高中數(shù)學(xué)筆記4數(shù)列

1、高中數(shù)學(xué)筆記 -4-數(shù)列基本概念：1.等差數(shù)列an中: (1)an=a+(n1)d=am+(nm)d; p+q=m+n Þ ap+aq=am+an. (2)a1+a2+am, ak+ak+1+ak+m1,仍成等差數(shù)列. (3)ap=q,aq=p (pq) Þ ap+q=0; Sp=q,Sq=p (pq) Þ Sp+q=(p+q); Sm+n=Sm+Sn+mnd S2n-1=an(2n-1) （常用于數(shù)列的比較中和代換中）; Snn為等差數(shù)列，公差為d23.等比數(shù)列an中;(1) m+n=r+s, am·an=ar·as(2) a1+a2+am,

2、 ak+ak+1+ak+m1,仍成等比數(shù)列(4) 注意:anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系(1)如果數(shù)列an成等差數(shù)列, 那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列.(2)如果數(shù)列an成等比數(shù)列, 那么數(shù)列(a>0,a1)必成等差數(shù)列.(3)如果數(shù)列 an既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列,那么數(shù)列 an是非零常數(shù)數(shù)列; 數(shù)列an是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.(4)如果兩等差數(shù)列有其公共項(xiàng),那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的

3、最小公倍數(shù).5.數(shù)列求和的常用方法.(1)公式法: 等差數(shù)列求和公式, 等比數(shù)列求和公式 常用公式:, 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1), 13+23+33+-+n3=14 n（n+1）2(2)分組求和法: 在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將"和式"中"同類項(xiàng)"先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和.(3)倒序相加法: 在數(shù)列求和中,若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性,則?？紤]選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和.(4)錯(cuò)位相減法: 如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法,將其和轉(zhuǎn)化為"

4、一個(gè)新的等比數(shù)列的和"求解".(5)裂項(xiàng)相消法: 如果數(shù)列的通項(xiàng)可"分裂成兩項(xiàng)差"的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和,常用裂項(xiàng)形式有: ; 1n2<2（12n-1-12n+1）；1n2<3（13n-2-13n+1）（注意:運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí),務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系,必要時(shí)應(yīng)分類討論.裂項(xiàng)相消法更多的用于數(shù)列中不等式的證明）6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法:（11種類型）類型1 ；（累加法） 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即 所以，備注

5、：此題目還有一種更為簡(jiǎn)便的方法。；an+1+1n+1=an+1n=.a1+1=1.5；然后即可求得通項(xiàng)類型2 （ 累乘法） 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，；同樣該題也有更為簡(jiǎn)便的方法；（n+1)an+1=nan=a1例3:已知， ，求。解： 。變式:（2004，全國(guó)I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng) 解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，即，又，將以上n個(gè)式子相乘，得小結(jié)：很多題目他不會(huì)告訴你是哪種類型，往往要通過(guò)一步或兩步的變形。而這題所用的兩式相減是非常常

6、見的也是非常有效的。常用于關(guān)系式不只是an和an+1的關(guān)系。類型3 an+1=pan+f（n）；（構(gòu)造法）通常構(gòu)造為an+1+bn+1=p（an+bn）；： （其中p，q均為常數(shù)，）。形如（為不等于0的常數(shù)）的數(shù)列，可令即與比較得（最好記住這個(gè)系數(shù)，以加快速度），從而構(gòu)造一個(gè)以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列例4:已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式. （直接心算出系數(shù)）,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_（答案:），I，an+1=Pan+an+b；IIan+1=pan+an2+bn+c；I構(gòu)造an+1+x（n+1）+y

7、=P（an+xn+y）；則新數(shù)列bn= an+xn+y，為等比數(shù)列，其中x=ap-1，y由具體數(shù)值求II構(gòu)造an+1+x（n+1）2+y(n+1)+z=p（an+xn2+yn+z）；然后同上：（其中p，q均為常數(shù)，pq不相等）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：構(gòu)造an+1+xqn+1=p（an+xqn）；an+1=pan+rpn；解法；兩邊同時(shí)除以pn+1，轉(zhuǎn)化為類型1例5:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以例6(2005重慶卷)數(shù)列滿足且記(1) 求的值(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)列的前項(xiàng)和解析:(1)由于得代入遞推關(guān)系整理得即 由有所以由 是以為首項(xiàng)以為公比

8、的等比數(shù)列故即由得故 = = =例7（第十三屆希望杯）設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，對(duì)任意（）將過(guò)點(diǎn)（0，3）和點(diǎn)的直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)記為，則坐標(biāo)依次為_解析：過(guò)點(diǎn)（0，3）和點(diǎn)直線方程為，將它與聯(lián)立，得，取倒數(shù)即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列又由與聯(lián)立，得因而，故于是得類型4，遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。例7：數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，再利用待定系數(shù)法求解。例8：已知數(shù)列中，求數(shù)列解：由兩邊取對(duì)數(shù)得，令

9、，則，再利用待定系數(shù)法解得：。類型5， （兩邊取對(duì)數(shù)）解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為類型3.這里就不在出例題了。類型6遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。（特征方程）形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為 若有二異根，則可令是待定常數(shù)） 若有二重根，則可令是待定常數(shù)） 再利用可求得，進(jìn)而求得例6: 數(shù)列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故練習(xí):已知數(shù)列中，,，求。變式:（2006，福建,文,22）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（I）解： 類型7 （兩邊取倒數(shù)）解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例9：已知

10、數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，變式:（2006，江西,理,22）已知數(shù)列an滿足：a1，且an 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：（1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從而1，據(jù)此得an（n³1）類型8、形如的數(shù)列；（不動(dòng)點(diǎn)特征方程） 對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且） 其特征方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。 這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得 若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。 這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，化簡(jiǎn)得，解得，令 由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，即，解得，令 由得，求得，數(shù)列