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1、課程考試試題學(xué)期學(xué)年 2010/2011 2 高等數(shù)學(xué)A2( A卷) 擬題人:校對(duì)人:擬題學(xué)院(系): 適 用 專(zhuān) 業(yè): 數(shù)理學(xué)院 趙立寬 機(jī)電,信息,應(yīng)物等專(zhuān)業(yè) 江莉 (答案寫(xiě)在答題紙上,寫(xiě)在試題紙上無(wú)效)一、填空題(每小題3分,共15分)1設(shè),則 。2一階線(xiàn)性微分方程的通解為 。3設(shè)L是橢圓周,則曲線(xiàn)積分 。4函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)是 。5已知向量,則 。二、選擇題(每小題3分,共15分)1函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處( )。偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在 可微 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 2二重積分交換積分次序可化是( )。 3曲面在點(diǎn)(1,1,2)處的切平面方程是( )。 4若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)( )。絕對(duì)收
2、斂 發(fā)散 收斂 斂散性不能確定5以為周期的函數(shù)在上的表達(dá)式為,其傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為則( )。 1 2 0 3. 三、(共21分)1、(7分)設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求。 2、(7分)計(jì)算二重積分,其中區(qū)域是由,及所圍區(qū)域。3、(7分)利用高斯公式計(jì)算曲面積分,其中為曲面(),取下側(cè)。 四、(共21分)1、(7分)利用格林公式計(jì)算曲線(xiàn)積分,其中L是從(1,0)沿曲線(xiàn)到點(diǎn)B (-1,0)的圓弧。 2、(7分)求微分方程的通解。 3、(7分)已知函數(shù),(1)求該函數(shù)在點(diǎn)A(1,-1,2)處的梯度;(2)求該函數(shù)在點(diǎn)A(1,-1,2)處沿著從點(diǎn)A(1,-1,2)到點(diǎn)B(2,0,3)的方向的方向?qū)?/p>
3、數(shù);(3)該函數(shù)在點(diǎn)A(1,-1,2)處沿著哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大?求出這個(gè)最大值。五、(共16分)1、(8分)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)。2、(8分)曲面的方程為,在坐標(biāo)面上的投影為,求曲面的面積。六、(共12分)1、(6分)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列為單調(diào)數(shù)列,且級(jí)數(shù)發(fā)散,證明級(jí)數(shù)收斂。 2、(6分)設(shè)函數(shù)是由方程確定的函數(shù),其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,求證:。 2010-2011 學(xué)年 2 學(xué)期 高等數(shù)學(xué)A2(A) 卷 試題標(biāo)準(zhǔn)答案擬 題 人: 趙立寬 書(shū)寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)答案人: 趙立寬 擬題學(xué)院(系): 數(shù)理學(xué)院 適用專(zhuān)業(yè):機(jī)電、信息、應(yīng)物等相關(guān)專(zhuān)業(yè) (答案要注明各個(gè)要點(diǎn)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))一、 填空題:(每小
4、題3分,共15分)1. ;2.;3. ;4. ;5. 二、選擇題:(每小題3分,共15分) 1) B. 2) D. 3) A. 4) C. 5) C. 三、(共21分)1、解: -3分 - 7分2 、解:曲線(xiàn)與的交點(diǎn)為(1,1) -1分所以 , -4分 -7分3、解 ,取,取上側(cè),記與所圍成區(qū)域?yàn)?則由Gauss公式知得 -2分 -3分原式 -5分 -7分四、(共21分)1、解 取,方向從B(-1,0)點(diǎn)到A(1,0) -2分記與所圍成區(qū)域?yàn)?則由Green公式知: - -5分 -7分2、解(1)求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解:特征方程為,則其特征根為 -2分齊次方程的通解為(與為任意常數(shù)) -3分(
5、2)求原方程的特解:由于不是特征根,則令,代入原方程得即,從而有,即 -6分原方程的通解為:(與為任意常數(shù)) -7分3、解 (1) -2分(2)令,則其方向余弦為,從而有 -5分(3)由方向?qū)?shù)和梯度的關(guān)系可知:當(dāng)沿梯度方向時(shí),方向?qū)?shù)最大且最大值為梯度的模 -7分五、(共16分)1、解:,即冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1 -2分而級(jí)數(shù),都發(fā)散,所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?4分設(shè)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)為,則 -6分= -8分2、解:的方程為,:或于是該曲面的面積為: -4分 -8分六、(共12分)1、證明:(1)若正項(xiàng)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,則數(shù)列必有界,因?yàn)閱握{(diào)有界數(shù)列存在極限,設(shè),又因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散,所以,從而于是,由根值審斂法知收斂; -3分(2) 若正項(xiàng)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 ,則 , 所以為收斂的等比級(jí)數(shù),再有比較審斂法知收斂 -6分另一證法:若正項(xiàng)數(shù)列是單調(diào)有界數(shù)列,則存在,設(shè),因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散,所以,從而于是,由根值審斂法知收斂; -3分
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