)1 x3(k )165 分5551 x1(k 1)1 x2(k )74442分Jacobi 迭代格式收斂1 分專業(yè)資料整理WORD格式(2)其 Seidel 迭代格式為：將x( 0)(0, 0, 0)T代入得所以x1( k 1)1 x2(k ) 1 x3(k )1888x2(k 1)1 x1( k 1)1 x3(k )165 分555x3(k 1)1 x1(k 1)1 x2(

18、k )7444x (1)(1 ,129 ,514 )T3 分840160x (0)x (1)5142 分160專業(yè)資料整理WORD格式5.用 SOR方法解方程組( 取 =1.03)專業(yè)資料整理WORD格式準確解，要求當時迭代終止.專業(yè)資料整理WORD格式解：用SOR方法解此方程組的迭代公式為專業(yè)資料整理WORD格式取，當時，迭代5次達到要求第七章1利用牛頓迭代法求方程x31.1x20.9x1.40 的近似根，取初值x0 1 進展計算，使誤差不超過 103解：牛頓迭代格式為：xk 1xkf (xk )1 分；f ( xk)利用牛頓迭代法求解，將x0 1代入，得f (1)0.738 1分，x2f

19、(0.738)0.674 1分x1 10.738f (1)f (0.738)x30.674f ( 0.674)0.671 1分，1分f (0.674)所以取x0.671f (0.671)0.671 2分x4 0.671(0.671)f2、求方程x4x 10 0在1.5 ，2內(nèi)的近似解：取 x0=2，用 Newton 迭代法迭代三次，求出 xx3。專業(yè)資料整理WORD格式解：牛頓迭代法公式xn 1xnf (xn )1 分f (xn )f ( x) x4x 10 ， f ( x) 4x311 分Newton 迭代公式： xn 1 xnxn4xn103xn4103 分4xn314xn31x0=2 代

20、入 x1=1.870967742 1 分 x2=1.855780702 1 分 x3=1.855584561 1 分x x3=1.85558 2 分第九章 :x21、應用 Euler 方法計算積分et dt 在點x = 0.5, 1, 1.5, 2時的近似值.02、用改進的 Euler 公式，求初值問題yxyy(0)1在 x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3 三點處的數(shù)值解即當 x0=0，y0=1，h=0.1 時，求出 y1，y2， y3y pynhf (xn , yn )解：改進的歐拉公式：yn 1ynh f (xn , yn )f ( xn 1 , y p )2 分2初值 x0=0 ，

21、 y0=1ypyn0.1( xn , yn )2 分yn 1yn0.05( xnyn )( xn 1 , y p )x0=0， y0 =1， yp=1.13 分x1=0.1， y1=1.1+0.051+1.2=1+0.11=1.11yp=1.2313 分x2=0.2， y2=1.24205yp=1.386253 分x3=0.3， y3=1.398465252 分、用改進的Euler公式，求初值問題y x2 y1在 x1，2，3三3y(0)0=0.2x =0.4 x =0.6專業(yè)資料整理WORD格式點處的數(shù)值解即當x0=0，y0=0，h=0.2 時，求出 y1，y2，y3。專業(yè)資料整理WORD格

22、式y(tǒng) pynhf ( xn , yn )解：改進的歐拉公式：ynh f ( xn , yn )3 分yn 1f ( xn 1 , y p )2將 f (x, y) x 2y 1代入得y pyn0.2( xn2 yn1)yn 1yn0.1 xn2 yn2 分1 xn 1 2 y p 1當 x0 =0， y0=0 時，yp=0.22 分x1=0.2， y1=0.26， 2 分yp=0.6041 分x2=0.4， y2=0.5928， 2 分yp=1.109911 分x3=0.6， y3=1.233442 分4、用歐拉方法求解常微分方程初值問題，取h=0.2 ，計算準確到4 位小數(shù)y12 y 2y(0)1 x20y00yk 1yk h12 yk2, k 0,1, 2, 3, 41 xk2xkyk000.20.20000.40.37630.60.49210.80.54231.00.5466yy 25、微分方程初值問題，用改進的歐拉方法求 y( 0.2), y(0.4)y( 0)11的近似值，即 h=0.2 ，計算二步 , 并與準確解 :y2比較計算準確到1 x專業(yè)資料整理WORD格式4 位小數(shù)專業(yè)資料整理WORD格式y(tǒng)01, h0.2yk(01)yk0.2 yk22yk 1yk0.1 yk(01)yk2,