解決含參數(shù)不等式恒成立問題的基本方法

1、解決“含參數(shù)不等式恒成立問題”的基本方法河南省平頂山市一高 王建設(shè)在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，常常出現(xiàn)“含參數(shù)的不等式恒成立問題”。請看下面幾則例子：例1(2007安徽理科)若對任意R,不等式ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(A)a-1 (B)1 (C) 1 （D）a1 例2（2007福建文）設(shè)函數(shù)（）求的最小值；（）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍例3（2009重慶卷理）不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABw.w.w.k.s.5.u.c.o.m C D例4（2009江西卷文）設(shè)函數(shù) （1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍 這些題目都是直接

2、以“含參數(shù)不等式恒成立問題”的面目出現(xiàn)。再看下面幾則例子：例5（2008全國一）已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍例6（2008全國二）設(shè)，函數(shù)（）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍例7(2009山東卷文)已知函數(shù),其中 （1） 當(dāng)滿足什么條件時,取得極值?（2） 已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.這幾則題目都可以轉(zhuǎn)化為“含參數(shù)不等式恒成立問題”。 例5可以轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立問題。例6可以轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立問題。例7可以轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立問題。類似這樣的和“含參數(shù)不等式恒成立問題”有關(guān)的題目在高考

3、中經(jīng)常出現(xiàn)，它們常常與函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程等知識綜合在一起，演變出一道道的題目。這些試題猛一看往往讓人眼花繚亂，使解題者不知所措，但若能把這些問題轉(zhuǎn)化為“含參數(shù)不等式恒成立問題”的這一基本題型的話，處理起來就胸有成竹了。下面通過一個例子來說明這一題型的處理思路。例8 已知，若時，恒成立，求的取值范圍。思路一：若時，恒成立，就意味不等式的解集必包含解：（1）當(dāng)即時，不等式的解集為不等式,滿足條件（2）當(dāng)即時，不等式的解集為：，此時需滿足：或解得綜合（1）、（2）可知的取值范圍為：當(dāng)給出的不等式比較易于解出時可以考慮運(yùn)用思路一的方法。思路二：若時，恒成立解：令，則（1） 當(dāng)，即時 ，得，又，故此時不存

4、在（2） 當(dāng)，即時 ，得，又，故（3） 當(dāng)，即時 ，得，又，故綜合（1）、（2）、（3）可知的取值范圍為：思路二是處理這一題型經(jīng)常采用的典型方法。思路三：（分離變量）恒成立解：恒成立，令（1） 當(dāng)時，（2） 當(dāng)時，（3） 當(dāng)時，綜合（1）、（2）、（3）可知的取值范圍為：思路三的關(guān)鍵是把變量和參數(shù)分離到不等式的的兩邊，之后處理起來就方便多了。思路四：（數(shù)形結(jié)合）恒成立解：恒成立，令，當(dāng)，的圖像總在的圖像上方觀察圖形結(jié)合計算可得：數(shù)形結(jié)合是高中生必須掌握的基本思想方法之一，很多問題如能采用這一方法會出現(xiàn)出人意料的效果。思路五：（特殊到一般）因為對于任意恒成立，所以當(dāng)取特殊值時仍然成立，找出不等式

5、恒成立的必要條件后進(jìn)一步研究解：因為對于任意恒成立，所以，解得：令，則（1）當(dāng)時，得，所以有（2）當(dāng)時，得，又，故綜合（1）、（2）可知的取值范圍為：尤其在遇到一些和“含參數(shù)不等式恒成立問題”有關(guān)的選擇題、證明題時，運(yùn)用思路五往往會取得出奇制勝的效果。思路五經(jīng)常和思路二結(jié)合運(yùn)用。所選的這道例題可以說基本概括了解決含參數(shù)不等式恒成立問題的常用的基本方法。但在某些含參數(shù)不等式恒成立問題中，會給出參數(shù)的范圍而求變量的范圍，在這種情況下只需把參數(shù)視為變量，變量視為參數(shù)來處理就可以了。處理這一類問題的原則就是已知誰的范圍就把誰視為變量，另一個是為參數(shù)。下面的例9就是這樣的一道題目。例9（2007遼寧文）已知函數(shù)，且對任意的實數(shù)均有，（I）求函數(shù)的解析式；（II）若對任意的，恒有，求的取值范圍數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識。在遇到含參數(shù)不等式的恒成立的數(shù)學(xué)問題時經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合