二次函數(shù)與相似三角形問題含答案參考

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 綜合題講解 函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 1、如圖，已知拋物線與交于A(1，0)、E(3，0)兩點，與軸交于點B(0，3)。（1） 求拋物線的解析式；（2） 設拋物線頂點為D，求四邊形AEDB的面積；（3） AOB與DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。 2、已知拋物線經(jīng)過及原點（1）求拋物線的解析式（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由

2、（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關系？為什么？ 3 、如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積CBAPy（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由 4、在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和（1）求此二次函數(shù)的表達式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點（不與點重

3、合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由；yCxBA（3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大小（不必證明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍 5、如圖，已知拋物線yx2bxc與坐標軸交于A、B、C三點， A點的坐標為（1，0），過點C的直線yx3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PHOB于點H若PB5t，且0t1（1）填空：點C的坐標是_ _，b_ _，c_ _；（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的

4、三角形與COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由 6、如圖，拋物線經(jīng)過三點（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動點，過P作軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得的面積最大，求出點D的坐標 7、已知，如圖1，過點作平行于軸的直線，拋物線上的兩點的橫坐標分別為1和4，直線交軸于點，過點分別作直線的垂線，垂足分別為點、，連接（1）求點的坐標；（2）求證：；（3）點是拋物線對稱軸右側(cè)圖象上的一動點，過點作交軸于點，是否存在點使得與相似？若存在，請求出

5、所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由 8、當x2時，拋物線yax2bxc取得最小值1，并且拋物線與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B （1）求該拋物線的關系式；（2）若點M（x，y1），N（x1，y2）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大小；ABCDOxyEF3（3）D是線段AC的中點，E為線段AC上一動點（A、C兩端點除外），過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F問：是否存在DEF與AOC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由9、如圖，一次函數(shù)y=2x的圖象與二次函數(shù)y=x2+3x圖象的對稱軸交于點B.（1）寫出點B的坐標 ；（2）已知點P是二次函數(shù)y=x2+3

6、x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點，將直線y=2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點. 若以CD為直角邊的PCD與OCD相似，則點P的坐標為 . OBCD10、如圖，拋物線與軸交于兩點A（1，0），B（1，0），與軸交于點C(1)求拋物線的解析式；(2)過點B作BDCA與拋物線交于點D，求四邊形ACBD的面積； (3)在軸下方的拋物線上是否存在一點M，過M作MN軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與BCD相似？若存在，則求出點M的坐標；若不存在，請說明理由 11、已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個公共點（1）求這個函數(shù)關系式；（2）如圖所示，設二次函數(shù)y=ax2+x+1

7、圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；AxyOB（3）在(2)中，若圓與x軸另一交點關于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=ax2+x+1上，若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由12、如圖,設拋物線C1:, C2:,C1與C2的交點為A, B,點A的坐標是,點B的橫坐標是2.（1） 求的值及點B的坐標； （2）點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG. 記過C2頂點的直線為,且與x軸交于點N. 若過DHG的頂點G,點D的坐標為(1, 2)，求點N的橫坐標； 若與D

8、HG的邊DG相交,求點N的橫坐標的取值范圍.13、如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動，設AP=，現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原。 （1）當時，折痕EF的長為 ；當點E與點A重合時，折痕EF的長為 ；（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當時菱形的邊長；（3）令，當點E在AD、點F在BC上時，寫出與的函數(shù)關系式。當取最大值時，判斷與是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請說明理由。14、如圖，已知 ，現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9:4，將OB向右側(cè)放大，B點的對應點為C(1) 求C點坐標及直線

9、BC的解析式;(2) 一拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象;(3) 現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P參考答案例題、解:由題意可設拋物線的解析式為拋物線過原點，.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點的橫坐標為6 將x6代入,得y3,D(6,3); 根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標為(2,3), 當OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即

10、為A點,此時D點的坐標為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 圖2設OP交拋物線的對稱軸于A點,顯然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該拋物線上不存在點P,使得BOP與AOB相似. 練習1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設點的坐標為，則，要使，則有，即解之得，當時，即為點，所以得要使，則有，即解之得，當

11、時，即為點，當時，所以得故存在兩個點使得與相似點的坐標為（3）在中，因為所以當點的坐標為時，所以因此，都是直角三角形又在中，因為所以即有所以，又因為，所以練習2解：（1）與相似。Oxy圖1CBED312A理由如下：由折疊知，又，。（2），設AE=3t，則AD=4t。圖2OxyCBEDPMGlNAF由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點C的坐標為（0，8），點E的坐標為（10，3），設直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點P的坐標為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準確畫出兩條直線。練習3解：（1）二次

12、函數(shù)圖象頂點的橫坐標為1，且過點和，由解得此二次函數(shù)的表達式為（2）假設存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似在中，令，則由，解得yxBEAOCD令，得設過點的直線交于點，過點作軸于點點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為或求出直線的函數(shù)表達式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達式為聯(lián)立求得點的坐標為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為存在

13、直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標分別為或（3）設過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點將點的坐標代入中，求得此直線的函數(shù)表達式為設點的坐標為，并代入，得解得（不合題意，舍去）xBEAOCP·點的坐標為此時，銳角又二次函數(shù)的對稱軸為，點關于對稱軸對稱的點的坐標為當時，銳角；當時，銳角；當時，銳角練習四圖1CPByA解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點P在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3) 假設存在PAB=BAC = PAACMG軸于點G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設M點的橫坐標為，則M 點M在軸左側(cè)時，則GM圖2CByPA() 當AMG PCA時，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 當MAG PCA時有=即 解得：（舍去） GM圖3CByPAM 點M在軸右