圓錐曲線軌跡問題

1、建設(shè)現(xiàn)代化(檢驗(yàn))有關(guān)圓錐曲線軌跡問題根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這是解析幾何的一大課題：一方面求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對(duì)方程的研究來認(rèn)識(shí)曲線的性質(zhì)；另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材。該內(nèi)容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學(xué)的全過程，而且在建構(gòu)思想、函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等方面均有體現(xiàn)和滲透。軌跡問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和重點(diǎn)，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，特別是當(dāng)今高考的改革以考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點(diǎn)，常涉及函數(shù)、三角、向量、

2、幾何等知識(shí)，能很好地反映學(xué)生在這些能力方面的掌握程度。求軌跡方程的的基本步驟：建設(shè)現(xiàn)代化（檢驗(yàn)）建（坐標(biāo)系）設(shè)（動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)）現(xiàn)（限制條件，動(dòng)點(diǎn)、已知點(diǎn)滿足的條件）代（動(dòng)點(diǎn)、已知點(diǎn)坐標(biāo)代入）化（化簡(jiǎn)整理）檢驗(yàn)（要注意定義域“挖”與“補(bǔ)”）求軌跡方程的的基本方法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。1直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法；例1、已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q（2，0），圓C的方程為，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡?！窘馕觥吭O(shè)MN切圓C于N，則。

3、設(shè),則 化簡(jiǎn)得（1） 當(dāng)時(shí)，方程為，表示一條直線。（2） 當(dāng)時(shí)，方程化為表示一個(gè)圓。如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線（分別為切點(diǎn)），使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.由已知，得.因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以.設(shè)，則，即.(或)評(píng)析：1、用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建系,設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補(bǔ)”。2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。2定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義

4、出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。例2、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；【解析】如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；已知圓O的方程為 x2+y2=100,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），M為圓O上任一點(diǎn)，AM的垂直平分線交OM于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的方程。【解析】由中垂線知，故，即P點(diǎn)的軌跡為以A、O為焦點(diǎn)的橢圓，中心為（-3，0），故P點(diǎn)的方程為已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于

5、點(diǎn)A，又過B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解析】設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點(diǎn)， 兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓， 以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系， 可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：l O ' PE D C B A 評(píng)析：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡

6、的定義條件。 三、相關(guān)點(diǎn)法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然而得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例3、如圖，從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x1,y1）則N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1

7、+2y-y1=2又PQ垂直于直線x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0由解方程組得, 代入雙曲線方程即可得P點(diǎn)的軌跡方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足求點(diǎn)T的軌跡C的方程；【解析】解法一：（相關(guān)點(diǎn)法）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此由得將代入，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是解法二：（幾何法）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由

8、，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是評(píng)析：一般地：定比分點(diǎn)問題，對(duì)稱問題或能轉(zhuǎn)化為這兩類的軌跡問題，都可用相關(guān)點(diǎn)法。四、參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AOBO（如圖4所示）.求AOB的重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；【解析】解法一：以O(shè)A的斜率k為參數(shù)由解得A（k，k2）OAOB，OB：由解得B設(shè)AOB的重心G（x，

9、y），則消去參數(shù)k得重心G的軌跡方程為解法二：設(shè)AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則（1）OAOB ,即，(2)又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡(jiǎn)得所以重心為G的軌跡方程為。如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).求APB的重心G的軌跡方程.【解析】設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為：切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：評(píng)析：1.用參數(shù)法求軌跡是高考中?？嫉闹匾}型，由于選參靈活，技巧性強(qiáng)，也是

10、學(xué)生較難掌握的一類問題。 2.選用什么變量為參數(shù)，要看動(dòng)點(diǎn)隨什么量的變化而變化，常見的參數(shù)有：斜率、截距、定比、角、點(diǎn)的坐標(biāo)等。 3.要特別注意消參前后保持范圍的等價(jià)性。 4.多參問題中，根據(jù)方程的觀點(diǎn)，引入 n 個(gè)參數(shù)，需建立n+1個(gè)方程，才能消參（特殊情況下，能整體處理時(shí)，方程個(gè)數(shù)可減少）。 五、交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。例5 、拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡。解1（交軌法）：點(diǎn)A、B在拋物線

11、上，設(shè)A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 又OM的方程為由消去得yA+yB即得，即得。所以點(diǎn)M的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓,除去點(diǎn)（0，0）。評(píng)析：用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。解2（幾何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 可得AB過定點(diǎn)（

12、4p,0）而OM垂直AB，所以由圓的幾法性質(zhì)可知：M點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。所以方程為，除去點(diǎn)（0，0）。五、向量法：圖6例6 、（1995全國(guó)理）已知橢圓如圖6，1，直線L：1，P是L上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在L上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線總結(jié)：以上給出了處理軌跡問題的幾種常用方法，對(duì)于下面幾點(diǎn)，在復(fù)習(xí)軌跡問題時(shí)是值得我們引起高度重視的：1.高考方向要把握高考考查軌跡問題通常是以下兩類：一類是容易題，以定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法等為主，另一類是高難度的純軌跡問題，綜合考查各種方法。2.“軌跡”

13、、“方程”要區(qū)分求軌跡方程，求得方程就可以了；若是求軌跡，求得方程還不夠，還應(yīng)指出方程所表示的曲線類型（定形、定位、定量）。3.抓住特點(diǎn)選方法處理軌跡問題成敗在于：對(duì)各種方法的領(lǐng)悟與解題經(jīng)驗(yàn)的積累。所以在處理軌跡問題時(shí)一定要善于根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄊ裁辞闆r下用什么方法上面已有介紹，這里不再重復(fù)）。4.認(rèn)真細(xì)致定范圍確定軌跡的范圍是處理軌跡問題的難點(diǎn)，也是學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，在確定軌跡范圍時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面： 準(zhǔn)確理解題意，挖掘隱含條件； 列式不改變題意，并且要全面考慮各種情形；推理要嚴(yán)密，方程化簡(jiǎn)要等價(jià)； 消參時(shí)要保持范圍的等價(jià)性； 數(shù)形結(jié)合，查“漏”補(bǔ)“缺”。5. 平幾知識(shí)

14、“用當(dāng)先” 在處理軌跡問題時(shí)，要特別注意運(yùn)用平面幾何知識(shí)，其作用主要有：題中沒有給出明顯的條件式時(shí)，可幫助列式；簡(jiǎn)化條件式；轉(zhuǎn)化化歸。6.向量工具“用自如” 向量是新課改后增加的內(nèi)容，它是數(shù)形轉(zhuǎn)化的紐帶，它在初等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中起著十分重要的工具作用，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握，并能運(yùn)用自如。鞏固練習(xí)：1. 點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到直線x=4的距離的比為2, 則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 ( ). A. B. C. 3x2-y2-34x+65=0 D. 3x2-y2-30x+63=0(目的: 掌握直接法求軌跡方程的基本思路及步驟, 同時(shí)掌握雙曲線第二定義, 避免錯(cuò)誤使用)答

15、案: D 解析: , 兩邊平方即得3x2-y2-30x+63=02 . P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn), 作PDy軸, D為垂足, 則PD中點(diǎn)的軌跡方程為( ). A. B. C. D. (目的: 掌握代入法求軌跡方程的基本思路及步驟, 理解其適用的題型) 答案: D 解析: 設(shè)PD中點(diǎn)為M(x, y), 則P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x,y), 代入方程, 即得.3. 已知雙曲線,(a>0,b>0), A1、A2是雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn), MN是垂直于實(shí)軸所在直線的弦的兩個(gè)端點(diǎn), 則A1M與A2N交點(diǎn)的軌跡方程是( ). A. B. C. D. (目的: 熟悉參數(shù)法求軌跡方程的基本思路, 理解相交點(diǎn)軌跡方程的

16、解題技巧)答案: A解析: 設(shè) M(x1, y1),N(x1, -y1), A1M與A2N交點(diǎn)為P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0), 則A1 M的方程是,A2M的方程是, 兩式相乘, 結(jié)合即得.4. 拋物線的準(zhǔn)線l的方程是y=1, 且拋物線恒過點(diǎn)P (1,-1), 則拋物線焦點(diǎn)弦的另一個(gè)端點(diǎn)Q的軌跡方程是( ). ( B ) A. (x-1)2=-8(y-1) B. (x-1)2=-8(y-1) (x1) C. (y-1)2=8(x-1) D. (y-1)2=8(x-1) (x1)(目的: 認(rèn)識(shí)到用定義法求軌跡方程能減少運(yùn)算量, 是重要的解題方法)答案: B 解析: 設(shè)焦點(diǎn)為F, Q(x,y), 則由拋物線定義得: , 化簡(jiǎn)即得 5. ABC中, A(0,-2), B(0,2), 且成等差數(shù)列, 則C點(diǎn)的軌跡方程是 . (目的: 求曲線方程應(yīng)注意根據(jù)題意檢驗(yàn)方程的完整性)答案: 解析: , 知: C點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn), 且2a=8的橢圓6. 若