定比分點坐標公式在解題中的應(yīng)用

1、定比分點坐標公式在解題中的應(yīng)用 河北 陳慶新 許多同學(xué)可能已經(jīng)能夠熟練地應(yīng)用有向線段的定比分點坐標公式及定比的坐標公式，求解有向線段的定比分點坐標及定點分有向線段所成的比了事實上用這兩個公式，還可巧妙地用于解決其它一些問題如用得好，會使解題過程顯得別具一格，簡捷明快，充分展現(xiàn)我們思維的獨創(chuàng)性下面舉例說明其解題中的應(yīng)用一、在幾何問題中的應(yīng)用（一）關(guān)于公式的正用例1 證明：三角形內(nèi)角平分線分其對邊之比等于夾這個角的兩邊長度之比A C O B x y 證明：以O(shè)AB的頂點O為原點，AOB的平分線OC所以直線為x軸，建立平面直角坐標系如圖所示，設(shè)|OA|m，|OB|n，AOC COB ，則A(mcos

2、，msin)，B(ncos，nsin)，設(shè)C點分的所成的比為，由定比分點的坐標公式：0，解之得，即點評：本例的結(jié)論在解題中有著很多的應(yīng)用。請看下面的例子。例2已知ABC三個頂點的坐標分別為A(1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A的內(nèi)角平分線交對邊于D，則向量的坐標為 解析：容易計算|4，|5。根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)知：，于是可知點D分有向線段所成的比為，從而由定比分點坐標公式可求得點D的坐標（，），于是（，）例3已知三點A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在線段AB上取一點P，使過P且平行于BC的直線把ABC的面積分成45兩部分，求點P的坐標解析：由題意得：所以，即2，2，設(shè)P

3、(x，y)，則x3，y所以P點的坐標為(3，)例4已知在ABC中，BCa，CAb，ABc，且A(x，y)、B(x，y)、C(x，y)，求ABC的內(nèi)心坐標A C B D I 解析：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，AD為A的平分線，則，點D分所成的比為，由定比分點的坐標公式可求得D點的坐標：x，y又，即點I分所成的比x，同理yABC的內(nèi)心坐標為(，)（二）公式的逆用例5已知一次函數(shù)ymx2圖象與線段AB有交點，若A(2，3)、B(3，2)，求實數(shù)m的取值范圍解析：設(shè)一次函數(shù)的圖象直線l交AB于點P(x，y)且(0)，當0時，直線過A點，則由定比分點坐標公式知，又因P在直線l上，故m·20，解得：0，

4、從而m或m又當點P與點B重合時符合題意，所以將B(3，2)代入直線l的方程，求得m故m的取值范圍為m或m 本例可以推廣為：已知定點P1（x1，y1）、P2(x2，y2)及直線l：AxByC=0，設(shè)直線l與直線P1P2相交于點P，求證：點P分有向線段所成的比 略解：設(shè)點P分有向線段所成的比，由定比分點坐標公式可求得點P的坐標為：，將點P的坐標代入直線l的方程：ABC=0，整理得：（Ax1By1C）(Ax2By2C)=0，解之得： 點評：若利用這個結(jié)論來解答一下例5，就顯得非常簡捷：設(shè)點P(x，y)分有向線段所成的比為，則，因為P為內(nèi)分點，所以0，解之得：m或 m，當直線l過點B時，有m綜上知：m

5、或m二、在代數(shù)問題中的應(yīng)用（一）、解不等式例6解不等式1解析：令y10，則x，且y0，于是此問題可轉(zhuǎn)化為：數(shù)軸上以P1()為起點，P2()為終點，定比y0時，求分點P的坐標x的范圍問題由y0知點P為有向線段的內(nèi)分點，或與點P1重合，故應(yīng)有x例7 解不等式12解析：在數(shù)軸上取P1，P，P2點依次表示1，2，由得，因為P內(nèi)分有向線段，所以0，即x2x30，解之即得原不等式的解集為：x|x1或x（二）、求函數(shù)的值域例8 求函數(shù)y的值域解析：令，則0，依題意有y，根據(jù)上式可知為點P(y)分有向線段所成的比，其中P1(1)、P2(3)，于是函數(shù)y為分點P的坐標，由定比的坐標公式：0，解之得y3或y1即原

6、函數(shù)的值域為(，3)1，例9求函數(shù)y的反函數(shù)的定義域解析：問題等價于求原函數(shù)的值域令e0，P1(1)，P(y)，P2(1)，則y，0，P為有向線段的內(nèi)分點，1y1，故原函數(shù)的值域為(1，1)，即其反函數(shù)的定義域為(1，1)例10求函數(shù)y(1x的值域解析：將原函數(shù)式變形為：y，設(shè)P1(1，0)、P2(1，0)，x，其中1x3由函數(shù)x的單調(diào)性可求得，2又當2時，y；時，y，所以所求函數(shù)的值域為(，)（三）、求函數(shù)的解析式例11二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖像經(jīng)過點(1，0)且xf(x)(x21)，對一切實數(shù)x都成立，求f(x) 解析：因為當xR，總有xf(x)(x21)，為此不妨設(shè)P1(x)、P

7、f(x)、P2()為數(shù)軸上三點，則，其中0，于是由定比分點坐標公式得：f(x) ，又因為y f(x)經(jīng)過點(1，0)，代入上式得，0，解得1，再將1代入f(x) 得，f(x) x2x（四）、用于處理三角問題例12 證明：y的值不在區(qū)間(，3)內(nèi)證明：當sinx1時，y3(，3)；當sinx1時，y1(，3)；當sinx±1時，將P(y)視為數(shù)軸上的點A()與B(3)的分點，由定比的坐標公式：，得0，即點P(y)為有向線段的外分點，故有y(，3)綜上可知，y的值不在區(qū)間(，3)內(nèi)（六）、用于解決數(shù)列問題數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)而等差數(shù)列的通項公式為：aa(n1)ddn(ad)為變量n的一次函數(shù)(d0)，其圖象為直線故而有A(m，a)、B(n，a)、C(p，a)三點共線(其中a、a、a分別為項數(shù)是m、n、p的數(shù)列中的項)為此我們把C視為的一個定比分點，則有，a例13 在3與19之間插入31個數(shù)，使它們成等差數(shù)列，求通項公式解析：設(shè)通項為a，令點P(n，a)分A(1，a)，B(33，a)兩點連成的線段所成的比為，則有，又由題意