對不等式選講的認識與思考

1、對不等式選講的認識與思考1不等式選講構成的背景及其定位眾所周知，不等式一直在中學數學教材中占有相當的位置，也一直是高考中的必考內容，但由于“不等式的證明”所涉及到的復雜變換技巧和過于形式化的知識特點，給學生的學習帶來了一定的困難，因此，近些年來，不等式內容有逐漸淡化處理的傾向。例如，1963年制定的全日制數學教學大綱在我國數學教育史上首次提出要培養(yǎng)學生的“三大能力”（計算能力、邏輯思維能力、空間想象能力），根據該大綱編寫的高中數學教材（普遍認為是建國以來編寫得最好的一套教材）對不等式學習的要求較高；1978年制定的全日制十年制學校中學數學教學大綱，首次提出了“逐步培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能

2、力”，對不等式學習的要求有增無減；1986年，國家教委按照“適當降低難度、減輕學生負擔、教學要求盡量明確具體”的三項原則制定了全日制中學數學教學大綱，對不等式學習的要求開始降低，特別是對“不等式的證明”只要求會用重要不等式證明或求解一些簡單問題；伴隨著90年代“素質教育”的大力提倡，被認為“繁難”的不等式證明最終以“選修”教材的形式出現。總的來說，不等式問題的處理逐漸呈現出淡化理論闡述與推導、減少恒等變換的技巧訓練的趨勢。普通高中數學課程標準（實驗稿）對不等式的處理分為兩個部分：一是必修模塊數學5中的一元二次不等式、二元一次不等式組以及基本不等式，重在強調不等式的現實背景和實際應用，把不等式作

3、為描述、刻畫優(yōu)化問題的一種數學模型；二是選修系列4中的專題5“不等式選講”，涉及的內容仍然大都是基礎性的不等式知識，如，含有絕對值的不等式、不等式的基本證明方法、幾個重要的不等式等。特別值得注意的是，“不等式選講”仍屬于高等院校招生考試的命題范圍。而且，考慮到不等式在高等數學中的基礎性和工具性特點，標準在“不等式選講”中增加了“柯西不等式”、“排序不等式”、“貝努利不等式”等幾個重要不等式的內容，并特別強調這些不等式的幾何背景知識的介紹，意在增強學生對不等式本質的認識，為后續(xù)進一步的學習做準備。2新增內容的特點及其設列意向“不等式選講”中真正能稱得上是新增內容的實質上只有柯西不等式和排序不等式

4、，貝努利不等式作為數學歸納法的一個簡單應用算不上是新內容，而排序不等式的去留又一直存在著爭議。這樣，柯西不等式就成為本專題的一大特色內容。鑒于此，此處僅重點討論一下柯西不等式的特點及其設列意向，順便介紹排序不等式的大概情況。一般來講，柯西不等式是由大數學家柯西(Cauchy)在研究數學分析中的“留數”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應當稱為Cauch-Buniakowsky-Schwarz不等式，因為，正是后兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，并將這一不等式應用到近乎完善的地步。這也說明，柯西不等式主要是作為數學分析的重要工具受到關注的。但真正能顯示其魅力的還在于它與高等代數中的內

5、積空間的密切聯系，即任意兩個向量的夾角的余弦，于是，這就是柯西不等式的向量形式，如果設，容易得到?？梢哉f，標準將柯西不等式列為“不等式選講”的重要內容，正是看中它的這一數學背景?？挛鞑坏仁降南蛄啃问綄祵W中的兩個重要概念長度和角度（只考慮長度又如何？）內在地統一起來處理，一定程度上體現了數學的統一性和美感，作為中學數學的內容很有必要（多個國家的數學教材中也早已采用）。但考慮到中學生數學學習的實際情況以及當前課程改革的基本理念，柯西不等式的呈現仍不宜過難，基本上應以二維形式為主，即重點研究及其簡單應用，而且還應淡化過于技巧化的式的變換。關于不等式的證明及其幾何背景（1）由于 =從而，又非負所以，

6、。（2）證明 幾何背景：如圖，在三角形中，則 Q（c，d） O P（a，b）將以上三式代入余弦定理，并化簡，可得 或因為，所以，于是 . 教材編寫和教學過程重點則應放在柯西不等式的幾何解釋、向量背景以及實際應用上?？挛鞑坏仁降南嚓P內容簡介（1） 赫爾德(Holder)不等式 當時，即為柯西不等式。因此，赫爾德不等式是柯西不等式更為一般的形式，在分析學中有著較為廣泛的應用。（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等價形式） 可以借助其二維形式來理解，根據三角形的兩邊之和大于第三邊，很容易驗證這一不等式的正確性。該不等式的一般形式 稱為閔可夫斯基（Minkowski）不等式。它是由閔可夫斯基在對n維空

7、間中的對稱凸幾何體定義了一種“距離”的基礎上得到的，即對于點，定義其距離為 .閔可夫斯基立足于這一不等式確立了相應的幾何，建立了一種類似于現代度量空間的理論，即實變函數中的賦范空間基礎。這從另一個側面體現了柯西不等式的豐富數學背景。排序不等式的設列意向及其基本思想排序不等式還從來沒有作為正式內容進入中學教材。標準之所以將其作為重要不等式提出來，主要是看中了其蘊含的一種重要數學思想排序思想。如所知，在解各種涉及到若干個可以比較大小的對象（如實數、線段、角度等）的數學問題時，如果根據對稱性，假定他們按一定的順序排列起來，往往能使問題迎刃而解。這就是數學中的排序思想?？梢越柚粋€幾何問題來認識排序不

8、等式。 Bn設（常數），在邊上順次取n Bj個點，在邊上順次取n個點 B1.將任意兩個點連結，得到 O A1 Ai An ，這樣一共可以搭配成n個三角形。顯然，搭配的方式不同，得到的三角形不同，面積也就可能不一樣。問：如何搭配，才能使得到的n個三角形面積的總和最大？最小？不妨設由題設知 （1） （2）因為，而是常數。于是，上述幾何問題就歸結為下面的代數問題：在數組（1）中取定，然后在數組（2）中任取，得乘積；再取及作乘積；類似地，得乘積。這n個乘積的和是 + + 問怎樣安排，使這個和最大或最小。這個問題的解就是下面的排序不等式。一般地，設有兩組正數與，且，. 若將兩組中的數一對一相乘后再相加，

9、則其和同序時最大，倒序時最小.即 其中是的任一個排列，等號當且僅當或時成立。其證明一般采用“逐步調整法”進行，教材對此不作要求，但要會用“向量遞歸方法”討論這一不等式成立的事實。排序不等式也有廣泛的應用，許多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得。此外，它在涉及最優(yōu)化問題的實際生活中也是重要的解決工具。不等式選講標準 在自然界中存在著大量的不等量關系和等量關系，不等關系和相等關系是基本的數學關系。它們在數學研究和數學應用中起著重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數學歸納法和它的簡單應用。本專題特別強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數

10、學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。內容與要求1 回顧和復習不等式的基本性質和基本不等式。2 理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式： （1）；（2）. （3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式： ；.3 認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義。（1） 證明：柯西不等式向量形式：（2） 證明：.（3） 證明：4 用參數配方法討論柯西不等式的一般情況：5 用向量遞歸方法討論排序不等式。6 了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題。7 會用數學歸納法證明貝努利不等式：了解當n為大于1的實數時貝努利不等式也成

11、立。8 會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數的極值。9 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。 10完成一個學習總結報告。說明與建議1在本專題教學中，教師應引導學生了解重要的不等式都有深刻的數學意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學生在學習中應該把握這些幾何背景，理解這些不等式的實質。2利用代數恒等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法，例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創(chuàng)造的技巧，對于專門從事某些數學領域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的

12、。但是，對大多數學習不等式的人來說，常常很難從這些復雜的代數恒等變換中看到數學的本質，對他們更為重要的是理解這些不等式的數學思想和背景。所以，本專題盡力使用幾何或其他方法來證明這些不等式，使學生較為容易地理解這些不等式以及證明的數學思想，不對恒等變換的難度特別是一些技巧作更多的要求，不希望不等式的教學陷在過于形式化的和復雜的恒等變換的技巧之中。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數恒等變換比較復雜或過于技巧化的問題或習題。3數學歸納法是重要的數學思想方法，教師應通過對一些簡單問題的分析，幫助學生掌握這種思想方法。在利用數學歸納法解決問題時，常常需要進行一些代數恒等變換。要求教材的編寫者和教師不

13、要選擇那些代數恒等變換比較復雜或過于技巧化的問題或習題，以免沖淡了對數學歸納法思想的理解。不等式選講標準解讀一、設置“不等式選講”專題的意義同等量關系一樣，不等量關系也是自然界中存在著的基本數學關系，他們不僅在現實世界和日常生活中大量存在，而且在數學研究和數學應用中也起著重要的作用。本專題將介紹一些重要不等式（柯西、排序、貝努利）和他們的證明，數學歸納法和它的簡單應用。本專題強調不等式的幾何意義及其背景，旨在加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。本專題的內容是以初中課程為起點的。要求學生從幾何意義和背景出發(fā)來理解不等式及其數學本質，要避免過多的代數恒

14、等變形，不要對恒等變形的難度特別是一些技巧作更多的要求，不等式的教學不要陷入過與形式化和復雜的恒等變換的技巧當中。數學歸納法是重要的數學思想方法，同樣不應陷于復雜的恒等變換之中，沖淡對數學歸納法本質的理解。本專題與高中課程中的必修內容沒有必然聯系，無需以他們作為預備知識。當然，如果學過上述內容，特別是數學必修4、必修5，對本專題可以更好的理解。二、本專題的主要內容和基本思想本專題中的重要不等式主要涉及絕對值不等式、柯西不等式、貝努利不等式和排序不等式，以及比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等不等式證明的的基本方法。其中，貝努利不等式的證明將很自然地和數學歸納法聯系在一起。絕對值有著很明確的

15、幾何意義，即數軸上坐標為的點到原點的距離。利用絕對值的幾何意義，可以很好地證明和求解一些基本的含絕對值的不等式。比如，不等式的解就可以直接理解為數軸上滿足到坐標為的點的距離與到坐標為的點的距離之和大于等于的點的坐標，而上述距離之和的最小值顯然為（在，之間的點取到），因此，不等式的解取決于與的大小關系。用類似的方法也不難證明，實際上只需要注意到，在數軸上的位置關系即可。柯西不等式是有著很重要的數學背景的不等式，在許多領域當中，都能夠看到它的影子。配方法是證明柯西不等式最直接的簡單方法（包括證明柯西不等式的一般情形），平面三角不等式是柯西不等式的等價形式。如果從向量的角度來看，任意兩個向量的夾角的

16、余弦，于是，這就是柯西不等式的向量形式。排序不等式也是應用范圍比較廣泛的不等式，我們也可以利用它來證明柯西不等式。貝努利不等式是一個很重要的不等式，在很多方面有著廣泛的應用。用數學歸納法證明它簡單明了。數學歸納法是證明關于自然數的有關命題的重要方法，本質上是一個原理?？傮w來看，數學歸納法有兩個重要步驟構成：首先是奠基步，這往往比較容易，但卻是必需的；然后需要有一個一般意義的演繹規(guī)則，按照這個演繹規(guī)則，反復應用，從奠基步開始，在有限步之內達到任意指定的情形。通常，這個一般意義的演繹規(guī)則是從所謂的歸納假設開始，從較小的規(guī)模成立的假設推導出較大規(guī)模的情形也成立，從而建立一個一般的演繹規(guī)則。一般所謂的

17、第一數學歸納法，就是在假設P(k-1)成立的前提下，得到P(k)也成立。第二數學歸納法則是從P(k)到P(k)。靈活應用以上原則，即可得到更多的數學歸納法的不同形式，有時根據演繹規(guī)則的需要，奠基步也會有相應的變化，比如所謂“跳步”數學歸納法和“倒序”數學歸納法。我們用具體問題說明如下。用數學歸納法證明：一個正方形可以劃分為n個小正方形（不一定全等），其中n=4或n7.首先，當n=4,7,8,9時，有如下分法：一分為四、一分為四后將其中一份再一分為四、第一行第一列分出七個相等的正方形、三等分成九個正方形。然后，假設n=k時命題成立，我們來說明n=k+3時命題也成立。實際上，只需要注意到上述n=4時的情形，再將其中一個小正方形根據假設劃分為k個更小的正方形，于是n=k+3時命題也成立。這就是所謂的“跳步”數學歸納法。下面再以平均值不等式的證明為例，來說明“倒序”數學歸納法。我們熟知平均值不