選修22推理與證明知識(shí)方法總結(jié)

1、推理與證明推理證明合情推理演繹推理歸納類比綜合法分析法反證法直接證明間接證明數(shù)學(xué)歸納法第二章 推理與證明知識(shí)復(fù)習(xí)一、合情推理與演繹推理1 合情推理（合情推理對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的作用，為復(fù)數(shù)鋪墊）合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：（1） 歸納推理：部分到整體，特殊到一般（2） 類比推理：特殊到特殊 關(guān)于類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比：（亮點(diǎn)） (一)空間問(wèn)題與平面問(wèn)題多面體 多邊形； 面 邊； 體積 面積 ； 二面角 平面角； 面 積線段長(zhǎng)； （二）四則運(yùn)算 加法 乘法； 減法 除法； 乘法 乘方；除法 開方； 平面幾何與立體幾何：平面幾何立體幾何角及角平分線二面角及角平分面線段的垂

2、直平分線線段的垂直平分面三角形的三條邊四面體的四個(gè)面平行四邊形對(duì)角線相交一點(diǎn)，并且被平分平行六面體的對(duì)角線相交于一點(diǎn)，并且被平分 圓與球的性質(zhì)的類比：圓球圓心與弦（非直徑）中心的連線垂直于弦球心與截面圓（不經(jīng)過(guò)球心）圓心連線垂直于截面與圓心距離相等的兩條弦長(zhǎng)相等與球心距相等的兩個(gè)截面圓的面積相等圓的周長(zhǎng)Cpd（d為直徑）球的表面積Spd2（d為球直徑）圓的面積Spr2（r為半徑）球的體積Vpr3（r為球半徑）（這一點(diǎn)不是很好的類比） 直角三角形與直角四面體的類比：直角三角形直角四面體（在四面體中，若有一頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱兩兩互相垂直，則改四面體成為直角四面體）如圖，RtCAB中，C90，OABc

3、abhH如圖，在四面體OABC中，OAOB，OBOC，OCOA，O為直角頂點(diǎn)：OABCHabcAB2OA2OB2（c2a2b2）S2ABCS2OABS2OBCS2OCAcos2Acos2B1cos2acos2bcos2g1（a、b、g是側(cè)面與底面所成的角）外接圓半徑R外接球半徑R內(nèi)切圓半徑r內(nèi)切球半徑r等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比： 等差數(shù)列an（公差為d）等比數(shù)列bn（公比為q）通項(xiàng)：ana1(n1)d通項(xiàng)：bnb1qn1aman(mn)dqmn若a10，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有(s1)at(t1)as若b10，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有bts1bst1若mnpr，其中m、n、p、rN

4、*，則amanapar若mnpr，其中m、n、p、rN*，則bmbnbpbr若mn2p，其中m、n、pN*，aman2ap若mn2p，其中m、n、pN*，bmbnbp2Sn，S2nSn，S3nS2n構(gòu)成等差數(shù)列Sn，S2nSn，S3nS2n構(gòu)成等比數(shù)列前n項(xiàng)和：Sna1a2an前n項(xiàng)積：Tnb1b2bn若ak0，2kn1，k，nN*則有a1a2ana1a2a2kn1若bk1，2kn1，k，nN*則有b1b2bnb1b2b2kn1若cn，則數(shù)列cn也是等差數(shù)列若dn，則數(shù)列dn也是等比數(shù)列若cn，則數(shù)列cn也是等差數(shù)列.若dn(b1)，則數(shù)列dn也是等比數(shù)列.2.演繹推理 一般到特殊根據(jù)一般性的

5、真命題（或邏輯規(guī)則），推出某個(gè)特殊性命題為真的推理稱為演繹推理是演繹推理的主要模式，構(gòu)成包括三部分大前提-已知的一般性原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷合情推理與演繹推理的區(qū)別: 1 特點(diǎn) 歸納是由特殊到一般的推理; 類比是由特殊到特殊的推理; 演繹推理是由一般到特殊的 推理. 2 從推理的結(jié)論來(lái)看： 合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明; 演繹推理得到的結(jié)論一定正確.【例1】 有個(gè)小偷在警察面前作了如下辯解：是我的錄象機(jī)，我就一定能把它打開看，我把它打開了所以它是我的錄象機(jī)請(qǐng)問(wèn)這一推理錯(cuò)在哪里？（ ）A大前提 B小前提 C結(jié)論 D以上都不是二、直接證明與間接

6、證明1 綜合法 順推，由因?qū)ЧC合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法2 分析法 逆推，執(zhí)果索因分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法3 反證法 （1）否定性命題即結(jié)論以“沒(méi)有”“不是”“不能”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。（2）限定式命題即結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語(yǔ)的命題。常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反議詞

7、”如下表：原結(jié)論詞反議詞原結(jié)論詞反議詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有的x都成立存在某個(gè)x不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x成立至少有n個(gè)至多有n1個(gè)p或q p且 q至多有n個(gè)至少有n1個(gè)p且q p或 q 間接證明：即反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。反證法步驟（1） 反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立；（2） 歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，以通過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾與已知條件已知的公理定理定義反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；（3） 結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面

8、不成立，從而肯定了結(jié)論成立。定義:設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合,如果(1)證明起始命題(或)成立;(2)在假設(shè)成立的前提下，推出也成立，對(duì)一切正整數(shù)都成立.數(shù)學(xué)歸納法法4 數(shù)學(xué)歸納法步驟: 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立； 假設(shè)n=k（kn0， kN*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 步驟： 遞推基礎(chǔ)不可少，（基礎(chǔ)） 歸納假設(shè)要用到，（依據(jù)） 結(jié)論寫明莫忘掉。（結(jié)論）一、問(wèn)題探究1、數(shù)學(xué)歸納法的歸納奠基中n0一定等于1嗎？2、為什么可以先假設(shè)n=k (kn0,kN*) 時(shí)命題成立?“假設(shè)”怎么可以作為條件來(lái)使

9、用呢？二、思維誤區(qū)1、證明n=k+1時(shí)命題成立時(shí)，必須用上n=k時(shí)的假設(shè)，否則第二步也就不能成為傳遞的依據(jù)，這樣就需要從n=k+1的式子中分離出n=k時(shí)的式子，或?qū)=k+1的情況用n=k的情況表示。2、有關(guān)“和式”與“積式”，一定要“數(shù)清”是多少項(xiàng)的和或積，以正確確定n=1時(shí)及n=k變化到n=k+1“和”或“積”的情況。題型一、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式例1、例1數(shù)學(xué)歸納法證明132333n3= n2（n1）2證明： 當(dāng)n=1時(shí)，左邊=13=1，右邊=，故等式成立 假設(shè)n=k（，且k1）時(shí)等式成立。即132333k 3=k2(k+1)2成立則當(dāng)n=k1時(shí)，132333k 3(k+1)3= =即當(dāng)

10、n=k1 時(shí)等式也成立綜合，對(duì)一切，等式都成立 題型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過(guò)放大或縮小技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式例題解析（不等式證明）-放縮法例2 歸納法證明（n1，且）證明： n=2時(shí)，左邊=右邊，不等式成立. 假設(shè)n=k（， k2）時(shí)不等式成立，即成立4分則當(dāng) n=k1時(shí)，=（）（）（）（）=即當(dāng)n=k1時(shí)不等式也成立綜合，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立題型三、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題（整除問(wèn)題）例3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明32n28 n9能被64整除證明： 當(dāng)n=1時(shí)，322819=64 顯然能被64整除，命題成立

11、 假設(shè)n=k（ k1，）時(shí)命題成立即32k28k9能被64整除則當(dāng)n=k1時(shí)，32（k1）28（k1）9=932k28 k89=9（32k28 k9）64 k64 32k28 k9與64均能被64整除， 32（k1）28（ k1）9能被64整除 即當(dāng)n=k1時(shí)命題也成立綜合，對(duì)一切，32n28n9能被64整除題型四、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題例4：平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點(diǎn)，求證它們：（1）共有個(gè)交點(diǎn)（2）互相分割成條線段（3）把平面分割成個(gè)部分。分析：從圖形的性質(zhì)出發(fā)，進(jìn)行分析。證明：（i）當(dāng)時(shí)與圖形性質(zhì)相同，命題成立。（ii）假設(shè)時(shí)，命題成立，則當(dāng)時(shí)，考查及增加一條直線l，這一條直線與原來(lái)的