高等代數(shù)北大版二次型

1、第五章 二次型§1 二次型的矩陣表示一 授課內(nèi)容：§1 二次型的矩陣表示二 教學(xué)目的：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握二次型的定義，矩陣表示，線性替換和矩陣的合同.三 教學(xué)重點(diǎn)：矩陣表示二次型四 教學(xué)難點(diǎn)：二次型在非退化下的線性替換下的變化情況.五 教學(xué)過(guò)程：定義：設(shè)是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項(xiàng)式 (3)稱(chēng)為數(shù)域上的一個(gè)元二次型，或者，簡(jiǎn)稱(chēng)為二次型.例如： 就是有理數(shù)域上的一個(gè)3元二次型.定義1 設(shè)，是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域中的一組關(guān)系式 (4)稱(chēng)為到的一個(gè)線性替換，或則，簡(jiǎn)稱(chēng)為線性替換.如果系數(shù)行列式 ，那么線性替換(4)就稱(chēng)為非退化的.二次型的矩陣表示：令 ， 由于 ,

2、那么二次型(3)就可以寫(xiě)為+ (5)把(5)的系數(shù)排成一個(gè)矩陣它稱(chēng)為二次型(5)的矩陣.因?yàn)椋?我們把這樣的矩陣稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣，因此，二次型(5)的矩陣都是對(duì)稱(chēng)的.令,于是，二次型可以用矩陣的乘積表示出來(lái)，.故 .顯然，二次型和它的矩陣是相互唯一決定的.由此還能得到，若二次型且 ，則，線性替換的矩陣表示令,那么，線性替換(4)可以寫(xiě)成，或者.顯然，一個(gè)非退化的線性替換把二次型還是變成二次型，現(xiàn)在就來(lái)看一下替換后的二次型與原二次型之間有什么關(guān)系.設(shè) ， (7)是一個(gè)二次型，作非退化的線性替換 (8)得到一個(gè)的二次型.現(xiàn)在來(lái)看矩陣與矩陣的關(guān)系把(8)代入(7)有.容易看出，矩陣也是對(duì)稱(chēng)的，事實(shí)上

3、，.由此，即得.定義2 數(shù)域上矩陣稱(chēng)為合同的，如果有數(shù)域上可逆的矩陣，使.合同是矩陣之間的一個(gè)關(guān)系，不難看出，合同關(guān)系具有(1)反身性 .(2)對(duì)稱(chēng)性 由 ，即得.(3)傳遞性 由，即得.因之，經(jīng)過(guò)非退化的線性替換，替換后的二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的.§2 標(biāo)準(zhǔn)形一 授課內(nèi)容：§2 標(biāo)準(zhǔn)形二 教學(xué)目的：通過(guò)定理的證明掌握二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法.三 教學(xué)重點(diǎn)：化普通的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.四 教學(xué)難點(diǎn)：化普通的二次形為標(biāo)準(zhǔn)形的相應(yīng)矩陣表示.五 教學(xué)過(guò)程：I 導(dǎo)入可以認(rèn)為，在二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只含有平方項(xiàng)的二次型 (1)II 講授新課定理1 二次型都可以經(jīng)過(guò)非退化的線性

4、替換變?yōu)槠椒胶?1)的形式.不難看出，二次型(1)的.=.反過(guò)來(lái)，矩陣是對(duì)角形的二次型就只含有平方項(xiàng).定理2 在數(shù)域上，任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣都合同于一對(duì)角矩陣.定義 二次型經(jīng)過(guò)非退化的線性替換所變成的平方和稱(chēng)為的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.例 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解：作非退化的線性替換則再令 或則.最后令 或則 是平方和，而這幾次線性替換的結(jié)果相當(dāng)于作一個(gè)總的線性替換，.用矩陣的方法來(lái)解例 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解：的矩陣為.取,則.再取，則.再取，則是對(duì)角矩陣，因此令，就有.作非退化的線性替換即得.§3 唯一性一 授課內(nèi)容：§3 唯一性二 教學(xué)目的： 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握復(fù)二次型，實(shí)二次型的

5、規(guī)范形，正(負(fù))慣性指數(shù)，符號(hào)差.三 教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)二次型，實(shí)二次型的規(guī)范形的區(qū)別及唯一性的區(qū)別.四 教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)二次型的唯一性五 教學(xué)過(guò)程：在一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)個(gè)數(shù)是唯一確定的，與所作的非退化的線性替換無(wú)關(guān).二次型的矩陣的秩有時(shí)候就稱(chēng)為二次型的秩.至于標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)就不是唯一的.例 二次型經(jīng)過(guò)非退化的線性替換得到標(biāo)準(zhǔn)形.而經(jīng)過(guò)非退化的線性替換就得到另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.這就說(shuō)明，在一般的數(shù)域內(nèi)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，而與所作的非退化的線性替換有關(guān).下面只就復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域的情形來(lái)進(jìn)一步討論唯一性的問(wèn)題.對(duì)于復(fù)數(shù)域的情形設(shè)是一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，則經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換后，變

6、為標(biāo)準(zhǔn)形，不妨設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為， (1)易知，就是的矩陣的秩.因?yàn)閺?fù)數(shù)總可以開(kāi)平方，我們?cè)僮饕环峭嘶木€性替換 (2)(1)就變?yōu)?(3)(3)稱(chēng)為復(fù)二次型的規(guī)范形.顯然，規(guī)范形完全被原二次型的矩陣的秩所決定.定理3 任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換可以變?yōu)橐?guī)范形，規(guī)范形是唯一的.定理3換個(gè)說(shuō)法就是，任意一個(gè)復(fù)的對(duì)稱(chēng)矩陣合同于一個(gè)形式為的對(duì)角矩陣.從而有，兩個(gè)復(fù)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等.對(duì)于實(shí)數(shù)域的情形設(shè)是一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型，則經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換，再適當(dāng)排列文字的次序，可使變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形， (4) ，就是的矩陣的秩.因?yàn)樵趯?shí)數(shù)域中，正實(shí)數(shù)總可以開(kāi)平方，所

7、以，再作一非退化的線性替換 (5)(4)就變?yōu)?(6)(6)稱(chēng)為實(shí)二次型的規(guī)范形.顯然，規(guī)范形完全被這兩個(gè)數(shù)所決定.定理4(慣性定理) 任意一個(gè)實(shí)數(shù)域上的二次型，經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換可以變?yōu)橐?guī)范形，規(guī)范形是唯一的.定義3 在實(shí)二次型的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的負(fù)慣性指數(shù)，它們的差稱(chēng)為的符號(hào)差.慣性定理也可以敘述為，實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)個(gè)數(shù)是唯一的，它等于正慣性指數(shù)，而系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)個(gè)數(shù)也是唯一的，它等于負(fù)慣性指數(shù).§4 正定二次型一 授課內(nèi)容：§4 正定二次型二 教學(xué)目的：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握正定(負(fù)定，半

8、正定，半負(fù)定，不定)二次型或矩陣.(順序)主子式的定義，掌握各種類(lèi)型的判別法.三 教學(xué)重點(diǎn)：正定二次型.四 教學(xué)難點(diǎn)：判別方法五 教學(xué)過(guò)程：定義4 實(shí)二次型稱(chēng)為正定的，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有.顯然，二次型是正定的，因?yàn)橹挥性跁r(shí)，才為零.一般的，實(shí)二次型是正定的，當(dāng)且僅當(dāng) .可以證明，非退化的實(shí)線性替換保持正定性不變.定理5 元實(shí)二次型是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于.定理5說(shuō)明，正定二次型的規(guī)范形為 (5)定義5 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣稱(chēng)為正定的，如果二次型正定.因?yàn)槎涡?5)的矩陣是單位矩陣，所以一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同.推論 正定矩陣的行列式大于零.定義6 子式 稱(chēng)為矩陣的順序主子式.定理6 實(shí)二次型是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.例 判斷二次型是否正定.解：的矩陣為它的順序主子式， ， 因之，正定.與正定性平行，還有下面的概念.定義7 設(shè)是一實(shí)二次型，對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，如果都有，那么稱(chēng)為負(fù)定的；如果都有，那么稱(chēng)為半正定的；如果都有，那么稱(chēng)為半負(fù)定的；如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么就稱(chēng)為不定的.對(duì)于半正定，我們有定