近世代數(shù)期末試題

1、 近 世 代 數(shù) 試 卷一、判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“”；每小題1分，共10分）1、設(shè)與都是非空集合，那么。 （ ）2、設(shè)、都是非空集合，則到的每個映射都叫作二元運算。（ ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ ）4、如果循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。 （ ）5、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。 （ ）6、群的子群是不變子群的充要條件為。 （ ）7、如果環(huán)的階，那么的單位元。 （ ）8、若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒有右零因子。 （ ）9、中滿足條件的多項式叫做元在域上的極小多項式。 （ ）10、若域的特征是無限大，那么含有一個

2、與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，是由素數(shù)生成的主理想。 （ ）二、單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼寫在題干后面的括號內(nèi)。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共10分）1、設(shè)和都是非空集合，而是到的一個映射，那么（ ）集合中兩兩都不相同；的次序不能調(diào)換；中不同的元對應(yīng)的象必不相同；一個元的象可以不唯一。2、指出下列那些運算是二元運算（ ）在整數(shù)集上，； 在有理數(shù)集上，；在正實數(shù)集上，；在集合上，。3、設(shè)是整數(shù)集上的二元運算，其中（即取與中的最大者），那么在中（ ）不適合交換律；不適合結(jié)合律；存在單位元；每個元都有逆元。4、設(shè)為群，其中是實數(shù)集，而乘法，這里為中

3、固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（ ）0和； 1和0； 和； 和。5、設(shè)和都是群中的元素且，那么（ ）； ； ； 。6、設(shè)是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（ ）6； 24； 10； 12。7、設(shè)是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（ ）的同態(tài)核是的不變子群； 的不變子群的逆象是的不變子群；的子群的象是的子群； 的不變子群的象是的不變子群。8、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，那么下列錯誤的結(jié)論為（ ）若是零元，則是零元； 若是單位元，則是單位元；若不是零因子，則不是零因子；若是不交換的，則不交換。9、下列正確的命題是（ ）歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)； 主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；唯一分解環(huán)必是主理

4、想環(huán)； 唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。10、若是域的有限擴(kuò)域，是的有限擴(kuò)域，那么（ ）； ； 。三、填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯或未填者，該空無分。每空1分，共10分）1、設(shè)集合；，則有 。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則 。3、設(shè)集合有一個分類，其中與是的兩個類，如果，那么 。4、設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為 。5、凱萊定理說：任一個子群都同一個 同構(gòu)。6、給出一個5-循環(huán)置換，那么 。7、若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達(dá)為 。8、若是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想，那么是一個域當(dāng)且僅當(dāng)是 。9、整環(huán)的一個元叫做一個素元，如果

5、 。10、若域的一個擴(kuò)域叫做的一個代數(shù)擴(kuò)域，如果 。四、改錯題（請在下列命題中你認(rèn)為錯誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預(yù)備的橫線上面。指出錯誤1分，更正錯誤2分。每小題3分，共15分）1、如果一個集合的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。 2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。 3、設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。 4、唯一分解環(huán)的兩個元和不一定會有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。 5、叫做域的一個代數(shù)元，如果存在的都不等于零的元使得。 五、計算題（共15分，每小題分標(biāo)在小題后）1

6、、給出下列四個四元置換組成的群，試寫出的乘法表，并且求出的單位元及和的所有子群。2、設(shè)是模6的剩余類環(huán)，且。如果、，計算、和以及它們的次數(shù)。六、證明題（每小題10分，共40分）1、設(shè)和是一個群的兩個元且，又設(shè)的階，的階，并且，證明：的階。2、設(shè)為實數(shù)集，令，將的所有這樣的變換構(gòu)成一個集合，試證明：對于變換普通的乘法，作成一個群。3、設(shè)和為環(huán)的兩個理想，試證和都是的理想。4、設(shè)是有限可交換的環(huán)且含有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代數(shù)試卷參考解答一、判斷題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、單項選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空題1、。 2、。 3、。 4、。 5、變換群。 6、。 7、。 8、一個最大理想。9、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、E的每一個元都是F上的一個代數(shù)元。四、改錯題1、如果一個集合的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。結(jié)合律與交換律 2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。消去律成立 3、設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。