(下冊)第一章

1、等腰三角形（一）一、定義及相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底邊；兩腰 所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角二、性質(zhì)1、等腰三角形兩底角相等（簡寫成“等邊對等角”）2、 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合 一”）三、例題講解例1、如圖，點(diǎn) D在AC上，點(diǎn)E在AB上，且 AB=AC, BC=BD, AD=DE=BE求匕A的度數(shù).-Zl =-Z2=22 ,解：設(shè) ZA=x. VAD=DE, A ZI=ZA = x. VDE=BE,3.Z3=ZA+Z2=2" . VBD=BC, A ZC= 2 ,又 VAB=A

2、C, A ZABC=ZC=2 .在 ZXABC 中，ZA+ZC+ZABC=18O2=180° ,x=45 °.即匕 A=45例2、一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于110°,則這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為一 解：當(dāng)110。為頂角的外角時(shí)，頂角為70。，則兩底角均為55° .當(dāng)110°為底角的外角時(shí)，底角均為70° ,則頂角為40° .所以三角形三內(nèi)角分別為70° , 55 ,°55或40。, 70 ,70 °變式：一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為 L 2,則這個(gè)三角形的三邊長分別為.解：當(dāng)腰長為1時(shí)，由于1

3、 + 1=2,故此種情況不合題意.當(dāng)?shù)走呴L為1時(shí)，則腰長為2,符合題意.總結(jié)：涉及等腰三角形時(shí)，常應(yīng)注意按腰、底邊、頂角或底角來進(jìn)行分類討論例3、如圖，ZXABC中，AB=AC, AD和BE是高，它們交于點(diǎn) H,且AE=BE,求證：AH=2BD.D證明：VBE1AC, AB=AC, A± BC, .Z1 + ZC=9O ；Z2 + ZC=90 。仁Z2, Z3=Z4=90在 ZXAHE和 ZXBCE中,Zl = Z2, AR = 88,Z3 = Z4 = W.A AAHEAABCE (ASA),.?.AH=BC,又 VAB=AC, A± BC,.?.BC=2BD, AH=2

4、BD.變式：如圖，在四邊形 ABDC中，AB=2AC, AD平分ZBAC, AD=BD,求證：CDXAC.AE=AC, ?.AD 平分證明：取 AB中點(diǎn)E,連DE. VAB=2AC, E是AB中點(diǎn),ZBAC, .Z1=Z2.在 ZXAED 和 AACD 中，AR = AC.Z1 = Z2,AD = AD.AAAEDAAACD (SAS) , :. ZACD=ZAED, VAD=BD, E是 AB 中點(diǎn)，A ZAED=90 °A ZACD=90 ,即 CD± AC. 例4、如圖，ZXABC中AB=AC, F在AC 土在BA延長線上取 AE=AF.求證：EF± BC.

5、證明：?.AB=AC, A ZB=ZC. VAE=AF, ZE=Z4又 VZ3=Z4, .ZE=Z3.VZ1 = 180 -°B-ZE, 匕 2 = 180 -2C-Z3, .Z1 = Z2,而B、D、C三點(diǎn)共線,.?.匕2 = 90 °即EFXBC.等腰三角形（二）等腰三角形的判定方法1、利用定義2、根據(jù)等角對等邊思考：如圖，若AD平分ZBAC, ADXBC則AABC是否是等腰三角形?（可借助三角形三內(nèi)角和相等說明 ZB=ZC）如圖，若AD± BC且D是BC中點(diǎn)，則AABC是否是等腰三角形?（可借助“中垂線性質(zhì)”說明）如圖，若AD平分ZBAC, D是BC中點(diǎn)，則

6、AABC是否是等腰三角形?D（可利用“中線倍長”或過 D作角兩邊的垂線來添加輔助線說明結(jié)論成立）3、三角形中一邊上的中線、高線和對角的平分線中，有兩線合一，即可說明是等腰三角形 4、判定一個(gè)三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個(gè)三角形的兩條邊 相等；從角入手，證明一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等實(shí)際解題中的個(gè)常用技巧是構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服 務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：(1) “角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形；(2) “角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形；(3) 用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；(4) 用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形例1、如圖，ZXABC中，ZA

7、CB=90 , CD是AB上的高，NBAC的平分線為 AF, AF與CD交于 E.求證：ACEF是等腰三角形.證明：平分 ZBAC, .Z1=Z2, V ZACB=90 °CD ± AB,.Z1 + Z5=9O , Z2+Z3=90 , °3=Z5. VZ4=Z5, .Z3=Z4,CF=CE, ACEF是等腰三角形.例2、如圖，ZABC、ZACB的平分線交于點(diǎn) F,過F作DE/BC 交AB于D,交AC于E試說 明BD+EC=DE.解：.BF 平分 ZABC, .Z1=Z2. VDE/BC, AZ2=Z3, .Z仁Z3, .BD=DF.同理：CE=EF, BD+CE

8、=DF+EF=DE.例3、如圖，在 ZXABC中，AB=AC, EF為過點(diǎn)A的任一直線，CF± BC, BE± B求證：AE=AF.證明：延長 BA 交 CF 于 G. VAB=AC, AZ仁Z2, VCFXBC, A Zl + Z4=Z2 + Z3=90乙Z3=Z4, . AC=AG, .AB=AG. VBE± BC, CE/±FBCZE=ZF.在 ABAE 和 ZXGAF 中，N5 = N6.=M- -ABAEAGAF (AAS) , ,AE=AF.例4、如圖，已知 AD是ZXABC的中線，BE交 AC于點(diǎn)E,交AD于F,且 AE=FE.求證：AC=

9、BF.證明：延長 AD至G使GD=AD,連BG.辦。是ZXABC的中線，.BD=CD.在ZXBGD和 ZXCAD中,BD二CD.Zl = Z2,OAO9 = A -ABGDACAD (SAS) , .BG=AC, ZG=Z3. VAE=FE, .Z3=Z5.又 VZ4=Z5, AZ3 = Z4. A Z4 =ZG , .BG=BF, A AC = BF.變式：如圖，在 AABC中，AD是匕BAC的平分線，M 是BC的中點(diǎn)，過 M作ME AD交BA 的延1 長線于 E,交 AC 于 F,求證：BE = CF=H (AB+AC).B證明：延長EM到G使GM=FM,連BG. ?.?是BC中點(diǎn), 在

10、ZXBMG 和 ZACMF 中，BM=CMZ5=Z6Gif = Pit.?.ABMGAACMF (SAS) . CF=BG, ZG=Z4.辦。是 ZBAC 的平分線，.Z1 = Z2.?.WE AD, .Z1 = ZE, Z2 = Z3. Z.ZE=Z3而 Z3=Z4, AZE=Z4, Z.ZE=ZG.?.BE = BG, .BE = CF. VAB=BE-AE, AC = CF+AF, .AB+AC=BE+CF+AE.L而 ZE=Z3, .? .AF=AE. .AB+AC = 2BE = 2CF, .BE = CF己 (AB+AC).反證法一、知識概述1、對于一個(gè)幾何命題，當(dāng)用直接證法比較困

11、難時(shí)，則可采用間接證法，即“正難則反”.反證法就是一種間接證法，它不是直接去證明命題的結(jié)論成立，而是去證明命題結(jié)論的反面 不能成立.從而推出命題的結(jié)論必然成立，它給我們提供了一種可供選擇的新的證題途徑， 掌握這種方法，對于提高推理論證的能力、探索新知識的能力都是非常必要的 .2、反證法的概念不直接從題設(shè)推出結(jié)論，而是從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立， 這樣的證明方法叫做反證法 . 反證法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法，反證法也稱為歸謬法 .3、反證法的基本思路用反證法證明命題的思維過程是：首先假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，然后再在這個(gè)假定 條件下進(jìn)行一系列的正確邏輯推理，直至得出一個(gè)矛盾的

12、結(jié)論來，并據(jù)此否定原先的假設(shè)， 從而確認(rèn)所要證明的結(jié)論成立 . 這里所說的矛盾是指與題目中所給的已知條件矛盾，或是與 數(shù)學(xué)中已知定理、公理和定義相矛盾，還可以是與日常生活中的事實(shí)相矛盾，甚至還可以是 從兩個(gè)不同角度進(jìn)行推理所得出的結(jié)論之間相互矛盾（即自相矛盾） .這個(gè)矛盾是怎么造成的呢？推理沒有錯(cuò)誤，已知條件，公理或定理沒有錯(cuò)誤，這樣一來 唯一有錯(cuò)誤的地方就是一開始的假定 . “結(jié)論不成立”與“結(jié)論成立”必然有一個(gè)正確 .既然 “結(jié)論不成立”有錯(cuò)誤，就肯定結(jié)論必然成立了 .4、反證法的一般步驟用反證法證明一個(gè)命題常采用以下步驟：第一步，假設(shè)命題的結(jié)論不成立 .第二步，從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出

13、發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概念、基本事 實(shí)、已證明的定理、性質(zhì)或與已知條件矛盾 .第三步，由于上述矛盾的出現(xiàn)，判定假設(shè)不成立，可以肯定原來的假定“結(jié)論不成立” 是錯(cuò)誤的，從而說明原來命題的結(jié)論是正確的 .注意用反證法證明文字?jǐn)⑹龅拿}時(shí)，需寫出已知、求證，根據(jù)命題要求畫出圖形，再 經(jīng)過推理論證，得出與所學(xué)過的知識相矛盾的結(jié)論 . 從而否定原來的假設(shè) .5、應(yīng)用反證法的情形直接證明困難的；需要分成很多類進(jìn)行討論；結(jié)論為“至少”、“至多”、“無數(shù)個(gè)”這一類的命題; 結(jié)論為“唯一”類的命題.、典型例題講解 例1、求證：三角形中至少有一個(gè)角不大于 60° .證明：假設(shè)ZXABC中的匕A、

14、ZB、ZC都大于60° ,則 ZA+ZB+Z03X60 0 =180 °這與三角形內(nèi)角和定義矛盾，所以假設(shè)不能成立故三角形中至少有一個(gè)角不大于60° ,例2、求證：兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn) 解：設(shè)直線AB, CD相交于M.假設(shè)直線AB, CD另有一個(gè)交點(diǎn)N,這說明經(jīng)過M, N兩點(diǎn)有兩 條直 線AB和CD這與公理經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線矛盾.故假設(shè)不成立.所以AB, CD只 有一個(gè) 交占 丿J八、 例3、用反證法證明：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等提示：設(shè)直角 ZXABC的斜邊 AB的中點(diǎn)為 D.假設(shè)AD=BD<CD,則ZACD<ZA, ZB

15、CD<Z B, VZA+ZB=90 ° , ZACD+ZBCD=ZACB<90 ,即匕C為銳角，這與已知矛盾.假設(shè) AD=BD >CD,同理可證 出匕C為鈍角，這也與已知矛盾.所以只有AD=BD=CD.例4、已知ZXABC中，AB>AC, NABC和ZACB的平分線相交于0點(diǎn).求證：A0與BC不垂直.Ar. AO是NA的平分線.證明：假設(shè)AC± BC. VO是ZB、ZC的平分線的交點(diǎn),VAOXBC,?.AB=AC,這與已知矛盾；.AO與BC不垂直.等邊三角形一、定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形二、性質(zhì)：1、具有等腰三角形所有性質(zhì)2、等邊三角形

16、三邊、三內(nèi)角分別相等，且每一個(gè)內(nèi)角都等于 60 °三、判定：1、利用定義.2、證三個(gè)角都相等.3、有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.四、直角三角形性質(zhì)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.例1、如圖，等邊ZXABC中，BD=CE, AD與BE交于點(diǎn)P.求ZAPE的度數(shù).解：？? ABC是等邊三角形, AB=BC, ZABC=ZC=60 .°在 ZXABD 和 ZBCE 中，AB = BC,BD=C8.:.AABDAABCE (SAS) , A Z1=Z2, 乙 ZAPE= Z3+Z仁Z3 + Z2=6O .變式：如圖，在等邊 ZXABC 中，

17、AE=CD, AD、BE 交于點(diǎn) P, BQ±ADf Q, PQ=3, PE=1 求 AD 的 長D C解：AABC是等邊三角形，AB=AC, ZBAC=ZC=60 ,在ZXABE和 ACAD中，AB=AC,AE=CD.:.AABEAACAD (SAS) , .BE=AD, Z1=Z2, A Z4=Z2 + Z3=Z1 + Z3=6O 又 BQ± AD, .1匕 5 =30 °，BP=2PQ=6, .AD=BE=BP+PE=7.例2、如圖，ZXABC為等邊三角形，延長 BA至U E使 AE=BD,求證：CE=DE.證明：延長BD至F,使DF=BC,連EF, ? A

18、BC是等邊三角形, AB=BC, ZB=60，DF=AB, VAE=BD,，-AB+AE=BD+DF, .BE=BF.? BEF 是等邊三角形，.？ .BE=FE, ZB=ZF=60 . °在 ZXEBC 和 ZXEFD 中,BC = dp-.-AEBCAEFD (SAS),(視頻中 ZXEDF 應(yīng)寫成 ZXEFD) .CE=DE.例3、如圖，RtAABC中，ZACB=90 , ZI=30，。分別以AB、AC為邊向形外作等邊 ZXABD和等 邊AACE連DE交AB于F.求證：DF=FE.證明：過 D 作 DGt AB 于 G. AABD 和 AACE 是等邊三角形，.AD=AB, A

19、C=AE, Z2=60而 DGt AB, .Z5 = 30 /在 ZXDGB 和 ZXACB 中，Z5=ZLZDC?=ZXCA = 9<r.DB=AB.AADGBAAACB (AAS) , .DG=AC, .DG=AE. VZ1 = 3O，匕 2 = 60 ,°.ZEAF=90 . °在AAEF和AGDF中，ZAtf = ZOGV = 9CF, -Z3 = Z4, AS = GD.:.AAEFAAGDF (AAS), DF=FE.直角三角形(一)一、知識概述1、有一個(gè)角等于90。的三角形叫做直角三角形直角三角形用符號“ ”表示，如圖，直 角三角形ABC可以表示為“ R

20、tAABC” .兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形 等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，都等于 45。.2、直角三角形的性質(zhì)(1) 定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余推理過程：在 AABC中，VZC = 90/. ZA+ZB = 90 （°或匕 A=90°-ZB, ZB = 90 -ZA°）.說明：這一定理應(yīng)用的前提是 RtA,已知一個(gè)銳角，求另一個(gè)角（2） 定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即直角三角形的直角邊為a, b斜邊為c則尿（3）直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30°, 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半（4）直角三角形中，如果兩

21、條直角邊為 a、b,斜邊為c,斜邊上的高為h,那么它們存*=也在這樣的關(guān)系：醐 =4 或 c .3、直角三角形的判定定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形 .定理：一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角 形.即如果三角形的三邊長a, b, c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形4、互逆命題和互逆定理在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題 .如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱為另 一個(gè)定理的逆定理 .二、典型例題講解 例1、如圖，CD是RtA

22、ABC斜邊上的高？請找出圖中各對互余的角.解：AABC 是 RtA,A ZA+ZB = 90 （直角三角形的兩個(gè)銳角互余）.VCDXAB （已知），? ACD, ZXBCD是 RtA.-.ZA+ZACD = 90 , ZB+ZBCD = 90 （直角三角形的兩個(gè)銳角互余）V ZACB=RtZ （已知）,*ZACD+ZBCD=90° .圖中一共有4對互余的角，分別是 NA與匕B; ZA與ZACD, ZB與ZBCD, ZACD與匕例2、某三角形的兩個(gè)角分別為105°、45。，且45°角所對的邊長為2,求此三角形的周長解：如圖，ZBAC = 105° , ZC

23、 = 45 , °B = 2.過點(diǎn)A作AD1BC于D.VZC=45 ° , .ZDAC = 45 , V ZBAC = 105A ZBAD = 60 ,A ZB = 30 ,°v A0 AO. ABt:.ADfBD? q 雄-心./DC- XD-U AC-J AA7DA-42二同長 M+B7+C?2+而 + 1 + 萬？ 3+萬+女a(chǎn)t-b 。+。b+a789面積.a+b=7k<s4-A A+c . “= = =k' , a 4-c =&t 78 9解：令 |*+ 。 =強(qiáng)解之得： a=3k, b = 4k, c = 5k又, a+b + c

24、 = 12, /.k=l,. a=3， b = 4 ， c = 5.Va2+b2=c2, AZC = 90 , °以三角形面積為 2 =6.例4、直角三角形三邊的長分別為5, 4, m,求此直角三角形斜邊上的高解：若 m > 5,則=5A+4A,/. m =宓 F,1120 f S = x4x5 = m hf:. h= J41,2241若 m < 5, 則 5? = 4? + mJ. m-3S = *3X4 = ? 5 ? . A = 2 2 5例 5、下列定理是否都有逆定理？若有，請寫出來 .(1) 如果兩個(gè)角都是直角，那么這兩個(gè)角相等；(2) 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

25、;(3) 等邊三角形的三個(gè)角都等于 60°,解:(1) 的逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角 . 它是一個(gè)假命題 . 故(1) 沒有 逆定理 .(2) 的逆命題是：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 . 它是一個(gè)真命題，故 (2) 的逆命題就是它的 逆定理 .(3) 的逆命題是：三個(gè)角都等于 60°的三角形是等邊三角形，它是一個(gè)真命題，故也是 它的逆定理 .總結(jié)：先寫出逆命題，再判斷真假，一般判斷一個(gè)命題是真命題要經(jīng)過證明，判斷一個(gè)命題是假命題只需舉個(gè)反例即可直角三角形 ( 二)一、知識概述1、直角三角形全等的條件 斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“H

26、L” .2、直角三角形全等的判定方法HL 、 SSS、 SAS、 ASA、 AAS.說明：證明兩Rt三角形全等時(shí)，如果已知一組邊相等，可以先考慮HL,再考慮用其它判定方法.3、選擇證明三角形全等的方法(1) 已知兩邊對應(yīng)相等 證第三邊相等，再用SSS證全等 證已知邊的夾角相等，再用SAS證全等 找直角，再用HL證全等（2）已知一角及其鄰邊相等 證已知角的另一鄰邊相等，再用 SAS證全等 證已知邊的另一鄰角相等，再用 ASA證全等 證已知邊的對角相等，再用 AAS證全等（3）已知一角及其對邊相等證另一角相等，再用AAS證全等（4）已知兩角對應(yīng)相等 證其夾邊相等，再用ASA證全等 證一已知角的對邊

27、相等，再用 AAS證全等4、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運(yùn)用（1）出現(xiàn)角平分線時(shí)，常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形（2） 出現(xiàn)線段的中點(diǎn)（或三角形的中線）時(shí)，可利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形（常用加倍延 長中線）（3） 利用加長（或截?。┑姆椒ń鉀Q線段的和、倍問題（轉(zhuǎn)移線段）、典型例題講解AC=A C例1、（ 1）如圖RtAABC和RtAAzB C中，ZC=ZCZ=90 °再添兩個(gè)條件不能夠判 定全等的是 （）A. AB=A '，田C = BC. ZA=ZAZ , BC=B C'ZA=ZAZ , ZB=ZBz解：A 選項(xiàng)，AB=A' B, 'BC=

28、B'C ,可利用 HL 判定 RtZXABC 絲 RtZXA' B C ,同理B選項(xiàng)，也可利用 SAS判定RtAABCARtAAzB C ,C 選項(xiàng) ZA=ZAZ, BC=B C：可利用 AAS 判定 RtZXABC 絲 RtZXA' B' C ,D 選項(xiàng)，ZA=ZAZ , ZB=ZBZ ,只能證明 RtAABC 與 RtAAz B C 相似，不能證明RtAABCARtAAz B C .故選D.(2)下列判斷中錯(cuò)誤的是(B)A.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C. 有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D.

29、有一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等例 2、如圖，AB = CD, AE ± BC, DF土 BC, CE =求證 AE = DF.證明：VAE1BC, D± BC, A ZAEB= ZDFC = 90°VBF = CE, ? .BF-EF = CE-EF, .BE = CF.在 RtAABE 和 RtADCF 中,ABADC.88 = CF, .-.RtAABEARtADCF (HL) . .AE=DF.例3、如圖，AB=AC, CDt AB, D為垂足，BE± AC, E為垂足，CD與BE相交于點(diǎn)F.求證： AF平 分 ZBAC.證明：VC±

30、 AB, BE± AC, .Z3=Z4=90在 ZXABE和 AACD 中,Z3=Z4?M=C; . AAEBAAADC (AAS),.? .AD=AE.在 RtAADF 和 RtAAEF 中,=/.RtAADFARtAAEF (HL) , AZ1 = Z2,即 AF 平分 ZBAC.例 4、如圖，AD=AC, ZADB=ZACB>°0 .求證：ZABC=ZABD.證明：過A作AE± BC交BC延長線于E過F作AF± BD交BD的延長線于F,則 ZE=ZF=90 . V ZADB=ZACB, A ZECA= ZADF.在 ZXAEC 和 ZAFD

31、中，Zfi = ZFzeca=aadpM = JU)乙AAECAAAFD (AAS),.? .AE=AF.在 RtAAEB 和 RtZXAFB 中,(AB=ABAB = AF .-.RtAAEBARtAAFB (HL) , A ZABC=ZABD.線段的垂直平分線一、知識概述1、線段的垂直平分線我們把垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，又叫中垂線例如：如圖所示，點(diǎn)0是線段AB的中點(diǎn)，且AB_LCD,垂足為點(diǎn)0,則CD是線段AB的垂 直平分線.2、線段的垂直平分線的定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等如圖，若MN為線段AB的垂直平分線，P點(diǎn)在MN上，則PA=PB.

32、3、線段的垂直平分線定理的逆定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 如上圖，若PA=PB,則P在AB的垂直平分線上.二、重難點(diǎn)知識歸納1、線段的垂直平分線說明了垂直平分線與線段的兩種關(guān)系:是位置關(guān)系一一垂直；是數(shù)量關(guān)系一一平分 2、三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)從圖中可以看出，要證明三條垂直平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中的兩條垂直平分線的 交點(diǎn)一定在第三條垂直平分線上ft可以了 三、典型例題講解例1、如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA=5，則線 段PB的長度為（）A. 6B. 5D. 3解： 直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD

33、上的一點(diǎn)，.? .PB=PA,而已知線段PA=5, APB=5.故選B.例2、如圖，在 ZXABC中，AB=AC, ZA=120 , BC=6cm, AB的垂直平分線交 BC于點(diǎn) M,交AB于 點(diǎn)E, AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)F,則MN的長為（）aEC. 2cmD. 1cmA. 4cmB. 3cm解：連接AM, AN,?.WE 垂直平分 AB, NF 垂直平分 AC, .BM=AM, CN=AN,A ZMAB=ZB, ZCAN=ZC, V ZBAC=120 , AB=AC,AZB=ZC=30 °乙 ZBAM+ZCAN=60 : ZAMN=ZANM=60 :. ZXAM

34、N是等邊三角形，.AM=AN=MN, .BM=MN=NC,BC=6cm,/. MN=2cm. 故答案為 2cm.例3、如圖，AB=AC, DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E若ZXABC的周長為28, BC=8,求 ABCE的周長.解:?.等腰ZiABC的周長為28, BC=8,?.BE=AE （線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）ABCE 周長=8 £+ EC+BC=AE + EC+BC=AC+BC =10+8=18.例4、如圖，AB=CD, AC與BD的垂直平分線相交于 E.求證：ZABE=ZCDE.解：連結(jié) AE、CE、BE、DE,則AE=CE, BE=DE （線段的

35、垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）又?.AB=CD （已知），. ABE絲ACDE（ SSS . /.ZABE=ZCDE （全等三角形的對應(yīng)角相 等）.例 5、如圖(a) , AABC 中, AD± BC 于 D, AB+BD=DC.求 證：ZB =2ZC.(*)(b)(c)分析：此題需添加輔助線將線段之和 AB+BD 或線段之差 DC-BD 轉(zhuǎn)化為一條完整線段，再結(jié) 合AD± BC可利用線段的垂直平分線來實(shí)現(xiàn).證法一：(補(bǔ)短法)如圖 ( b) .延長 DB 至U E,使 BE=AB，貝U AB+BD= DE,VAB+ BD = DC, .DE=DC,VAD&#

36、177; EC, AAD是線段CE的垂直平分線，AE=AC, /. ZE=ZC,ZABC=ZE+ ZBAE=2ZE,ZABC=2ZC.證法二：(截長法)如圖( c) .在 DC 上截取 DE= DB,VAD± BC, .ADI BE 的垂直平分線，.-.AE=ABDC-BD= DC DE=EC=AB.?.AE=EC, ZB=ZAED=2ZC.角的平分線的性質(zhì)(一)一、知識歸納1、角的平分線的作法(1)在匕AOB的兩邊OA、0B上分別截取 OD、0E,使OD = OE.（2）分別以D、E為圓心，以大于：DE長為半徑畫孤，兩孤交于 ZAOB內(nèi)一點(diǎn)C.（3）作射線0C,則0C為ZAOB的平

37、分線（如圖）.注意：（i）作角的平分線的依據(jù)是三角形全等的條件一一“SSS（2）角的平分線是一條射線，不能簡單地?cái)⑹鰹檫B接2、角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等女口圖.若0P平分ZAOB, PM± OA, PNXOB垂足分別為 M、N,則PM=PN.注意：（1）這里的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長.（2）該結(jié)論的證明是通過三角形全等得到的，它可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依 據(jù)即不需再用老方法一全等三角形（3）使用該結(jié)論的前提條件是有角的平分線，關(guān)鍵是圖中有“垂直”.、基本圖形1、若0是匕ABC、匕ACB的平分線的交點(diǎn)，貝U ZB0C = 90 +2 ZA.2、若0是匕AB

38、C和匕ACB外角平分線的交點(diǎn)，貝U ZBOC= 2 ZA.13、若0是匕ABC、ZACB的外角平分線的交點(diǎn)，貝U ZB0C = 90 °-ZA.三、例題講解 例1、如圖，0D平分ZAOB,在OA、0B邊上取 OA=OB, P± BD, PN± AD垂足分別為 M、N,求 證：PM=PN.平分 ZAOB, .Z3=Z4.在 ZXOBD和 ZXOAD 中,OB=OAZ3 = Z4?OD = OD A AOBDAAOAD (SAS) , AZ1=Z2，又 VPM± BD, PN ± AD, .PM=PN.例2、如圖，在 ZXABC中，ZB=60 ,

39、ZA> NC的角平分線AE、CF交于點(diǎn)0求證：OE=OF.證明：分別過 0作OMt AB于M, ON± BC于N, OP± AC于 P.?.AE、CF 分別平分 /BAC、ZBCA, OM ± AB, ON ± BC, OP ± AC,.OM=OP=ON, Zl= - ZBAC, Z2= 2 ZBCA.V ZBAC+ZBCA=180 °-ZB=120 ,°L.Z1 + Z2=2 (ZBAC+ZBCA)=60 , °A ZA0C=120 °,( 視頻中匕 BOC 應(yīng)為 ZAOC)A ZE0F=120

40、°.VOMXAB, ON± BC, ZB=60, °A ZM0N=120 °,:.ZF0M=ZE0N.在 /XFOM 和 AEON 中，Oif=OifA AFOMAAEON (ASA),.OE=OF.ZBAP+Z例3、如圖，已知 Z仁Z2, P為BN上一點(diǎn)，且 PD± BC于 D, AB+BC=2BD，求證:BCP=180 °.hr證明:過 P 作 PM1BA 于 M.VZ1 = Z2, PM ± BA, PD ± BC,.PM=PD.在 ABMP 和 ABDP 中，Z£ MP二ZDPZ仁Z2BP = BPA ABMPAABDP (AAS),.BM=BD.VAB+BC=2BD, BC=BD+DC,?.AB+DC=BD,而 BM=AB+AM,.AM=DC.在 RtAAMP 和 RtACDP 中，AB = DCZAMP=ZPDCW = Z?AAAMPAACDP (SAS),A Z3=Z4,而 ZBAP+Z3=18°，-.ZBAP+Z4=180 即 ZBAP+ZBCP=180角的平分線的性質(zhì)（二）一、角的平分線的判定1、 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上2、角平分線判定的符號語言：VPMXOA