函數(shù)值域的求法

1、 襄陽(yáng)五中 何宇飛 函數(shù)的值域一、課題：函數(shù)的值域二、教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)值域的意義；掌握常見(jiàn)題型求值域的方法，了解函數(shù)值域的一些應(yīng)用三、教學(xué)重點(diǎn)：求函數(shù)的值域四、教學(xué)過(guò)程：在函數(shù)概念的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)法則是最基本的，值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定，因此，研究值域仍應(yīng)注重函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的作用和定義域?qū)χ涤虻闹萍s，以下試舉例說(shuō)明常用方法.1.對(duì)函數(shù)值域的理解（一）主要知識(shí)：1函數(shù)的值域的定義；2確定函數(shù)的值域的原則；3求函數(shù)的值域的方法（二）主要方法（范例分析以后由學(xué)生歸納）： 求函數(shù)的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判別式法，基本不等式法，逆求法（反函數(shù)法），換元法，圖像法，利用函數(shù)的單

2、調(diào)性、奇偶性求函數(shù)的值域等（三）例題分析：例1求下列函數(shù)的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法），的值域?yàn)楦念}：求函數(shù)，的值域解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為函數(shù)，的值域?yàn)椋?）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為 又，故，的值域?yàn)椋?）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域?yàn)?，原函?shù)的值域?yàn)椋ǚǘ┓蛛x變量法：，函數(shù)的值域?yàn)椋?）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，原函數(shù)可化為，原函數(shù)值域?yàn)檎f(shuō)明：總結(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：，設(shè)，則，原函

3、數(shù)的值域?yàn)椋?）數(shù)形結(jié)合法：，函數(shù)值域?yàn)椋?）判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)橛傻茫?當(dāng)即時(shí)，即，當(dāng)即時(shí)，時(shí)方程恒有實(shí)根，且，原函數(shù)的值域?yàn)椋?），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，原函數(shù)的值域?yàn)椋?）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，（其中），原函數(shù)的值域?yàn)椋ǚǘ?shù)形結(jié)合法：可看作求點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的連線的斜率的范圍，解略例2若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：原方程可化為，令，則，又在區(qū)間上是減函數(shù)，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：例3（高考計(jì)劃考點(diǎn)9，智能訓(xùn)練16）某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2003年度進(jìn)行一系列的促銷活動(dòng)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元之間滿足

4、：與成反比例；如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬(wàn)件已知2003年，生產(chǎn)化妝品的固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投入32萬(wàn)元當(dāng)將每件化妝品的售價(jià)定為“年平均每件成本的150”與“年平均每件所占促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年產(chǎn)銷量相等（1）將2003年的年利潤(rùn)萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)萬(wàn)元的函數(shù)；（2）該企業(yè)2003年的促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？（注：利潤(rùn)收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)）解：（1）由題設(shè)知：，且時(shí)，即，年生產(chǎn)成本為萬(wàn)元，年收入為年利潤(rùn)，（2）由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值當(dāng)促銷費(fèi)定為萬(wàn)元時(shí)，年該化妝品企業(yè)獲得最大利潤(rùn)（四）鞏固練習(xí)：1函數(shù)的值域?yàn)?若函數(shù)在上的最大值與最

5、小值之差為2，則五、課后作業(yè)：高考計(jì)劃考點(diǎn)1，智能訓(xùn)練3，4，9，12，13，14函數(shù)的值域例題分析在函數(shù)概念的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)法則是最基本的，值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定，因此，研究值域仍應(yīng)注重函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的作用和定義域?qū)χ涤虻闹萍s，以下試舉例說(shuō)明常用方法.1.對(duì)函數(shù)值域的理解例：求下列函數(shù)的值域(1)y12x （xR）(2)yx1 x2，1，0，1，2(3)yx24x3 （3x1）(4)yx1x2(5)y2x3(6)y(7)y(8)y(9)y32xx2 x3，1(10)y分析：求函數(shù)的值域應(yīng)確定相應(yīng)的定義域后再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算確定其值域.對(duì)于(1)(2)可用“直接法”根據(jù)它

6、們的定義域及對(duì)應(yīng)法則得到(1)(2)的值域.對(duì)于(3)(4)可借助數(shù)形結(jié)合思想利用它們的圖象得到值域，即“圖象法”.對(duì)于(5)(6)可借用整體思想利用“換元法”求得值域.對(duì)于(7)可將其分離出一個(gè)常數(shù)，即利用“分離常數(shù)法”求得它的值域.對(duì)于(8)可通過(guò)對(duì)“”的分析，即利用“判別式”法求得其值域.對(duì)于(9)(10)可“通過(guò)中間函數(shù)的值域去求所求函數(shù)的值域”這一方法即“中間媒介法”求得其值域.解：(1)yR(2)y1，0，1(3)畫(huà)出yx24x3（3x1）的圖象，如圖所示，當(dāng)x3，1時(shí)，得y1，8(4)對(duì)于yx1x2的理解，從幾何意義入手，即利用絕對(duì)值的幾何意義可知，x1表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)

7、1的距離，x2表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)2的距離，在數(shù)軸上任取三個(gè)點(diǎn)xA1，1xB2，xCc，如圖所示，可以看出xA1xA233xB1xB23，xC1xC23，由此可知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有3x1x23所以函數(shù)yx1x2的值域?yàn)閥3，3(5)對(duì)于沒(méi)有給定自變量的函數(shù)，應(yīng)先考查函數(shù)的定義域，再求其值域.4x130 x，)令t則得：xyt2t y（t1）23x t0根據(jù)二次函數(shù)圖象可得y，)(6)函數(shù)定義域?yàn)閤R由原函數(shù)可化得：y令txR t(0，1y5t2t15（t）2根據(jù)二次函數(shù)的圖象得當(dāng)t時(shí)ymin當(dāng)t1時(shí)，ymax5函數(shù)的值域?yàn)閥，5(7)y0y函數(shù)y的值域?yàn)閥（，）（，）(8)由y得xR

8、且可化為：（2y1）x22（y1）x（y3）0當(dāng)y時(shí)，2（y1）24（2y1）（y3）0y23y404y1且y又當(dāng)y時(shí)，2（1）x（3）0得：x，滿足條件函數(shù)的值域?yàn)閥4，1(9)3x12x12x12即（x1）24y32xx2（x1）240，4函數(shù)值域?yàn)閥0，4(10)由y可知，xR且yx22y3x21即（3y）x22y1若y3時(shí)，則有07，這是不可能的.y3得：x2 x20 0解得：y3函數(shù)值域?yàn)閥，3)評(píng)述：（1）求函數(shù)的值域是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，它沒(méi)有現(xiàn)成的方法可套用，要結(jié)合函數(shù)表達(dá)式的特征，以及與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系，靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?（2）對(duì)于以上例題也可以采取不同的方法求解每一個(gè)值域，

9、請(qǐng)讀者不妨試一試.（3）除以上介紹的方法求函數(shù)值域外，隨著學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí)，我們今后還會(huì)有“反函數(shù)”法、“單調(diào)性”法、“三角換元”法、“不等式”法及“導(dǎo)數(shù)法”等.2.2函數(shù)的值域【復(fù)習(xí)目標(biāo)】會(huì)用配方法、換元法、判別式法、分拆法、圖象法等方法求函數(shù)的值域；滲透分類討論與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。【重點(diǎn)難點(diǎn)】在定義域上求函數(shù)值域的解題意識(shí)【課前預(yù)習(xí)】1定義在R上的函數(shù)的值域?yàn)閍，b，則函數(shù)的值域?yàn)?（ ）（A）2a，a+b （B）0，ba （C）a，b （D）a，a+b2函數(shù)的值域是 。3函數(shù)y=2的值域是 （ ）A2,2 B1,2 C0,2 D , 4函數(shù)（）的值域是 .【典型例題】例1 求下列函數(shù)的值域：（1）y= （2） （3） （4） （5）例2 若函數(shù)y=x23x4的定義域?yàn)?,m，值域?yàn)?，則m的取值范圍是（ ） A B ,4 C ,3 D ,+例3 已知函數(shù)的值域?yàn)?，3，求實(shí)數(shù)的值?！眷柟叹毩?xí)】1函數(shù)的值域是 ；2函數(shù)