第12講巧解圓的周長和面積（二）

1、 才子教育 小學奧數(shù)系列第12講 巧解圓的周長和面積（二）（1） 圓上任意一點到圓心的距離相等。（2） 圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。（3） 圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)，圓周率是圓周長c與直徑d的比值=。（4） 圓的面積S=r2，這一公式的得來是用等分圓周逼近法求出來 的。（5） 扇形是圓的一部分，圓心角是n度的扇形面積公式為S扇形=.n先把圓周長2r分成360份，每份長，所以圓心角為n度的扇形的弧長為AB= n = n。例1、兩條爬行動物速度相同的小小蟲同時從起點出發(fā)，分別沿A、B兩條拍到爬行（如右圖），其起點部分于終點部分都是直道，中間繞過的是半圓形道。如果跑道每道

2、寬122米，要使它們同時到達各自的終點與跑道A的終點相距多少米？解：設(shè)跑道A的半徑為R米，那么跑道B的半徑為（R+122）米，在半圓部分產(chǎn)生了差距。跑道A的半圓周長為R米，跑道不B的半圓周長為（R+122）米兩個半圓的長度差為（R+122）-R=×122383（米），這就是跑道A、B相距的距離。答：跑道B的終點應(yīng)與跑道A的終點相距383米。做一做：赤道是地球的“腰帶”，它長約4萬千米，如果這條想象的“長帶”離開地球表面2米，那么，它會比原來長出多少米？例2、如右下圖，如果四個圓的半徑為1厘米，求：（1）陰影部分的總面積。（2）四個圓蓋住的總面積。分析與解 （1）圖中陰影部分是由四個圓

3、的重疊部分形成的，這四個圓的四條直徑圍成個正方形，四個半圓的面積之和減去正方形的面積，就是陰影部分的面積:2××-22=2-4=228（厘米2）(2)四個圓蓋住的總面積=4S圓 S陰=4××12-228=1256-228=1028（厘米2）答：陰影部分的總面積為057（厘米2），四個圓蓋住的總面積為1028（厘米2）。做一做：求右下圖中陰影部分與大圓的面積之比和周長之比。例3、如右圖，其中圓的周長等于正三角形的一條邊的邊長。該圓沿著三角形外周滾動一周，問：圓自轉(zhuǎn)了多少圈？解：在每條邊上各一圈，共3圈；在每個角上各轉(zhuǎn)圈，共轉(zhuǎn)1圈；總共轉(zhuǎn)3+1=4(圈)。做

4、一做：桌上放置著大小一樣的兩枚硬幣，其中一枚硬幣固定不動，另外一枚硬幣沿著定幣的外緣做無滑動的滾動。當動幣繞著定幣滾動一周之后，動幣自動轉(zhuǎn)了幾圈？例4、如下圖所示，一個圓正在五角星形的外側(cè)，從A處開始做于正五角形的變相切（即緊靠邊）的滾動。如果BC長度等于圓周長，問：當此圓滾動回到原出發(fā)點時（包括自轉(zhuǎn)）共轉(zhuǎn)了幾圈？解：正五角星形每個角都是36°，沒轉(zhuǎn)過一個角，圓要轉(zhuǎn)=圈，轉(zhuǎn)5個角，合2圈；同時又要轉(zhuǎn)10條邊，總計12圈。另外，當圓處在如果在如圖的D、A、B位置時，圓并沒有轉(zhuǎn)過線段DA和，所以在凹角處，圓沒有轉(zhuǎn)圈。因此，圓總計轉(zhuǎn)（圈）。做一做：如右圖，若一個圓的周長等于一個正方形的邊長

5、，將此圓繞著正方形外側(cè)滾動一周，則圓轉(zhuǎn)了幾圈？例、如下圖，在一個大正方形里有一個小正方形里有一個小正方形ABCD，小正方形沿大正方形的變翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)兩次后，求頂點B所劃過的曲線的長度，并畫出這一曲線（大正方形的邊長為2厘米，小正方形的邊長為1 厘米）。解：B點軌道是兩條弧，弧的半徑為1厘米，圓心角為90°，一條弧長為 ×90=所以，兩條弧共長×2=3.14（厘米）。答：頂點B所劃過的曲線的長度是3.14做一做：有一個邊長為1的等邊三角形，現(xiàn)將三角形沿水平線翻動，如下圖所示，B點從開始的位置到結(jié)束的位置，它所經(jīng)過的路線總長度是多少？例6、如圖1，大輪B是個定輪，小輪A

6、沿B輪的外沿滾動。問：（1）圖1中，若小輪A公轉(zhuǎn)一周所掃過的面積是301.44厘米2，則小輪A的半徑是多少？圖（2）中，小輪的圓心A所劃出的圖形是什么曲線？周長是多少？（你可以用硬幣進行試驗）解：（1）小輪掃過的面積是一個圓環(huán)，其面積為301.44厘米2。根據(jù)題意有（R+2r）2-R2=301.443.14×（5+2r）2-3.14×52=301.443.14×（5+2r）2=301.44+3.14×52（5+2r）2=（5+6）2r=3（厘米）(2)圓心A所劃出的曲線是一個圓，如圖2，其半徑為（R+r）圓周長l為：L=2(R+r)=2×（5+

7、3）=50.24（厘米）答：小輪A的半徑是3厘米，圓心A劃出的圖形是一個圓，周長是50.24厘米。做一做：有一個邊長為1厘米的等邊三角形，現(xiàn)將三角形沿水平線翻動，如果這個三角形的面積近似為0.87平方厘米，求三角形運動時所掃過的面積。例7、取八枚大小相同的硬幣，擺成圖（一）形狀。最上端那個硬幣（圓A）順著排成圈6個硬幣滾動著旋轉(zhuǎn)一周。問：硬幣A自己一共旋轉(zhuǎn)了幾圈？分析與解：如圖（二），首先我們把硬幣A、硬幣B和硬幣C上的圓周都平均分成6份，得到等分點、A 2、A 3.B1、B2、B3C1、C2、C3·····相鄰兩點的弧長都是整圓周長的。開始時

8、硬幣A上的點和硬幣B上的B1 的接觸，硬幣A從B1 點出發(fā)，沿圓弧到B2點（和A2重合，圓A滾過了60°），同時使硬幣A上的另一點A3和硬幣C上的C1點重點，硬幣A再演圓弧到達C2點（此時和A4重合，圓A又滾動了60°），所以這時圓A一共滾過了120°，這也就相當于硬幣A繞硬幣B滾過了圈。由于這些圓的半徑都相等，硬幣A在B、C、D、 E、F、G這六個圓上所滾過的弧長都相等，都等于其中一個圓周長的 ，即在每個圓上都滾過了圈。所以硬幣A順著排成圈的6個硬幣滾動著旋轉(zhuǎn)一周，一共滾動過了（×6）圈?？紤]硬幣A的自轉(zhuǎn)，它一共旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)為；解(1+1)×&

9、#215;6=4（圈）小結(jié)：可以得出硬幣A旋轉(zhuǎn)的圖數(shù)是×6的2倍，即硬幣A繞自己的中心一共旋轉(zhuǎn)了×6×2=4圖。做一做：如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊按順時針方向滾動，小正六邊形的邊長時大正六邊形邊長的一半。如果小正六邊形沿大正六邊形的邊滾動一周后回到出發(fā)時的位置，那么在這個過程中，線段繞點旋轉(zhuǎn)了幾圈？巧練習溫故知新1、如下圖，所有圓弧都是半圓，最大半圓AB長為36厘米，求陰影部分部分圖形的周長（A、B、C、在一條直線上）。2、鐘樓上的一只大鐘的秒針長1米，這根秒針的尖端一天要走多少米？3、如右圖所示，桌面上放真一塊木板，板上有一個圓孔，孔內(nèi)有一個小圓板，小圓

10、的直徑剛好等于大圓的半徑。將小圓板滾動，問：（1）小圓的圓心在滾動時畫出的是什么樣的曲線？如果大圓的周長是10厘米，那么小圓的圓心Q2在運動時畫出的曲線有多長？（2）小圓的圓周上 有一點B，如圖所示,它正好與大圓的A重合，將小圓緊貼著大圓滾動下去，請你把所有這樣的與B點重合的大圓上的點標出來。（3）圓中小圓上有一個箭頭，正處于水平位置，指向左方，那么在小圓滾動的過程中，這個箭頭向時小圓在什么位置？把所有這樣的位置都畫出來。4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同測一圓形花圃的直徑。他們沿著花圃圓周行走，他倆的起點和走向的方向完全相同，小亮每步54厘米，爸爸每步長72厘米，由于倆人的腳印有重合，所以雪地

11、上只留下60個腳印。求這個花圃直徑。5、兩個五分的硬幣放在桌面上，一個硬幣固定不動，另一個硬幣緊貼著這個硬幣的邊緣，并繞著它轉(zhuǎn)動一周，當這個硬幣在回到原來的位置時，它自身轉(zhuǎn)了幾周？（你可以試一下）6、青湖一條直線，將下圖中的五個圓分成面積相等的兩部分 。7、如下圖，在正方形內(nèi)有一個圓（內(nèi)切圓），圓內(nèi)又有一個內(nèi)接正方形，頂點在圓周上，如此繼續(xù)作圖。設(shè)大正方形面1 ，求從外到內(nèi)數(shù)第二個正方形的面積，第四個正方形的面積及第n個正方形的面積。8、如下圖，有一只被栓在一個建筑物墻角上，這個建筑物是邊長都等于6米的等邊三角形，繩子是8米。求繩被狗拉緊時，狗運動后所圍成的區(qū)域或面積。9、如下圖，兩個用紙片剪成的正方形放在桌面上，小正方形的面積為米，大正方形的面積為米。如果大正方形頂點落在小正方形中心上并以為圓中心不停的旋轉(zhuǎn)。（）求大正方形旋轉(zhuǎn)所掃過的面積：（）大正方形于小正方形重疊部分（如圖中陰影部分所示）的位置于形狀在不斷變化，那么大正方形轉(zhuǎn)到什么位置時，重疊部分的面積最大？為什么？、如下圖所示，一個正方形邊長為厘米，內(nèi)有一個半徑為厘米的圓片貼緊著正方形的內(nèi)壁運動，求他掃過的面積。11、有一機械裝置如下圖所示，桿長厘米，干端上鏈接一個小圓片，半徑為厘米。干如圖那樣運動，其運動的最大角度是°，求小圓片所所掃過的面積。12、當一個圓盤沿著一個直徑是它的兩倍的圓盤內(nèi)壁