11數(shù)列的概念

1、數(shù)列專題習(xí)題：1. ( 12分)已知等差數(shù)列an的公差不為零，6=25,且ai, a“，陽(yáng)成等比數(shù)列.(I)求an的通項(xiàng)公式；(U) 求 a計(jì)a4+a7+a3n-2.2. (12 分)設(shè)數(shù)列an滿足 ai+3a2+°°+ (2n - 1) a*=2n.(1) 求an的通項(xiàng)公式；且(2) 求數(shù)列一的前n項(xiàng)和.2n+L3. (12分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn, a1= - 1, b1=1, a2+b2=2.(1) 若 a3+b3=5,求bn的通項(xiàng)公式；(2) 若 T3=21，求 S3.4. (12分)已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿

2、足b1 = 1, b2七,anbn+計(jì) bn+1 =nbn.(I)求an的通項(xiàng)公式；(U)求bn的前n項(xiàng)和.5. (12分)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,an2- (2an+1 - 1)an- 2an+1=0.(1) 求 a2, a3；(2) 求 an的通項(xiàng)公式.6. (12分)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2, a4是方程x2- 5x+6=0的根.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2n7. (12分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Ss=0, &二-5.(I)求an的通項(xiàng)公式；(U)求數(shù)列:的前n項(xiàng)和.rrl a2n+l8. (12分)已知等比數(shù)列an中，

3、a1#，公比q=£.(I) Sn為an的前n項(xiàng)和，證明：Sn=(U)設(shè) bn=log3a1 +log3a2+ +log3an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.9.已知數(shù)列an滿足 ai=1, nan+i=2 (n+1) an.設(shè) bn=.(1 )求 bi, b2, b3;(2 )判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由;(3 )求an的通項(xiàng)公式習(xí)題解答1. 解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d工0,由題意ai, aii, ai3成等比數(shù)列，二. I 丨，1.I I ,化為 d (2ai+25d) =°,0,二 2X 25+25d=0,解得 d=- 2 .-an=25+ ( n - i )

4、X( 2) = 2n+27.(II)由(I)可得a3n-2= 2 (3n 2) +27= 6n+3i,可知此數(shù)列是以25為首項(xiàng), 6為公差的等差數(shù)列. S c+a+a+ +a n(al + a3n-2Si=ai+a4+az+-+a3n-2=_n(25Tll+31)=2=-3n2+28n.2. 解:(i)數(shù)列an滿足 ai+3a2+ (2n - i) a*=2n.n2 時(shí)，ai+3a2+ (2 n- 3) an -1=2 (n- i). ( 2n- 1) an=2.°. an=.2n-l當(dāng)n=1時(shí)，ai=2,上式也成立.-anV I .(2) 6 = = -2n+l (2n-l)(2n

5、+l) 2n-l 2n+l '數(shù)列的前n項(xiàng)和=+丄亠+： 上1-二丄X2n+1 ；U 5 7n-1 2n+l 7 2n+l 2n+l3. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,ai= 1, bi=1, a2+b2=2, a3+b3=5,可得-1+d+q=2, 1+2d+q2=5,解得 d=1, q=2 或 d=3, q=0 (舍去)，則bn的通項(xiàng)公式為5=2"1, nN* ;(2) bi=1, T3=21,可得 1+q+q2=21,解得q=4或-5,當(dāng) q=4 時(shí)，b2=4, a2=2- 4=- 2,d=- 2-( - 1) =- 1, S3=- 1 -

6、 2-3=- 6;當(dāng) q=- 5 時(shí)，b2= - 5, a2=2-( - 5) =7,d=7-(- 1) =8, S3=- 1+7+15=21.4. 解:anbn+ 計(jì)bn+1 =nbn .當(dāng) n=1 時(shí)，a1b2+b2=b1.T 6=1, b2=,3-a1 =2,又 an是公差為3的等差數(shù)列，-an=3 n - 1,(兒)由(I)知:(3n - 1) bn+1+bn+1= nbn.即 3bn+1=bn.即數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，以I為公比的等比數(shù)列，3L-(V)n - bn的前 n 項(xiàng)和 Sn= =' (1-3-n)=-丄35. 解：(1)根據(jù)題意，an? -(2an+1 1) an

7、2an+1 =0, 當(dāng) n=1 時(shí)，有 a12-( 2a2 - 1) a1 - 2a2=0,而 a1=1，則有 1 -(2a2 - 1)- 2a2=0,解可得 a2=，,當(dāng) n=2 時(shí)，有 a22-( 2a3 - 1) a2 - 2a3=0,又由a2=vr，解可得 33=丁故氏,a3=;(2)根據(jù)題意,an2 -(2an+1 - 1) an - 2an+1=0,變形可得(an - 2an+1) ( 3n+1 ) =0,即有 an=2an+i 或 an= 1,又由數(shù)列an各項(xiàng)都為正數(shù)，則有 an=2an+i,故數(shù)列an是首項(xiàng)為ai=1,公比為丄的等比數(shù)列，2則 an=ix( 1 ) n丄爪1,故

8、 an=K1.6解：(1)方程X2-5x+6=0的根為2, 3又an是遞增的等差數(shù)列, 故 a2=2, a4=3，可得 2d=1, d-,2故 an=2+ (n - 2)x 1 = n+1,2 2(2)設(shè)數(shù)列'的前n項(xiàng)和為Sn,: 一I：.，-得皆2M 2n口 2 =27解：(I)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則"n+4由已知可得3引+3d二0冋呼L5,即'ai+d=0®+2d"解得 a1=1, d=- 1,故an的通項(xiàng)公式為 an=a1+ (n - 1) d=1+ (n - 1) ? (- 1) =2- n；(U)由(I)知一-1:.n-l

9、a2n+l (3一2口) (1-2口) 2 2n-3 2n-l從而數(shù)列:的前n項(xiàng)和rrl a2n+1sn= I - I ：2 L -1 1 ； 4 3，Sn-3 2n-l '=丄 _:-2 ' Sn=,. :1石又=sn 2 s=f(II)： an= n bn=log3ai+log3a2+log3an= log33+ (- 2log33) + + =(1+2+-+ n)=n(n+l)數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為：bn=:二9解：(1 )由條件可得an+1=an.將n=1代入得，a2=4ai，而ai=1，所以a2=4.將n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.從而 b1=1， b2=2， b3=4.(2) bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列由條件可得:- 1 =，即bn+