從蕩秋千談—非線性共振

1、從盪鞦韆談非線性共振壹、研究動(dòng)機(jī)有一次回家，看到路邊的幼稚園的小朋友在盪鞦韆競(jìng)賽時(shí)，發(fā)現(xiàn)小腿擺動(dòng)後，沒(méi)有人推，卻可以越盪越高，又由牛頓第三定律，作用力與反作用力在同一系統(tǒng)上相互平衡，為什麼盪鞦韆可以越盪越高呢？於是激起了我們的研究興趣貳、研究主題一、從盪鞦韆來(lái)探討越盪越高的原因。二、探討物體擺動(dòng)與振動(dòng)的交替現(xiàn)象。三、由擺動(dòng)與振動(dòng)之交替現(xiàn)象來(lái)探討能量的轉(zhuǎn)換。四、由振動(dòng)擺動(dòng)來(lái)探討相位,對(duì)能量傳遞的影響。參、應(yīng)用背景原理與名詞解釋一、位能Ep=mgh,動(dòng)能KE=1/2mv2。二、單擺之頻率f=(1/2)L/g L:擺長(zhǎng) g:重力加速度。三、彈簧振動(dòng)頻率f=(1/2)K/m m:擺錘質(zhì)量,K:彈簧常數(shù)

2、。四、彈簧常數(shù)k:使彈簧產(chǎn)生變形1公分所需之外力。五、相位:振動(dòng)或擺動(dòng)循環(huán)之相對(duì)位置六、物體重心:物體重量的集中點(diǎn)。肆研究過(guò)程一.盪鞦韆現(xiàn)象的觀察取自：物理園 /main_e.html我們將實(shí)地現(xiàn)場(chǎng)盪鞦韆時(shí)的擺動(dòng)現(xiàn)象加以整理結(jié)果如下1-1用外力推動(dòng)協(xié)助擺動(dòng)（見(jiàn)實(shí)作錄影檔 盪鞦韆1.avi）(一) 結(jié)果：組別施力作用方式擺動(dòng)情形操作一由高點(diǎn)向下擺動(dòng)時(shí)推力擺動(dòng)振幅越來(lái)越大操作二由低點(diǎn)向上擺動(dòng)時(shí)推力擺動(dòng)振幅越來(lái)越小(二) 討論：由以上操作，我們從能量的觀點(diǎn)來(lái)看（1） 操作一推力方向與擺動(dòng)方向相同，故施力的能力對(duì)原有擺動(dòng)系統(tǒng)是加成作用，而擺動(dòng)振幅越來(lái)越大。（2）

3、 操作二因施力方向與擺動(dòng)方向相反，故能量對(duì)原有擺動(dòng)系統(tǒng)是抵消作用，而擺動(dòng)振幅越來(lái)越小。（3） 若在操作一中由擺動(dòng)兩端高點(diǎn)向下推動(dòng)時(shí)更可加大擺動(dòng)角度。1-2沒(méi)有外力作用，用身體的姿勢(shì)改變來(lái)改變擺動(dòng)。如圖一及（見(jiàn)實(shí)作錄影檔 盪鞦韆2.avi）(一)組別身體姿勢(shì)之變換擺動(dòng)情形操作一擺動(dòng)幅度越來(lái)越小操作二擺動(dòng)幅度越來(lái)越小操作三擺動(dòng)幅度越來(lái)越大操作四圖一擺動(dòng)幅度越來(lái)越小擺動(dòng)位置ABCBA(二) 討論：1. 擺動(dòng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，操作一小腿彎曲不變，操作二小腿伸直不變，擺動(dòng)時(shí)幅度越來(lái)越小，最後停止擺動(dòng)。2. 操作三是當(dāng)擺動(dòng)由最低點(diǎn)上擺時(shí)小腿下放彎曲，由最高點(diǎn)下擺至最低點(diǎn)時(shí)小腿提高伸直，如此交替可使擺動(dòng)振幅越來(lái)越

4、大。3. 操作四是當(dāng)擺動(dòng)由最低點(diǎn)上擺時(shí)小腿提高伸直，由最高點(diǎn)下擺至最低點(diǎn)時(shí)小腿下放彎曲，如此交替則使擺動(dòng)振幅越來(lái)越小。4.由重心的觀念，我們認(rèn)知，當(dāng)身體姿勢(shì)的改變時(shí)，身體重心的位置也產(chǎn)生改變，操作一和操作二的物體對(duì)地面重心位置雖然不同，但卻保持固定，而操作三與操作四的實(shí)驗(yàn)操作變因在於身體姿勢(shì)的交替改變，由前面重心的性質(zhì)瞭解實(shí)驗(yàn)操作變因，也就是於身體重心的交替改變。所引起的不同結(jié)果。二盪鞦韆的模型實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2-1由彈簧振動(dòng)擺動(dòng)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪\(yùn)動(dòng)觀察(一) 步驟：（見(jiàn)實(shí)作錄影檔實(shí)驗(yàn)21.avi）1. 取一彈簧，一端銜接線段，一端銜接砝碼，再架於鞦韆架上，使其搖擺。2.施力使彈簧產(chǎn)生垂直形變後,放鬆使產(chǎn)生

5、上下振動(dòng),觀察整體運(yùn)動(dòng)情形。圖二3.調(diào)整棉線長(zhǎng)度重複步驟2之操作。如圖二(二) 結(jié)果： 組別砝碼質(zhì)量(g)彈簧的長(zhǎng)度(cm)棉線長(zhǎng)度(cm)振動(dòng)、擺動(dòng)交替情形1270g8cm20cm以下振動(dòng)、不產(chǎn)生擺動(dòng)2270g8cm30cm振動(dòng)、小角度擺動(dòng)且交替3270g8cm3540cm振動(dòng)、擺動(dòng)角度變大且交替4270g8cm48cm振動(dòng)、擺動(dòng)角度最大5270g8cm5565cm振動(dòng)、擺動(dòng)角度變小且交替6270g8cm75cm振動(dòng)、擺動(dòng)角度變更小且交替7270g8cm85cm以上振動(dòng)、不產(chǎn)生擺動(dòng)（三）討論:1、由實(shí)驗(yàn)操作結(jié)果我們發(fā)現(xiàn),砝碼質(zhì)量固定,彈簧長(zhǎng)度固定時(shí),第四組組合可以使振動(dòng)擺動(dòng)交替最大角度。2、

6、實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)照盪鞦韆操作,我們得到各對(duì)照結(jié)果如下：人體質(zhì)量=砝碼質(zhì)量；（線段長(zhǎng)度+彈簧長(zhǎng)度）=鞦韆擺長(zhǎng)；身體重心的改變=砝碼上、下振動(dòng)。實(shí)驗(yàn)2-2 ：（見(jiàn)實(shí)作錄影檔實(shí)驗(yàn)22.avi）由前面實(shí)驗(yàn)我們得到,當(dāng)懸掛砝碼質(zhì)量270g,彈簧自然長(zhǎng)度8cm,棉線長(zhǎng)度48cm時(shí)之組合可以得到最大振動(dòng)與最大擺動(dòng)角度的交替變化,那我們分別改變砝碼質(zhì)量及彈簧大小時(shí),觀察是否仍然產(chǎn)生振動(dòng)與擺動(dòng)的現(xiàn)象。（一）結(jié)果： 砝碼質(zhì)量(g)彈簧自然長(zhǎng)度(cm)棉線長(zhǎng)度(cm)振動(dòng)擺動(dòng)交替情形 270g8cm48cm振動(dòng)擺動(dòng)角度最大交替 100g8cm 48cm振動(dòng)不產(chǎn)生擺動(dòng) 270g 8 cm20cm以下,85cm以上振動(dòng)不產(chǎn)生

7、擺動(dòng) 270g20cm48cm振動(dòng)不產(chǎn)生擺動(dòng)（二）討論:1. 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn),影響振動(dòng)及擺動(dòng)的交替作用的變因包括砝碼質(zhì)量,彈簧性質(zhì),及擺動(dòng)長(zhǎng)度。2. 而由單擺頻率f=(1/2)L/g 的性質(zhì)了解影響擺動(dòng)頻率的變因只有擺長(zhǎng)L,而彈簧振動(dòng)頻率f=(1/2)K/m的性質(zhì)。影響振動(dòng)頻率的變因,包含了砝碼質(zhì)量,及彈簧常數(shù)(彈簧性質(zhì))。3. 本實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒僮髦\(yùn)動(dòng)是振動(dòng)與擺動(dòng),視同一運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的交互作用結(jié)果。實(shí)驗(yàn) 2-3： 為了了解產(chǎn)生振動(dòng)與擺動(dòng)交替情況時(shí),振動(dòng)與擺動(dòng)頻率關(guān)係。（一）、步驟 （見(jiàn)實(shí)作錄影檔實(shí)驗(yàn)23.avi）1、在三組產(chǎn)生振動(dòng)與擺動(dòng)最大擺角交替之實(shí)驗(yàn)組合中,分別單獨(dú)測(cè)量彈簧振動(dòng)頻率。2、同

8、樣取本實(shí)驗(yàn)中擺動(dòng)時(shí)因彈簧伸縮造成之最大擺長(zhǎng)及最短擺長(zhǎng),並懸掛該組中之砝碼質(zhì)量，測(cè)量擺動(dòng)頻率。（二）、結(jié)果 組別砝碼質(zhì)量(g)繩長(zhǎng)彈簧長(zhǎng)度振動(dòng)頻率最小擺長(zhǎng)頻率 最大擺長(zhǎng)頻率擺動(dòng)平均頻率一 27048cm8cm66次/分36次/分30次/分33次/分二 25050cm10cm66次/分36次/分30次/分33次/分三 20036cm9cm72次/分37.8次/分34.2次/分36次/分（三）、討論:1、由實(shí)驗(yàn)結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn)彈簧振動(dòng)的頻率接近於2倍的擺動(dòng)頻率時(shí)，可得到最大共振。2、這樣的結(jié)果驗(yàn)證了我們?cè)诰W(wǎng)路上查詢的結(jié)果,也符合盪鞦韆時(shí),用外力推力的情形。3、但若彈動(dòng)頻率是擺動(dòng)頻率的4倍8倍16倍.等

9、,是否也產(chǎn)生振動(dòng)與擺動(dòng)的交替作用呢?4、而利用身體姿勢(shì)的改變盪鞦韆,我們認(rèn)為相同於砝碼彈簧的振動(dòng)來(lái)產(chǎn)生擺動(dòng)角度變大,其中人體姿勢(shì)的改變應(yīng)該是相對(duì)於彈簧的振動(dòng)改變效應(yīng),由實(shí)際的盪鞦韆中的觀察,鞦韆擺動(dòng)一次人體姿勢(shì)也做兩次的交替改變！實(shí)驗(yàn)2-4 ：（見(jiàn)實(shí)作錄影檔 實(shí)驗(yàn)24.avi）由2-2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,我們推論盪鞦韆是利用身體姿勢(shì)的改變來(lái)使鞦韆角度盪大,來(lái)更進(jìn)一步證實(shí)想法,我們又設(shè)計(jì)了一簡(jiǎn)單模型實(shí)驗(yàn)操作。（一）、步驟1、馬達(dá)心軸固定一偏心圓柱,外環(huán)以銅絲懸掛銅塊之單擺,其頻率為馬達(dá)轉(zhuǎn)數(shù)二分之一。2、單擺靜止啟動(dòng)馬達(dá),觀察單擺擺動(dòng)情形3、馬達(dá)靜止單擺偏轉(zhuǎn)擺動(dòng),觀察單擺擺動(dòng)情形4、偏轉(zhuǎn)單擺及啟動(dòng)馬達(dá),觀

10、察單擺擺動(dòng)情形5、改變馬達(dá)轉(zhuǎn)數(shù),重做步驟46、改變單擺擺長(zhǎng),重做步驟4、5,記錄之（二）結(jié)果 順序馬達(dá)單擺頻率單擺開(kāi)始狀況單擺持續(xù)運(yùn)動(dòng)情形120轉(zhuǎn)/分10靜止剛開(kāi)始只上下振動(dòng)後來(lái)擺角大小交替20轉(zhuǎn)/分10擺動(dòng)擺角漸變小,終靜止320轉(zhuǎn)/分10擺動(dòng)擺角變大變小交替440轉(zhuǎn)/分10擺動(dòng)擺角漸變小,終靜止520轉(zhuǎn)/分20擺動(dòng)擺角漸變小,終靜止（三）、討論：1、由以上的實(shí)驗(yàn)操作我們也發(fā)現(xiàn)，只有在馬達(dá)轉(zhuǎn)速是單擺頻率的兩倍時(shí)，單擺才會(huì)持續(xù)的擺角大、小交替擺動(dòng)。2、我們的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)目的，在使馬達(dá)的轉(zhuǎn)動(dòng)提供偏心圓柱對(duì)單擺每一週期2次的垂直改變單擺上、下位置的改作用。也相同和盪鞦韆每擺動(dòng)一次身體改變兩次的身體體姿

11、勢(shì)。3、由馬達(dá)的持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，並開(kāi)始擺動(dòng)後單擺持續(xù)的擺動(dòng)，我們推論盪鞦韆可以越盪越高，可能是來(lái)自人體姿勢(shì)的改變所獲的能量。4、由重心的觀念中，我們知道人體姿勢(shì)的改變，相物對(duì)於地面的重心位置高度也會(huì)產(chǎn)生改變,並且由位能觀念知道重心的改變，相對(duì)位能也改變，其持續(xù)擺動(dòng)或越擺越大角度之能量自位能的轉(zhuǎn)換。實(shí)驗(yàn)2-5： 由盪鞦韆，彈簧振動(dòng)一擺動(dòng)模型實(shí)驗(yàn)，及2-4偏心圓軸帶動(dòng)單擺都觀察到會(huì)使擺動(dòng)角度加大，我們也由實(shí)驗(yàn)2-4實(shí)驗(yàn)討論得到一切的擺動(dòng)能量均因質(zhì)心位置的,但質(zhì)心位置的改變又如何能促成振動(dòng)能量的轉(zhuǎn)換成擺動(dòng)能量，我們繼續(xù)這部分的探討?。ㄒ唬?、步驟1繪製盪鞦韆擺動(dòng)分析圖2以動(dòng)能、位能的轉(zhuǎn)換原理分析說(shuō)明（二）、

12、結(jié)果圖三：盪鞦韆時(shí)身體姿勢(shì)沒(méi)有變化（三）討論:1、使擺動(dòng)角度不變大的身體姿勢(shì)改變。如圖三(1)、身體姿勢(shì)固定盪鞦韆,如圖示A點(diǎn)的擺動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)A點(diǎn)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換成位能， 動(dòng)能位能，公式:1/2×m×V2=mgh；hV2/2g 因身體姿勢(shì)沒(méi)有改變，所以單擺重心位置仍然在mc1處，故單擺由A到B處仍然上升h公分。擺動(dòng)一段時(shí)間後，因沒(méi)有增加新的能量輸入,故因空氣阻尼的摩擦等作用，終於停止擺動(dòng)。（2）、若身體姿勢(shì)不變，則同上分析身體重心由mc1擺到mc2，擺動(dòng)上升距離h,因全部動(dòng)能以全部轉(zhuǎn)換成位能,因此開(kāi)始擺動(dòng)之角度,已經(jīng)是擺動(dòng)過(guò)程中最大角度,且又沒(méi)有外加的能量,最後,因摩擦力、空氣

13、阻力等因素使鞦韆擺動(dòng)角度越來(lái)越小,終於停止。2、使擺動(dòng)角度變大的身體姿勢(shì)改變當(dāng)盪鞦韆擺動(dòng)時(shí)，身體姿勢(shì)的交替位置如圖四、五示（1）、但若因上擺過(guò)程中，我們分析發(fā)現(xiàn)在最低點(diǎn)A位置時(shí)雙腿伸直，身體直立，身體重心位置在mc1，當(dāng)由A擺置B位置中，雙腿彎曲，身體後傾，到身體重心位置將由mc2下降h距離到mc3位置，但A點(diǎn)的動(dòng)能只能使單擺上升h,故mc3必須再上升h才能使動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換成位能，因此擺動(dòng)角度加大，21。如圖四示圖五：擺角角度變小的擺動(dòng)姿勢(shì)改變圖四：擺角角度變大的擺動(dòng)姿勢(shì)改變圖四：擺角角度變大的擺動(dòng)姿勢(shì)改變（2）、盪鞦韆由B位置回到A位置時(shí)必須由人自行施力，雙腿抬高伸直，身體上仰，身體重心位置又

14、上升h回到mc1位置則人對(duì)盪鞦韆輸入正功mgh，增加能量以作為A到C位置時(shí)，增大擺動(dòng)角度之能量如此交替所以鞦韆越盪越高。（3）、但若因上擺過(guò)程中，我們分析發(fā)現(xiàn)在最低點(diǎn)A位置時(shí)雙腿下垂，身體直立，身體重心位置在mc1，當(dāng)由A擺置B位置中，雙腿伸直，身體上仰，到身體重心位置將由mc2上升h距離到mc3位置，但A點(diǎn)的動(dòng)能只能使單擺上升h,故mc3必須再下降h才能使動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換成位能，因此擺動(dòng)角度加大，21。如圖五示（4）、這樣的分析，符合了前面2-1、2-2、2-4實(shí)際的操作觀察結(jié)果（5）、綜合本實(shí)驗(yàn)分析,我們可將盪鞦韆、彈簧振動(dòng)擺動(dòng)及馬達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)偏心圓軸其重心位置之改變作一相似之對(duì)照。盪鞦韆彈簧振動(dòng)一

15、擺動(dòng)模型馬達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)偏心轉(zhuǎn)之?dāng)[動(dòng)重心位置之改變盪鞦韆者自行改變姿勢(shì)懸掛在彈簧上之物,上下振動(dòng)偏心圓軸帶動(dòng)單擺上下之振動(dòng)實(shí)驗(yàn)2-6：彈簧振動(dòng)與擺動(dòng)交替的探討一、由實(shí)驗(yàn)過(guò)程中我們觀察盪鞦韆,彈簧振動(dòng)擺動(dòng)及馬達(dá)帶動(dòng)偏心圓軸帶動(dòng)擺動(dòng),三種實(shí)驗(yàn)操作中,能量的輸入形式分別為 實(shí)驗(yàn)組別開(kāi)始能量輸入能量輸入之持續(xù)性盪鞦韆人體重心改變是（身體姿勢(shì)將變化）彈簧振動(dòng)一擺動(dòng)彈簧的伸張是（彈簧上下振動(dòng)）馬達(dá)偏心圓軸帶動(dòng)擺動(dòng)馬達(dá)偏心圓軸的拉伸力是（馬達(dá)持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)）二、由25的分析探討中我們了解由於重心位置配合擺動(dòng)頻率的交替改變,產(chǎn)生能量來(lái)使擺動(dòng)角度變大,但是由彈簧振動(dòng)擺動(dòng)交替的實(shí)驗(yàn)操作中及馬達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)偏心圓軸的擺動(dòng)實(shí)驗(yàn)中,我們?nèi)匀?/p>

16、發(fā)現(xiàn)擺動(dòng)角度定由小大小大,如此交替的改變,而擺角度又如何會(huì)有如此大小的交替呢?實(shí)在是很有趣!讓我們繼續(xù)探討!（一）、步驟1、觀察彈簧振動(dòng)擺動(dòng)模型,在振動(dòng)與擺動(dòng)交替作用時(shí)之運(yùn)動(dòng)狀況.並以圖形表示。2、以彈簧位能與單擺動(dòng)位能之相互轉(zhuǎn)換分析。（二）、結(jié)果：如圖十、十一、十二示（三）、討論1、由操作實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn),彈簧未產(chǎn)生擺動(dòng)時(shí),振動(dòng)振幅最大,當(dāng)擺角漸漸增大時(shí),振動(dòng)振幅漸漸減小,當(dāng)擺角最大時(shí),彈簧停止振動(dòng),即彈簧位能變成擺動(dòng)位能。2、由前面實(shí)驗(yàn)2-6統(tǒng)計(jì);知道,彈簧振動(dòng)擺動(dòng)的操作能量是由拉伸了彈簧開(kāi)始輸入,整個(gè)能量在振動(dòng)一擺動(dòng)間交替轉(zhuǎn)換,沒(méi)有再增加,終因空氣阻力而停止。3、當(dāng)擺角最大時(shí),彈簧位能全部轉(zhuǎn)

17、換成擺動(dòng)位能,而當(dāng)由最高點(diǎn)向下擺動(dòng)時(shí),彈簧振幅加大,而擺動(dòng)位能又部分轉(zhuǎn)換成彈簧位能,而擺角又開(kāi)始變小,最後,全部變成彈簧位能,只有振動(dòng)沒(méi)有擺動(dòng),繼續(xù)又依實(shí)驗(yàn)2-5之說(shuō)明因重心位置的交替作用,開(kāi)始加大擺動(dòng)角度。4、振動(dòng)振幅與擺動(dòng)振幅之變化實(shí)驗(yàn)2-7：偏心圓柱垂直運(yùn)動(dòng),形成擺動(dòng)的共振,由實(shí)驗(yàn)2-4實(shí)驗(yàn)結(jié)果,我們知道偏心圓柱之轉(zhuǎn)速,(也就是說(shuō)上下運(yùn)動(dòng)的頻率)是2倍擺動(dòng)頻率時(shí),會(huì)產(chǎn)生擺動(dòng)共振使擺角越來(lái)越大,但實(shí)驗(yàn)時(shí),不是每次都能如此,因此我們?cè)?觀察兩種不同操作結(jié)果的不同。（一）、步驟：1、使偏心圓柱,由如圖七示之位置啟動(dòng),並同時(shí)啟動(dòng)馬達(dá)釋放單擺,觀察擺動(dòng)情形2、使偏心圓柱,由如圖八示之位置啟動(dòng),並同

18、時(shí)釋放單擺,觀察擺動(dòng)情形 圖八：由高點(diǎn)釋放後單擺重心下降圖七：由低點(diǎn)釋放後單擺重心上升圖九：馬達(dá)帶動(dòng)偏心圓柱帶動(dòng)單擺重心上下（二）、結(jié)果：1、由圖七示，啟動(dòng)馬達(dá)後之單擺角度越擺越大,但達(dá)某一最大擺角之後,擺角又漸漸變小,之後行程擺角由大小大小交替變化。2、由圖八示啟動(dòng)馬達(dá)後之單擺角度變化與圖七相同。（三）、討論：1、由圖七所示的擺動(dòng),如同實(shí)驗(yàn)25的分析,每次再最低點(diǎn)位置時(shí)單擺被偏心圓柱上提上高點(diǎn),而上擺時(shí),偏心圓柱下放單擺而使單擺質(zhì)心下降,使擺動(dòng)角度變大,而因馬達(dá)持續(xù)旋轉(zhuǎn),持續(xù)對(duì)單擺輸入能量,因此單擺角度應(yīng)持續(xù)加大,才是這與盪鞦韆時(shí)在最低點(diǎn),將腿垂直,身體上仰而往上盪時(shí),腿伸直,身體下傾,重心

19、提升相同。但是實(shí)際觀察結(jié)果卻是擺角大、小交替變化,與實(shí)驗(yàn)25的能量轉(zhuǎn)換不符,因此我們?cè)龠M(jìn)一步實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn),如圖九示,當(dāng)擺動(dòng)角度大時(shí),因偏心位移,對(duì)單擺之振動(dòng)作用減少,而使擺動(dòng)角度變小,後又變大如此交替。2、由圖八所示的擺動(dòng),每次在單擺上擺時(shí),單擺被偏心圓柱下放至最低點(diǎn)。而單擺下擺時(shí),偏心圓柱上提單擺,而使單擺質(zhì)心上提,因此擺角應(yīng)該越來(lái)越小,但是實(shí)際操作上又與圖七相同,擺角仍然是大小的交替作用,如此與實(shí)驗(yàn)25的分析不同,我們想進(jìn)依步實(shí)驗(yàn)觀察,但是因馬達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)及擺動(dòng)很快,我們無(wú)法明確的掌握運(yùn)動(dòng)的相位,所以無(wú)法驗(yàn)證,指只是猜測(cè)可能是滑動(dòng)造成相位的不確定吧!3、圖七和圖八的實(shí)驗(yàn)操作表示,振動(dòng)與擺動(dòng)的共振

20、,除了頻率要成2倍關(guān)係外,振動(dòng)的相位更是關(guān)鍵因素 。實(shí)驗(yàn)28：彈簧振動(dòng)擺動(dòng)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦\(yùn)動(dòng)型式的再探討由實(shí)驗(yàn)操作中,我們觀察到,振動(dòng)頻率為2倍擺動(dòng)頻率時(shí),振動(dòng)與擺動(dòng)的交替,只發(fā)生在鉛直位置的振動(dòng)開(kāi)始,其他位置則不會(huì)發(fā)生,如下圖十、十一、十二示:二結(jié)果：（見(jiàn)實(shí)作錄影檔實(shí)驗(yàn)28.avi）圖十 圖十一 圖十二三討論:1、圖十一單擺運(yùn)動(dòng)方式相同於實(shí)驗(yàn)25、27的：因擺錘由B點(diǎn)下降到A點(diǎn)時(shí),彈簧伸張下垂,重心下降,而到達(dá)C點(diǎn)時(shí)彈簧收縮,重心上提,依實(shí)驗(yàn)25的分析相同,所以不能產(chǎn)生能量振動(dòng)與擺動(dòng)的交替,只有左右擺動(dòng)終於因空氣阻力而停止 ;因此擺動(dòng)角度越來(lái)越小2、圖十和圖十二的運(yùn)動(dòng)型式相同,但圖十的單擺會(huì)產(chǎn)生振

21、動(dòng)與擺動(dòng)交替運(yùn)動(dòng),圖十二卻很奇怪!我們比較了操作的差異,發(fā)現(xiàn)只有起始位置與拉伸彈簧的差別了,但釋放後的整個(gè)運(yùn)動(dòng)型式完全相同圖十,在鉛直位置拉伸彈簧,使振動(dòng)引起擺動(dòng)共振,使擺動(dòng)加大,(實(shí)驗(yàn)24,及25中證明),但圖十二的單擺傾斜一擺角並拉伸了彈簧後釋放,彈簧有上下的振動(dòng)及擺動(dòng)連續(xù)作用,但沒(méi)有振動(dòng)擺動(dòng)交替作用。3.我們?cè)敿?xì)觀察發(fā)現(xiàn),實(shí)際上,彈簧的振動(dòng)變化也是有大小大小的變化,由實(shí)驗(yàn)2-5的分析表示的能量應(yīng)該也有轉(zhuǎn)換成位能使擺角度變大,再加上原來(lái)的單擺偏轉(zhuǎn)的位能,使擺動(dòng)持續(xù)進(jìn)行,而不會(huì)振動(dòng)擺動(dòng)交替。實(shí)驗(yàn) 29：由能量與運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的觀察,我們知道,振動(dòng)與擺動(dòng)的交替現(xiàn)象,是能量交替?zhèn)鬏數(shù)慕Y(jié)果,並且由實(shí)驗(yàn)2

22、8中我們發(fā)現(xiàn),這種能量的傳輸也必須具備共振的條件,因而我們想進(jìn)一步探討能量交替?zhèn)鬟f與共振之關(guān)係。（一）：步驟：（見(jiàn)實(shí)作錄影檔實(shí)驗(yàn)29.avi）1、相同頻率之彈簧,懸掛於強(qiáng)力橡皮筋上,如圖十三示 2、振動(dòng)右側(cè)的彈簧,觀察兩側(cè)彈簧振動(dòng)狀況3、觀察橡皮筋擺動(dòng)變化情形4、改變兩彈簧之間距,重複步驟2、3之操作5、改變另一彈簧之頻率條件,如圖示,重複步驟2、3、4之操作圖十三二結(jié)果F1F2間隔距離主動(dòng)件共振情形交替週期(秒/次)84次/分84次/分8cm右單擺左右動(dòng)靜交替運(yùn)動(dòng)5秒84次/分84次/分13cm右單擺左右動(dòng)靜交替運(yùn)動(dòng)7秒84次/分84次/分18cm右單擺左右動(dòng)靜交替運(yùn)動(dòng)14秒84次/分66次

23、/分10cm右單擺右單擺持續(xù)振動(dòng)、左單擺週期性動(dòng)靜交替振動(dòng)5 秒84次/分66次/分10cm左單擺左單擺持續(xù)振動(dòng)、右單擺週期性動(dòng)靜交替振動(dòng)5 秒三討論:1、當(dāng)相同頻率的彈簧可透過(guò)橡皮筋產(chǎn)生能量的交替?zhèn)鬟f,由實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)兩彈簧懸吊之間隔距離越大時(shí),能量交替的頻率就越慢,可見(jiàn)兩共振體間隔距離影響能量傳遞的頻率。2、頻率不同的彈簧,主動(dòng)彈簧只會(huì)產(chǎn)生能量部分傳遞,無(wú)論是左或是右件彈簧主動(dòng)時(shí),主動(dòng)件會(huì)持續(xù)振動(dòng),而間諧性的把部分能量遞給被動(dòng)彈簧,若兩頻率差距越大時(shí), 產(chǎn)生能量的傳遞越小。3、由以上觀察我們發(fā)現(xiàn)能量傳遞是藉由橡皮筋傳遞，因此在能量傳遞的交替變化現(xiàn)象也可從橡皮筋的運(yùn)動(dòng)變化看出。F1F21234

24、160次/分60次/分60次/分72次/分右例 f1（次/分）78787878左例 f2（次/分）72666060能量交替?zhèn)鬟f次序（次/分）11161919圖十四：頻率不同之振動(dòng)體4、橡皮筋固定在兩端,因此中間懸掛彈簧振動(dòng)時(shí),形成半波波動(dòng),當(dāng)(1)、兩頻率相等時(shí),f1=f2,橡皮筋的上、下頻率受主動(dòng)彈簧的控制,若A點(diǎn)彈簧主動(dòng),則橡皮筋振動(dòng)頻率與A點(diǎn)彈簧相同,A點(diǎn)彈簧下拉後釋放,則彈簧上振橡皮筋上彈,此時(shí)B點(diǎn)橡皮筋鬆弛,因此B點(diǎn)彈簧下振,而形成A.B兩點(diǎn)振動(dòng)方向相反,其持續(xù)進(jìn)行使B點(diǎn)振動(dòng)越來(lái)越大,而A點(diǎn)越來(lái)越小,因兩側(cè)頻率相同,但方向(向?yàn)橄嗖?80度)相反,所以A點(diǎn)能量漸漸傳至B點(diǎn)彈簧,終於靜

25、止,當(dāng)A點(diǎn)靜止B點(diǎn)振幅最大時(shí),B點(diǎn)也同上述原理在反方向傳回A點(diǎn),如此交替循環(huán),F1=F橡皮筋 =F2。如圖十五(2)、兩頻率不相等時(shí),F1不等於F2,當(dāng)A點(diǎn)振動(dòng)時(shí),引起橡皮筋振動(dòng)頻率與A點(diǎn)彈簧相同,但與B點(diǎn)彈簧的震動(dòng)頻率不同,因此不會(huì)產(chǎn)生共振,所以B點(diǎn)彈簧只有在A.B兩點(diǎn)彈簧頻率最小公倍數(shù)的情況下才會(huì)產(chǎn)生些微振動(dòng),因此,B點(diǎn)產(chǎn)生間諧性振動(dòng),而A點(diǎn)彈簧能量不會(huì)全部傳至B點(diǎn),而A點(diǎn)彈簧持續(xù)振動(dòng)。如圖十六、十七示圖十七：頻率不相等時(shí)，左邊主動(dòng)時(shí)，左邊連續(xù)振動(dòng)，右邊動(dòng)、靜交替振動(dòng)、 圖十六：頻率不相等時(shí)，右邊主動(dòng)時(shí)，右邊連續(xù)振動(dòng)，左邊動(dòng)、靜交替振動(dòng)、圖十五：頻率相等時(shí)左右交替振動(dòng)伍.結(jié)論:1、盪鞦韆可以