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1、正弦、余弦定理.教學(xué)內(nèi)容:正弦、余弦定理.教學(xué)重、難點(diǎn):1 .重點(diǎn):正弦、余弦定理。2 .難點(diǎn):運(yùn)用正、余弦定理解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題?!镜湫屠}】例1已知在AABC中,/A = 45 a = 2, c = 丁6解此三角形。. 6. 6 . 2. 3sinC =sin 45 =二解:由正弦定理得2222二一3csin A = . 62a = 2 , c = V633 < 2 < 66有兩解,即 /C =60 口或 NC =120口BB =180°-60°-45°= 750或/B =180=-120©-45q = 15。ab =sin B一 .一
2、 一.由 sin A 得 b = J3+1 或 b =、131b="3+1, NC=60* /B =75 口或 b ='區(qū)1 ,2C=120 口,/B = 15°例2不解三角形,判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)。(1)a=5, b=4, A=120'(2) a = 7, b =14, A = 150° a=9, b=10, A=60(4) c=50, b=72, C =135°解:sin B(1)b .4=sin 120 二a5ABC有一解。B >45° B+C >180°. AABC 無(wú)解bsin B= bsin1
3、50 =1a,AABC無(wú)解b . 10.35.3.35.3 /sin B = sin A = :1(3) a 929 而 29sinB=%當(dāng)B為銳角時(shí),滿(mǎn)足9的600 cBe901故對(duì)應(yīng)的鈍角B有900<B<120°,也滿(mǎn)足A+B<180故AABC有兩解。sinB 二四g=&incsinC 二型50(4)例3已知在AABC中,/A = 45; a = 2, c = J6解此三角形。解:由余弦定理得:b2+(病)2-2;6b cos45'4b2-2/3b+2=0 b=*5±11222cos C 二 一又(,6) =b +2 2M2bcosC
4、. cosC 2, /C = 600或/C = 120°2B=75或/B=15". b=%;3+1, /C=601 /B =75或 b = J3-1 ,2C=1201 /B = 15,例4已知a、b、c是&ABC中,/A、Nb、2C的對(duì)邊,S是&ABC的面積,若a = 4, b =5, S =53,求c的長(zhǎng)度。解:一 1 一 一 _ 一一S absin C =53a =4 , b =5,2sinC=32C =60 口或 120,當(dāng) C=60°時(shí),c2 =a2+b2 ab = 21c = V2i當(dāng) C =120口時(shí),c2 =a2 + b2 + ab
5、=61c = M61 例5在AABC中,a、R C成等差數(shù)列,b=1,求證:1<a + cM2證明:a _ b _ c方法一:由正弦定理:sin A sin B sinCb .一 b 一一a c = sin A sin C得 sin Bsin B2 32 . 3=-3(sin A sinC)二一3sin A sin(120 一 A) 332sin(A 30 ).0°<A<120°300cA+ 30口<150*.1 :2sin(A 30 ) -2方法二:B=60' b=1a2+c2b2 =2accos60"a2 +c2-1 =aca2
6、+c2-ac=1 (a + c)2+3(a-c)2. (a c)2 -4 -3(a -c)2. 0 'ac|<1. 0 <3(a -c)2 <3. 4-3(a -c)2 <4,、2 -即(a c) -4a+c<2又a+c>11<a + cM2例 6在 AABC中,已知 b = a(73D, C=301 求 a、Bo解:cosC = cos30 二由余弦定理,O2.223 a b - c2aba2 a2(4 -2.3)-c2 = . 3a2 (. 3 -1)3-1c2 =(2 -3)a2,3-1a( 3 -1)由正弦定理:sin A sin Bs
7、in30sin B = 2 sin 30 = a Ab . A>B B 為銳角 . B = 45A =180 -(4530 ) =10522例 7已知 MBC 中,22(sin A-sin C) =(a b)s1nB,外接圓半徑為 42。ABC面積的最大值解:22 _2 2(sin A - sin C) = (a -b)sinB以2親一4R2)=(a -b)2R222a -c = ab-b2.2a b2.-c = abcosC 二2,22.a b-c12ab又 0*<C <180°C =60°c 1,1.3 .一 rS = absin C = ab =2.
8、3 sin Asin B' 33cos 2 A = 2 .3sin A sin(120 - A) =2.3sin A(sin120 cosA-cos120 sin A)c. 八八c.2八 3 .=3sin Acos A3 sin A= - sin2A-2=3sin(2A -30 ) 2c 3 3max當(dāng) 2A = 120° 即 A = 60 時(shí),21 sin2By 二例8在AABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c依次成等比數(shù)列,求 sin B + cosB 的取值范圍。解:b2 =ac22222a c -b a c - ac 1 a c 11cos B =-()2ac
9、2ac 2 c a 22ji0 < B -31 sin 2B (sin B cosB) y =sin B cosB sin B cosB=sin B cosB = . 2sin(B )4二_二7一:B一:一 二44122 .一二、一:sin( B) _ 124例9在&ABC中,若三邊長(zhǎng)為連續(xù)三個(gè)正整數(shù),最大角是鈍角,求此最大角。解:*設(shè) a=k1, b = k, c = k+1, kN 且 k>1 c是鈍角222c a b -c k-4 ccosC =:二 02ab 2(k -1)解得 1 :二 k :二 4當(dāng) k = 2 時(shí),cosC = 1 (舍去)1,- cosC 二
10、 一一當(dāng)k =3時(shí),41c = arccos( 一一)4最大角為1 arccos(-)4【模擬試題】(答題時(shí)間:60分鐘)一.選擇題:1 .在AABC中,一定成立的等式是()A. asinA=bsinBB. acosA = bcosBC. asinB=bsinAd. acosB=bcosAcos A _ b2 .在 &ABC 中,若 cosB a ,貝U AABC 是()A. 等腰三角形 B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形3 .已知AABC中,AB=1, BC=2則/C的取值范圍是()JJEJI JEJ JT(0 , 一(0 , 一)(一,一(1, 一A. 6
11、B. 2 C. 6 2 D. 6 34 . AABC 中,若 J3a =2bsin A,則 8為()2二5 n nA. 3 B. 6 C. 3 或 3 D. 6 或 65 . aabc的三邊滿(mǎn)足(a+b+c)(a+b_c) = 3ab,則/C等于(A. 15 B. 30 C. 45 D. 606 .在 AABC 中,ab=3, bc=«3 , ac=4 則邊 AC上的高為()3 23.33A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 37. AABC中,"sinA=sinB” 是 “ a=b'的()條件A.充分不必要B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要2 _
12、.22 一8. AABC 中,sin A=sin B+sin Bsin C+sin C ,則 A等于()A.30 b.60c. 120d.1509. &ABC 中,B=30口,b=50&, c = 150,則這個(gè)三角形是()A.等邊三角形 B. Rt三角形C.等腰三角形D. 等腰或直角三角形a b c ,=k10.在 AABC中,sin A sin B sin C ,則 k=()A. 2R B. R C. 4R D.1314 ,則最大角的余弦值為填空:cosC1 .在 MBC 中,已知 a = 7 , b = 8 ,2 .在 &ABC 中,sin A = 2cosBsi
13、nC ,則三角形為 。3 .在 MBC 中,a:b:c=(V3+1):2,則最小角為 -a2),貝 U A=-12S - (b c4.若 4 ”3三.解答題:1.在 *ABC 中,BC=a ,AC=b, a, b 是 x2 _2(3x+2 = 0 的兩個(gè)根,且 2 cos(AB)=1,求(1)角C的度數(shù) (2) AB的長(zhǎng) (3) AABC的面積。2 .在 AABC 中,c=10, A=451 C=301 求 a、b和 B。3 .若2, 3, x為三邊組成一個(gè)銳角三角形,求x的范圍。2 . 22 一4 .在 AABC 中,若 sin A = 2sin BcosC , sin A = sin B
14、+sin C ,試判斷 以ABC形狀?!驹囶}答案】1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9.D 10.A11.7 2.等腰三角形3.45 口 4.30 口1.解:(1)一 , 一 1cosC =cos二-(A B) - - cos( A B)= - 一2C =1202(2)a、b是 x _243x+2 =0 的兩個(gè)根'a +b =2向a b = 2_ 2_22 _2AB = AC BC -2AC BC cosC =b22a ab = (a b) -ab = 10AB = 10S ABC(3)1 ,一 .3=一 a bsin C =a c2.解:sin Asin Ccsin A10 sin 45a = = =10.2sinC sin 30b cB=180 J(A + C)=105"b =20sin105' =5(、6. 2)3.解:: AABC為銳角cos A 0,cosB >01Posc >0且 1<x<522 +32 -x2 >0一一一,2_32 +x2 -22 >0x <13'_2 _x2 +22 -
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