高考數(shù)學(xué)拋物線的性質(zhì)重點(diǎn)題型

1、拋物線的性質(zhì)適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二適用區(qū)域蘇教版課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)1、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)2拋物線性質(zhì)的應(yīng)用3直線與拋物線問題教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)探究拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法(2) 掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解拋物線方程與拋物線曲線間互逆推導(dǎo)的邏輯關(guān)系及利用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題2過程與方法(1)通過拋物線的方程研究拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力(2)通過掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)研究方法的思想滲透及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過數(shù)與形

2、的辯證統(tǒng)一，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育，通過對(duì)拋物線對(duì)稱美的感受，激發(fā)學(xué)生對(duì)美好事物的追求教學(xué)重點(diǎn)掌握拋物線的幾何性質(zhì)，使學(xué)生能根據(jù)給出的條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和一些實(shí)際應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)拋物線各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用教學(xué)過程 課堂導(dǎo)入太陽(yáng)能是最清潔的能源太陽(yáng)能灶是日常生活中應(yīng)用太陽(yáng)能的典型例子太陽(yáng)能灶接受面是拋物線一部分繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面它的原理是太陽(yáng)光線(平行光束)射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽(yáng)能灶把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)師：拋物線有幾個(gè)焦點(diǎn)？【提示】一個(gè)師：拋物線的頂點(diǎn)與橢圓有什么不同？【提示】橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)師：拋物線有對(duì)稱中

3、心嗎？【提示】沒有師：拋物線有對(duì)稱軸嗎？若有對(duì)稱軸，有幾條？【提示】有；1條一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1、 復(fù)習(xí)拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的內(nèi)容2、 提問雙曲線有哪些幾何性質(zhì)，獲取的途徑有哪些？（從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)及離心率等研究拋物線的幾何性質(zhì)） 二、知識(shí)講解類型y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)焦點(diǎn)F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)性質(zhì)準(zhǔn)線xxyy范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下考點(diǎn)1 拋物線性質(zhì)考點(diǎn)2 直線與拋物線1、通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線的軸

4、的弦AB，叫做拋物線的通徑，其長(zhǎng)為叫做拋物線的2、拋物線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；y2=2px(p0上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；3、拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=; 三、例題精析【例題1】【題干】已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】y2±4x.【解析】由題意，設(shè)拋物線方程為y2ax

5、(a0)焦點(diǎn)F(，0)，直線l：x，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，AB|a|，OAB的面積為4，·|·|a|4，a±4，拋物線的方程為y2±4x.【例題2】【題干】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸重合于橢圓1短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程【答案】y220x或y220x.【解析】橢圓1的焦點(diǎn)在y軸上，橢圓1短軸所在的直線為x軸拋物線的對(duì)稱軸為x軸設(shè)拋物線的方程為y2mx(m0)|5，m±20.所求拋物線的方程為y220x或y220x. 【例題3】【題干】已知拋物線方程為y22px(p>0)，過此拋物線

6、的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且ABp，求AB所在直線的方程【答案】y2(x)或y2(x)【解析】法一焦點(diǎn)F(，0)，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，若ABOx，則AB2p<p.所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為yk(x)，k0.由，消去x，整理得ky22pykp20.由韋達(dá)定理得，y1y2，y1y2p2.AB ·2p(1)p，解得k±2.AB所在直線方程為y2(x)或y2(x)法二如圖所示，拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x，A(x1，y1)、B(x2，y2)，設(shè)A、B到準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB，由拋物線的定義知，AFdAx1，

7、BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.當(dāng)x1x2時(shí)，AB2p<p，所以直線AB與Ox不垂直設(shè)直線AB的方程為yk(x)由，得k2x2p(k22)xk2p20，x1x2p，解得k±2，所以直線AB的方程為y2(x)或y2(x)【例題4】【題干】斜率為的直線經(jīng)過拋物線x28y的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng) 【答案】10 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則對(duì)于拋物線x28y，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)ABp(y1y2)4(y1y2)因?yàn)閽佄锞€x28y的焦點(diǎn)為(0,2)，且直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為yx2，代入拋物線方程x28y，得y26y40，從

8、而y1y26，所以AB10.即線段AB的長(zhǎng)為10.【例題5】 【題干】已知P是拋物線y24x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A(a,0)，試求當(dāng)PA最小時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】P點(diǎn)的坐標(biāo)為：a2時(shí)，P(0,0)；a2時(shí)，P(a2，±2)【解析】設(shè)P(x，y)，則PA.x0，aR，需分類討論如下：(1)當(dāng)a20即a2時(shí)，PA的最小值為|a|，此時(shí)P(0，0)(2)當(dāng)a20即a2時(shí)，則xa2，PA取得最小值為2，此時(shí)P(a2，±2)綜上所述，PA最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：a2時(shí)，P(0,0)；a2時(shí)，P(a2，±2)【例題6】 【題干】求拋物線yx2上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離【答案】.【解

9、析】法一設(shè)拋物線yx2上一點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：xy20的距離為d，則d|(x0)2|.當(dāng)x0時(shí)，dmin.法二消去y得x2xm0令14m0得m，切線方程為xy0，最短距離為d.【例題7】 【題干】求過定點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y22x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程【答案】x0或y1或yx1.【解析】若直線的斜率不存在，則過點(diǎn)P(0,1)的直線方程為x0.由得直線x0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)若直線的斜率存在，則由題意設(shè)直線的方程為ykx1.由消去y得k2x22(k1)x10.當(dāng)k0時(shí)，有即直線y1與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k0時(shí)，有4(k1)24k20，k，即方程為yx1的直線與拋物線只有一個(gè)公共

10、點(diǎn)綜上所述，所求直線的方程為x0或y1或yx1. 四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x2，則拋物線的方程是_【答案】y28x【解析】2，p4，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x.2經(jīng)過拋物線y22px(p>0)的所有焦點(diǎn)弦中，弦長(zhǎng)的最小值為_【答案】2p【解析】通徑長(zhǎng)為2p.3過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1x28，則PQ的值為_【答案】10【解析】PQx1x2210.4拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x21的漸近線的距離是_【答案】【解析】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，雙曲線的漸近線方程為xy0或xy0，則焦點(diǎn)到漸

11、近線的距離d1或d2.【鞏固】1已知等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A，B在拋物線y26x上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOB的邊長(zhǎng)為_【答案】12【解析】設(shè)AOB邊長(zhǎng)為a，則A(a，)，6×a.a12.2過拋物線yax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別為m、n，則_.【答案】4a【解析】由焦點(diǎn)弦性質(zhì)知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y(a>0)，2p，p，4a，即4a.3已知弦AB過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是_【答案】相切【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)為M(x0，y0)，如圖，則AB

12、AFBFx1x2p.設(shè)A，B，M到準(zhǔn)線l：x距離分別為d1，d2，d，則有d1x1，d2x2，d，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切4如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬_米【答案】2【解析】設(shè)水面與拱橋的一個(gè)交點(diǎn)為A，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為(2，2)設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)，則222p×(2)，得p1.設(shè)水位下降1米后水面與拱橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，3)，則x6，解得x0±，所以水面寬為2米【拔高】1設(shè)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，M為拋物線上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線l：3x4y14

13、0的距離的最小值為1，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】x216y.【解析】設(shè)與l平行的切線方程為3x4ym0，由得2x23pxpm0.0即mp.又d1，p8或p(舍)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y.2過點(diǎn)(0,4)，斜率為1的直線與拋物線y22px(p0)交于兩點(diǎn)A，B，如果OAOB(O為原點(diǎn))求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)【答案】(1,0)【解析】直線方程為yx4.由消去y得x22(p4)x160.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22(p4)，x1x216，4(p4)2640.所以y1y2(x14)(x24)8p.由已知OAOB得x1x2y1y20，從而168p0，解得p2.所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A、B兩點(diǎn)(1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求·的值；(2)如果·4，證明：直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)【答案】（1）-3；（2）(2,0)【解析】(1)設(shè)l：myx1與y24x聯(lián)立，得y24my40，y1y24m，y1y24，·x1x2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)13.(2)證明：設(shè)l：myxn與y24x聯(lián)立，得y24my4n0，y1y24m，y1y24n.由