二階非線性泛函微分方程解的振動性與漸近性

1、第17卷 第2期 湖 南 文 理 學(xué) 院 學(xué) 報（自 然 科 學(xué) 版） Vol. 17 No. 2 2005年6月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition) Jun . 2005文章編號：1672-6146(2005)02-0008-03二階非線性泛函微分方程解的振動性與漸近性趙敏之1, 趙智國2(1.湖南商務(wù)職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 湖南 長沙 410205;2.中國人民保險公司湖南分公司 信息技術(shù)處, 湖南 長沙 410008)摘 要：討論了兩類二階非線性泛函微分方程(a(t)(y'(t)

2、'+q(t)f(y(t)g(y'(t)=0,(a(t)(y'(t)'+ q(t)F(y(t),y(t)g(y'(t)=0,其中tt0，為正常數(shù)，當(dāng)tt0時，a(t)>0，q(t)0，且q(t)不最終恒為0，(t)>0，且lim(t)=+.利用一些分析的技巧，得到了t+則 (i)=奇數(shù)/奇數(shù)時，方程(1)振動；(ii)=偶數(shù)/奇數(shù)時，方程(1)的解或者振動；或者有l(wèi)imy(t)=0；或者limy(t)=.t+t+證明=奇數(shù)/奇數(shù)時,設(shè)y(t)是方程(1)的一個這兩類方程的解振動與漸近性的充分性判據(jù)，所獲結(jié)果可分別應(yīng)用于=奇/奇與=偶/奇的情形.

3、改進并推廣了已有文獻中的相應(yīng)結(jié)論.關(guān)鍵詞：泛函微分方程；振動；漸近性； 中圖分類號: O 175 文獻標(biāo)識碼：A非振動解，由方程(1)有考慮如下兩類二階非線性泛函微分方程(a(t)(y'(t)'+q(t)f(y(t)g(y'(t)=0 (1) (a(t)(y'(t)'+q(t)F(y(t),y(t)g(y'(t)=0 (2) 其中tt0，為正常數(shù)，當(dāng)tt0時，a(t)>0，q(t)0，且q(t)不最終恒為0，'(t)>0，且lim(t)=+.關(guān)于方程(1)、(2)及其特殊形式的振動a(t)(y'(t)q(t)f(y(t

4、)g(y'(t)()'=y(t)y(t)+1a(t)(y'(t)q(t)f(y(t)g(y'(t)0y2(t)y(t)(且不恒為0) (3)由定理的條件可知y(t)不振動時，y'(t)也不振動. 下面分情形導(dǎo)出矛盾:(I)設(shè)tT0t0時，y(t)>0，y(t)>0. 情形1 設(shè)tt1T0時,y(t)>0，且y'(t)>0, 又由方程(1)有:a(t)(y'(t)(=q(t)g(y'(t)f(y(t)a(t)(y'(t)f'(y(t)y'(t)'(t)<Aq(t)f(y(

5、t)2t+與漸近性的研究已經(jīng)取得了豐富的結(jié)果1-8，但是，對于既可以為奇數(shù)/奇數(shù)，又可以為偶數(shù)/奇數(shù)的振動與漸近性的判據(jù)相對較少.本文利用一些分析的技巧，得到方程(1)、(2)解振動與漸近性的充分性判據(jù)，所獲結(jié)果可分別應(yīng)用于=奇/奇與=偶/奇的情形.改進推廣了已有文獻1-5中的相應(yīng)結(jié)論.我們稱一個非平凡函數(shù)y(t)為方程(1)(或(2)的一個解是指y(t)滿足式(1)(或式(2).這個解振動是指它在某半直線t0,+)上有定義且零點集為無界集; 否則稱它為不振動的.若方程(1)(或(2)的所有解振動，則稱方程(1)(或(2)是振動的.為了方便，我們總假定所考慮的函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).定理1 如果

6、(H0)uf(u)>0(u0),且f'(u)0； (H1)存在常數(shù)，A>0使g(u)A；(5)對(5)由t1到t積分可得a(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1)<Af(y(t)f(y(t1)tt1q(s)ds (6)由條件(H2)可知，當(dāng)t+時，右端為，與左邊非負矛盾.情形2 設(shè)tt1T0時，y'(t)<0，且y'(t)< 0，由(H1)有，當(dāng)tt1時,(a(t)(y'(t)'+Aq(t)f(y(t)(a(t)(y'(t)'+q(t)f(y(t)g(y'(t)從而由方程(1)有，當(dāng)

7、tt1時:(H2)+t0q(s)ds=+，+1a(t),dt=+；t0第2期 趙敏之, 趙智國 二階非線性泛函微分方程解的振動性與漸近性 9(a(t)(y'(t)'Aq(t)f(y(t)<0 (7) 由t1到t積分(7)式有a(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1)Af(y(t)t1ta(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1) (7*)結(jié)合條件(H1)有q(s)dsa(t1)(y'(t1)Af(M)q(s)dst1ta(t1)y'(t)()y'(t1)<0 (7*)a(t)由t1到t積分上式有:則由條件(H

8、2)可知上式右端為，與左端非負矛盾.從而有l(wèi)imy(t)=0.t+y(t)y(t1)+(a(t1)1ds, y'(t1)t1a(s)t(II)設(shè)tT0t0時，y(t)<0，且y(t)<0. 情形1 當(dāng)tt1T0時,y'(t)>0,且y'(t)>0. 由a(t1)(y'(t1)'0可得,當(dāng)tt1時a(t)(y'(t)于是由（H2）可知，當(dāng)t充分大時，必有y(t)<0，與假設(shè)矛盾.(II)設(shè)tT0t0時，y(t)<0，y(t)<0.情形1 設(shè)tt1T0時,y'(t)>0,且y'(t)&g

9、t;0,由(H1)有，tt1時a(t1)(y'(t1)>0,于是有:1>0 a(t)由(H2)可知t充分大時必有y(t)>0, 與tt1時y(t)<0最終成立矛盾.情形2 設(shè)tt1T0時，且y'(t)<0，y'(t)<0，y'(t)(a(t1)y'(t1)(0=(a(t)(y'(t)'+q(t)f(y(t)g(y'(t)(a(t)(y'(t)'+Aq(t)f(y(t)由t1到t積分（8）式有結(jié)合=偶數(shù)/奇數(shù), 由(a(t)(y'(t)'0可得:(8)a(t)(y&

10、#39;(t)a(t1)(y'(t1)+Aq(s)(f(y(s)dsa(t1)(y'(t1)>0t1ta(t1)<0 a(t)從而當(dāng)t+時，必有y(t).因此，y(t)<0時，必有l(wèi)imy(t)=.定理1證畢.y'(t)y'(t1)(t+(8*)注1 由于本文在考慮文1-4中微分方程在具有時滯的廣泛情形，我們的結(jié)論不要求a(t)是可微函數(shù)，而且在本文的條件下，定理1比文1-4中的相應(yīng)結(jié)論更廣泛，從而推廣了文1-5中的相應(yīng)結(jié)論.定理2假設(shè)(i)±a(t1)*)y'(t1)>0 (8) a(t)從而當(dāng)t充分大時，必有y(t)

11、>0，與假設(shè)矛盾.有 y'(t)(tq(t)dt<；(ii)>0,情形2 設(shè)tt1T0時,y'(t)<0,且y'(t)<0，由定理的條件,可知(5)、(6)仍然成立，從而由(6)的右端為，左端非負導(dǎo)出矛盾.=偶數(shù)/奇數(shù)時, 結(jié)合定理的條件，由方程(1)可知，（i）當(dāng)y(t)>0時，(a(t)(y'(t)'0且dyf(y)1/<；(iii)a'(t)0,且(t)t，并且定理1 1中的其它條件均成立，另外(iv)'(t)(t0a(t)tq(s)ds)dt=，則定理1的結(jié)論成立.(ii)當(dāng)y(t)<

12、;0時，(a(t)(y'(t)'0a(t)(y'(t)0；且a(t)(y'(t)0，從而當(dāng)y(t)不振動時必有y'(t)也是不振動的.(I)當(dāng)tT0t0時，y(t)>0，且y(t)>0.情形1 當(dāng)tt1T0時，y'(t)>0且y'(t)> 0. 由定理的條件，可知(5)、(6)式均成立，結(jié)合(6)式可類似地導(dǎo)出矛盾.情形2 當(dāng)tt1T0時,y'(t)<0,且y'(t)<0. 由y(t)>0可知，當(dāng)t+時y(t)存在非負的極限. 設(shè)limy(t)=M>0,則當(dāng)tt1時,f(y(

13、t)f(M).t+證明 類似于定理1的證明，在定理2的條件下，y(t)是方程(1)的不振動解時，則y'(t)也是不振動的.下面我們分情形進行證明.=奇數(shù)/奇數(shù)時(I)設(shè)tT0t0時，y(t)>0且y(t)>0.情形1 當(dāng)tt1T0時，y'(t)>0且y(t)>0. 則由(5)、(6)有，當(dāng)tt1時:ta(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1)0Aq(s)ds (9)tf(y(t)f(y(t1)1從而有當(dāng)tt1時:于是由t1到t積分(7)式有:a(t)(y'(t)Af(y(t)tq(s)ds (10)10 湖 南 文 理 學(xué) 院

14、學(xué) 報（自 然 科 學(xué) 版） 2005年則y'(t)f(y(t)結(jié)合方程（1）可知a'(t)(y'(t)+a(t)(y'(t)1y''(t)+A(1q(s)ds) (11)a(t)tf(y(t)f(M)>0，對tt1，由t1到t積分(7)有, 當(dāng)tt1時:0<a(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1)Af(M)q(s) (15)t1tq(t)f(y(t)g(y'(t)=0(12)則a(t1)(y'(t1)Af(M)q(s)ds，從而,當(dāng)tt1時:t1y'(t)(Af(M)對(16)從t1到t積

15、分有于是結(jié)合定理的條件及tt1時，y'(t)>0可得，當(dāng)從而0<y'(t)y'(t)，再由(11)tt1時，y''(t)0，有,當(dāng)tt1時， (13) y'(t)'(t)A'(t)(1q(s)ds)a(t)tf(y(t)對(13)從t1到t積分得:1(16) qsds()ta(t)y(t1)y(t1)y(t)(Af(M)(a(s)t1t1tq(u)du)ds(17)A1'(s)(q(u)du)dsa(s)st1t令t+，則(17)的右端為+，與左端為有限數(shù)矛盾,因此, limy(t)=0.t+ty'(s

16、)(s)(y(s)t1fds+y(t1)du(14)f(u)由條件可知t+時，(14)的左端為+，與右端為有限數(shù)矛盾.(II)設(shè)tT0t0時， y(t)<0且y(t)<0情形1當(dāng)tt1T0時，y'(t)>0且y'(t)>0，則由定理2的條件可知(8)，(8*)，(8*)仍然成立.從而可類似于定理1導(dǎo)出矛盾.情形2當(dāng)tt1T0時，y'(t)<0且y'(t)<0，則(9)-(12)仍然成立，由(12)可得，當(dāng)tt1時，y''(t)0，從而y'(t)y'(t)<0，由(11)有:(II)tT0t

17、0時, y(t)<0且y(t)<0，證明類似于(I). 定理2證畢.現(xiàn)設(shè)F(x,y)滿足如下條件（H4）當(dāng)x, y同號時，F(xiàn)(x,y)與x, y同號，且存在f(x),h(y)滿足:(i) F(x,y)f(x)h(y);(ii)存在常數(shù)K>0，使定理2的證明，可以得到如h(y)K>0.由定理1，下結(jié)論.定理3 假設(shè)定理1(或定理2)的條件滿足，且(H4)成立時，則有(i)=奇數(shù)/奇數(shù)時，方程(2)振動；(ii)=偶數(shù)/奇數(shù)時，方程(2)的解或者振動，或者limy(t)=0，或者limy(t)=.t+t+注2 由本文定理的證明，還可以考慮更廣泛一些的方程.例如，g=g(y&

18、#39;(t),y(t)>A時相應(yīng)結(jié)論仍然成立.另外，定理2，3中，=偶數(shù)/奇數(shù)時相應(yīng)結(jié)論的條件+t01(a(s)=+還可以去掉.y'(t)'(t)f(y(t)A'(t)(1a(t)q(s)ds)t參考文獻1 Li, W. T., Oscillation of certain second order nonlinear differential equationJ. J. M. A. A., 1998,217(1): H4. 2 Wong, P. J. Y. and Agarwal, R. P., Oscillatory behavior ofsolutions

19、 of certain second order nonlinear differential equationsJ. J. M. A. A., 1996, 198(2): 337-354. 3 白玉真. 二階差分方程解的振動性與漸近性J. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2001, 21(2): 223-234.(下轉(zhuǎn)第19頁)由t1到t積分上式，由定理的條件即可導(dǎo)出矛盾.=偶數(shù)/奇數(shù)(I)設(shè)tT0t0時，y(t)>0且y(t)>0.情形1當(dāng)tt1T0時，y'(t)>0且y'(t)>0，則(9)-(14)仍然成立，可類似導(dǎo)出矛盾.情形2 當(dāng)tt1T0時，y'

20、(t)<0且y'(t)<0，若M>0，則當(dāng)tt1時則存在M0使limy(t)=M，t+第2期 文盛樂，楊江河 關(guān)于細圓環(huán)內(nèi)感生電動勢的幾點討論 19力來解釋”, 但“用洛倫茲力可以解釋的不都是動生電動勢”一樣. 從這里也可以看出,場才是最本質(zhì)的. 因為只有場才把空間每點每時刻的情況描述得最清楚.參考文獻:1 程守洙, 江之永. 普通物理學(xué)(第2冊)M. 北京: 高等教育出版社, 1982. 194, 217.2 蘇曾燧. 普通物理學(xué)思考題集M. 北京: 高等教育出版社, 1966. 120.3 梁燦彬. 電磁學(xué)M. 北京: 人民教育出版社, 1980. 379.(上接

21、第10頁)4 白玉真. 一類二階非線性微分方程解的振動性與漸近性J. 數(shù)學(xué)年刊, 2002, 23A(3): 339-344.5 彭名書, 葛渭高, 王淮. 非線性泛函微分方程解的性態(tài)J. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 2002, 25(2): 365-317.6 王其如. 二階非線性微分方程的振動準(zhǔn)則J. 數(shù)學(xué)學(xué)報,2001, 44(2): 371-376.7 仉志余, 周勇, 俞元洪. 非線性二階泛函微分方程的振動準(zhǔn)則J. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2000, 20(1): 1-10.8 鄭祖庥. 泛函微分方程理論M. 合肥: 安徽教育出版社,1994.On Induced Electromotive Forc

22、ein a Fine CircleWEN SHeng-le1, YANG Jiang-he2(1 College of Physics and Information Scienece, Hunan NormalUniversity, Changsha Hunan, 410081;2 Department of Physics and Electronics, Hunan University ofArts and Science, Changde Hunan, 415000)Abstract:The reaction of fine circles in magnetic field wit

23、h certain rate of change momentum was analysed. It shows that under different conditions the induced electromotive force and the induced current are unsimilar in fine circles with similar geometric structcue.Key words: fine circle; induced electromotive force; electromagnetic induction; induction electric field收稿日期: 2005-01-08作者簡介: 文盛樂(1948-), 男, 教授，主要從事基礎(chǔ)理論教學(xué)與場