量子力學(xué)復(fù)習(xí)題答案與題解

1、量子力學(xué)復(fù)習(xí)題導(dǎo)致量子論產(chǎn)生的物理現(xiàn)象主要有哪些？p2量子的概念是如何引進(jìn)的？p5為什么說(shuō)愛(ài)因斯坦是量子論的主要?jiǎng)?chuàng)始人之一？p6寫(xiě)出德布羅意公式并說(shuō)明其中各量的含義和該公式的意義。P12什么是波函數(shù)的幾率解釋？p18態(tài)的迭加原理。P22動(dòng)量算符的定義。P27寫(xiě)出單粒子薛定諤方程。P27寫(xiě)出多粒子薛定諤方程。P28寫(xiě)出單粒子哈密頓算符及其本征值方程。P33什么條件下可以得到定態(tài)薛定諤方程？p32什么是束縛態(tài)？p37什么情況下量子系統(tǒng)具有分立能級(jí)？p37什么是基態(tài)？p37寫(xiě)出線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程。P39寫(xiě)出線性諧振子的能級(jí)表達(dá)式。P40寫(xiě)出波函數(shù)應(yīng)滿足的三個(gè)基本條件。P51寫(xiě)出算符的本征值方

2、程并說(shuō)明其中各量的含義。P54量子力學(xué)中的力學(xué)量算符如何由經(jīng)典力學(xué)中相應(yīng)的力學(xué)量得出？p55 寫(xiě)出厄米算符的定義，并解釋為什么量子力學(xué)中的力學(xué)量要用厄米算符來(lái)表示。P56寫(xiě)出軌道角動(dòng)量算符的各分量表達(dá)式。P60什么是角量子數(shù)、磁量子數(shù)？寫(xiě)出相應(yīng)的本征值表達(dá)式及其數(shù)值關(guān)系。P632Y(,)=l(l+1) 2Y(,) 解：LlmlmY(,)=m Y(,) Lzlmlm其中l(wèi)表征角動(dòng)量的大小，稱為角量子數(shù)，m稱為磁量子數(shù)。對(duì)應(yīng)于一個(gè)l的值，m可以?。?l+1）個(gè)值，從-l到+l。寫(xiě)出波爾半徑的值和氫原子的電離能，可見(jiàn)光能否導(dǎo)致氫原子電離？a0=0.52AV分) ( 3分) E1=13.6e( 3可見(jiàn)

3、光的能量不超過(guò)3.26eV, 這個(gè)值小于氫原子的電離能，所以不能引起氫原子電離。( 4分)寫(xiě)出類氫原子體系的定態(tài)薛定諤方程。P65寫(xiě)出氫原子能級(jí)的表達(dá)式及其簡(jiǎn)并度。P68s, p, d, f 態(tài)粒子是什么含義？p63關(guān)于力學(xué)量與算符的關(guān)系的基本假定。P83寫(xiě)出力學(xué)量平均值的積分表達(dá)式。P84兩個(gè)算符可對(duì)易的充要條件是什么？p89寫(xiě)出X方向坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系。P92什么是Q表象？p108久期方程帶來(lái)的好處是什么？p113寫(xiě)出兩個(gè)表象中的力學(xué)量和態(tài)矢量之間的變換公式。P117 寫(xiě)出幺正變換的兩個(gè)重要性質(zhì)。P118應(yīng)用微擾法的限制條件是什么？p135寫(xiě)出用非簡(jiǎn)并微擾法解題的基本步驟。P136寫(xiě)出

4、用變分法求解體系基態(tài)能量的基本步驟。P145寫(xiě)出黃金規(guī)則公式，并解釋其含義。P154什么是量子力學(xué)中的共振現(xiàn)象？p157自旋角動(dòng)量與其它力學(xué)量的根本差別是什么？p197電子自旋的取值有何特點(diǎn)？p196寫(xiě)出泡利矩陣。P202寫(xiě)出電子自旋算符各分量之間的對(duì)易關(guān)系（矢量形式和分量形式）。P198C-G 系數(shù)是如何定義的？其中各參數(shù)的含義是什么？p209 在角動(dòng)量耦合問(wèn)題中，j1 和j2 給定后，j 的取值范圍是什么？p210寫(xiě)出全同性原理。P217什么是費(fèi)米子？什么是玻色子？P220寫(xiě)出全同玻色子體系的波函數(shù)表達(dá)式，并說(shuō)明其中各量的含義。P223 什么是自旋單態(tài)和三重態(tài)？P223根據(jù)能量算符和動(dòng)量算

5、符的定義及經(jīng)典的能量動(dòng)量關(guān)系，“推 3導(dǎo)”單粒子薛定諤方程。P27 推導(dǎo)定態(tài)薛定諤方程。P32 一個(gè)質(zhì)量為m的粒子置于寬度為a的無(wú)限深勢(shì)阱中：V(x)=00xa其它求該系統(tǒng)的能量本征值。P340 a解：設(shè)系統(tǒng)波函數(shù)為(x)當(dāng)0xa時(shí)，薛定諤方程可以寫(xiě)為- 222mx2(x)=E(x) (1)當(dāng)x<0,x>a時(shí)，薛定諤方程可以寫(xiě)為22-2mx2(x)+V(x)(x)=E(x)當(dāng)V(x)時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)波函數(shù)的有限性及系統(tǒng)能量的有限性，可得 (x)=0。令k2=2mE，可將(1)式化為 222x2(x)+k(x)=0 (2)則方程(2)的解可以寫(xiě)為(x)=Asinkx+Bcoskx由波函數(shù)

6、的連續(xù)性可得(a)=(0)=0Asinka+Bcoska=0B=0Asinka=0B=0即，得 (3)由于當(dāng)A=0，B=0時(shí)，系統(tǒng)波函數(shù)(x)=0，與粒子的存在相矛盾，所以A，B不能同時(shí)為0，所以(3)式的解為B0，sinka0，由此有ka=n ( n = 0，±1，±2，±3，)因?yàn)閚0對(duì)應(yīng)(x)=0，故舍去， n取負(fù)整數(shù)與取正整數(shù)的情況，系統(tǒng)狀態(tài)完全一樣，故只取正整數(shù)即可， n2mE2因此k=，再結(jié)合k=得， 2a2mE2=na2222 即系統(tǒng)能量本征值為E= n2ma222 (n=1，2，3，)。 證明厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。P56 證明厄米算符屬于不同本征

7、值的兩個(gè)本征函數(shù)彼此正交。P78 根據(jù)坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的定義證明：在X方向上兩算符滿足,px=i 。P87 x 證明：在Q表象中, Q算符本身的表示矩陣是對(duì)角的。P110 試推導(dǎo)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論中一級(jí)修正項(xiàng)所滿足的方程。P131 一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場(chǎng) 作用，電場(chǎng)沿正x方向。用微擾法求體系定態(tài)能量的一級(jí)修正，用變量替換法求能量修正。P137 用變分法解氦原子基態(tài)問(wèn)題時(shí)，哈密頓算符如何給出？其中各量是何含義？嘗試波函數(shù)如何選取？p146 寫(xiě)出烏倫貝克和哥德斯密特關(guān)于電子自旋的假設(shè)。P196(1) 每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S ，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：sz=±

8、;2；eS，式中(2) 每個(gè)電子具有自旋磁矩MS，它和自旋角動(dòng)量S的關(guān)系是MS=-e 是電子的電荷，是電子的質(zhì)量。 在兩個(gè)角動(dòng)量耦合的問(wèn)題中，什么是無(wú)耦合表象？什么是耦合表象？寫(xiě)出兩種表象基矢的關(guān)系式。P208 寫(xiě)出全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)表達(dá)式，并由此給出泡利不相容原理。P223,a=1。 寫(xiě)出坐標(biāo)表象下，產(chǎn)生、湮滅算符的表達(dá)式，并證明 aP125 由坐標(biāo)表象下的薛定諤方程推導(dǎo)Q表象下的薛定諤方程（分量形式和矩陣形式）。P1132y+sz=0，其中 s222,s2=s+s 證明自旋算符滿足：s。P198 xz 對(duì)泡利矩陣證明:（1）xy=2i,z;（2）z的本征值為±1,并求出相應(yīng)的

9、歸一化本征矢；（3）x在z的兩個(gè)本征態(tài)中的平均值皆為0。P202答：泡利矩陣: x=101,0y0=i-i1,=z00-i0-0i0,（3-1-i001分）0=2iz-1（1）x,y=xy-yx（3分） （2）zu=u即0=1100i11=2i00100aa=-1bb，由此得久期方程：-00-1-=-1=02解得=±1（4分）設(shè)平面波具有如下一般形式：(r,t)=Aei(kr-t)其中A為常數(shù)，k 和 滿足= k2/2m。(1) 試驗(yàn)證平面波滿足自由粒子薛定諤方程。(2) 解釋為什么說(shuō)平面波不能嚴(yán)格代表一個(gè)自由粒子。（1）it(r,t)=(-22m)(r,t)2左邊 =itAei(k

10、r-t)=i A(-i)ei(kr-t)= Aei(kr-t)=k2m2222Aei(kr-t)右邊 =(-22m)Ae2i(kr-t)=(-22m)A(ik)e22i(kr-t)=k2mAei(kr-t)左邊 = 右邊（2）平面波不滿足平方可積條件*)r(t,d)= (r,tA2d=上述積分的涵義是粒子存在的總幾率，應(yīng)當(dāng)是有限值。所以平面波不能嚴(yán)格代表一個(gè)自由粒子。(a) Write the postulate for the relationship between an observable and the result of its measurement. (b) Suppose a system is at the superposition state of two energy eigenstates: |=c1|1+c2|2. What result would be obtained when measuring the energy of the system? (10 marks