新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)《推理與證明》知識歸納總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明間接證明類比推理歸納推理 分析法 綜合法 反證法數(shù)學(xué)歸納法推理與證明知識歸納總結(jié)第一部分 合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解合情推理的含義（易混點(diǎn)）理解歸納推理和類比推理的含義，并能運(yùn)用它進(jìn)行簡單的推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用（難點(diǎn)）一、知識歸納：合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：歸納推理:1.歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.2.歸納推理的一般步驟:第一步，通過

2、觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）.思考探究:1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎?2.統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理?題型1 用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律1、觀察：； ；.對于任意正實(shí)數(shù)，試寫出使成立的一個條件可以是 _.點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故2、蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖. 其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù).則=_;=_. 【解題思路】找出的關(guān)系式解析

3、 總結(jié)：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系類比推理1.類比推理:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.2.類比推理的一般步驟:第一步：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；第二步：用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想.思考探究:1.類比推理的結(jié)論能作為定理應(yīng)用嗎?2.(1)圓有切線，切線與圓只交于一點(diǎn)，切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.由此結(jié)論如何類比到球體?(2)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個圓.由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論?題型2 用類比推理猜想新的命題例已知正三角

4、形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.【解題思路】從方法的類比入手解析原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應(yīng)為等體積法， 即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高總結(jié)：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等合情推理1.定義:歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.簡言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的過程:從具體問題出發(fā)觀察、分析、

5、比較、聯(lián)想 歸納、類比提出猜想 思考探究:1.歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。2）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。第二部分 演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解演繹推理的含義（重點(diǎn)）掌握演繹推理的模式，會利用三段論進(jìn)行簡單推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）合情推理與演繹推理之間的區(qū)別與聯(lián)系一、知識歸納：演繹推理的含義:1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，

6、推出某個特殊情況下的結(jié)論. 演繹推理又叫邏輯推理.2.演繹推理的特點(diǎn)是由一般到特殊的推理.思考探究:演繹推理的結(jié)論一定正確嗎?演繹推理的模式1.演繹推理的模式采用“三段論”:(1)大前提已知的一般原理(M是P);(2)小前提所研究的特殊情況(S是M);(3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P).2.從集合的角度看演繹推理:(1)大前提:xM且x具有性質(zhì)P;(2)小前提：yS且SM(3)結(jié)論：y具有性質(zhì)P.演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關(guān)系:(1)從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)從推理所得的結(jié)

7、論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.第三部分 直接證明與間接證明 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。2、了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。知識歸納：三種證明方法:綜合法、分析法、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，

8、分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個命題的一般步驟：(1) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2) 根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止 (3) 斷言假設(shè)不成立(4) 肯定原命題的結(jié)論成立用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題考點(diǎn)1 綜合法 在銳角三角形中,求證:解析為銳角三角形，在上是增函數(shù)，同理可得，考點(diǎn)2 分析法已知,求證

9、 解析要證，只需證 即，只需證，即證顯然成立，因此成立總結(jié)：注意分析法的“格式”是“要證-只需證-”，而不是“因為-所以-”考點(diǎn)3 反證法 已知，證明方程沒有負(fù)數(shù)根【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾 解析假設(shè)是的負(fù)數(shù)根，則且且，解得，這與矛盾，故方程沒有負(fù)數(shù)根總結(jié)：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多第四部分 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題3能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。知識歸納：數(shù)學(xué)歸納法的定義：一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不

10、小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:(1)證明當(dāng)n=n0時命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k（kN+，且kn0）時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.1數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系）2數(shù)學(xué)歸納法步驟：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 例1 已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)n=k（且為偶數(shù)）時命題為真，則還需證明（ ）A.n=k+1時命題成立 B. n=k+2時命題成立 C. n=2k+2時命題成立 D. n=2（k+2）時命題成立解析 因n是正偶數(shù)，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立，因k的下一個偶數(shù)是k+2，故選B總結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明時，要注意觀察幾個方面：（1）n的范圍以及遞推的起點(diǎn)（2）觀察首末兩項的次數(shù)（或其它），確定n=k時命題的形式（3）從和的差異，尋找由k到k+1遞推中，左邊要加（乘）上的式子例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式解析（1）當(dāng)n=1時，左=2，右=2，不等式成立