高考數(shù)學(xué)試題(23)選修4-5不等式選講

1、1.(福建理科)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講設(shè)不等式|2x 一1|：二1的解集為M.(I)求集合M ;(II)若a, b M ,試比較ab+1與a+b的大小.解：(1 ) M =x|0 <x <1)(2) (ab+1) (a+b)=(a 1)(b1), 丁 a,bwM.a<1,b<1, a-1 <0,b-1 <0(a -1)(b -1) >0 ,二 ab+1a+b。2.(廣東文科) 不等式x+1| - x - 3 > 0的解集是.1, +=c) .|x+1 - x - 3 >0 = |x+1 >x-3 = (x+1)2&g

2、t;(x-3)2 = x > 121123.(湖南理科10)設(shè)x,y w R,則(x2十二)(二十4y2)的最小值為 。 y x答案：921122解析：由柯西不等式可知(x )( 4y ) -(r 2) =9y x4.(江西理科)(不等式選做題)對于實(shí)數(shù) x,y,若x-1 <1 , y-2 <1 ,則x-2y + 1的最大值 為.(2)此題，看似很難，但其實(shí)不難，首先解出x的范圍，0MxM2,再解出y的范圍，1MyM3,最后綜合解出x-2y+1的范圍 匚5,1，那么絕對值最大，就取 5 (江西文科)對于xWR,不等式x+10x2之8的解集為答案：xx20 解析：兩種方法，方法

3、一：分三段，(1)當(dāng)x<10時(shí)，不等式為(x10)(2x)之8 ,此時(shí)不等式無解；(2)當(dāng)一10 Wx M2 時(shí)，不等式為(x+10) (2 x)之 8,解得：0WxW2(3)當(dāng)x >2時(shí)，不等式為(x+10)(x2)之8 ,解得：x>2綜上：x -0方法二：用絕對值的幾何意義，可以看成到兩點(diǎn)-10和2的距離差大于等于 8的所有點(diǎn)的集合，畫出數(shù)軸線，找到0到一10的距離為di =10,至ij 2的距離為d2 =2, d1d2=8,并當(dāng)x往右移動(dòng)，距離差會(huì)大于8,所以滿足條件的x的范圍是x>0.6.(浙江理科)設(shè)正數(shù)x,y,z滿足2x+2y+z =1(1)求3xy + y

4、z+zx的最大值；(5分)311125(2)證明：+>。(5 分)1 xy 1 yz 1 zx 262 一 22(1)解：將 2x+2y+z =1 平方可得：4x +4y +z +8xy+4xz +4yz = 1即(7x2)2222 2y2)七。)421-不2 * * * * * 822,2y22- 一 8xy 4yz 4xz = 15xy 5yz 5xz+ £)+8xy+4xz+4yz = 1 ,由基本不等式可知1x=y=z=-。5c1 一”,所以3xy + xz + yz E -，等號(hào)成立時(shí), 5(2)證明：由柯西不等式 (x1yl+x2y2+x3y3)3xy+xz + y

5、z <-,所以+之>。 M (x12+y12+z12)(x22 + y22 + z22)可得:3119(r-xy rz nx)3(1 xy) (1 yz) (1 zx)-(3 31125125 1)=25一 311即()(5 3xy yz zx) - 251 xy 1 yz 1 zx所以+1 >25，又由(1)可得：1 xy 1 yz 1 zx 5 3xy yz xz-3,x<2解;(1) f(x) mx2|x5| = d2x7,2<x<5,當(dāng) 2cx<5時(shí)，3<2x 7<33, x _ 5所以-3< f(x)<3(2)由(1)

6、知，當(dāng) x W2時(shí)，f (x)至 x28x+15 等價(jià)于 x2 -8x+18<0此時(shí)不等式無解；當(dāng) 2<x<5時(shí)，f (x)至x2 8x+15等價(jià)于x2 -10x +22 < 0即 5 «3 Ex E5 + J3,所以 5 J3 Ex <5；當(dāng) x >5時(shí)，f(x) >x2 8x+15等價(jià)于22x 8x+12 E0,解得2ExE6,所以5ExE6,所以不等式f(x)之x 8x+15的解集為x|5-J3<x<6 匕9 (陜西理)若關(guān)于x的不等式|a|x+1|+|x-2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是.【分析】先確定|x+1|+|

7、x-2|的取值范圍，再使得 a能取到此范圍內(nèi)的值即可.【解】當(dāng) x , 一1 時(shí)，| x+1|+| x-21=x-1x+2 =2x+ 1 3 ；當(dāng)1<x, 2時(shí)，|x+1|+|x2| = x+1x+2=3；當(dāng) x >2時(shí)，|x+1| +|x2|=x+1 +x2 = 2x1 >3;綜上可得|x+1|+|x2|3,所以只要|a|3,解得a, 3或a3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(叼3U3,).【答案】(-二，-3U3, 二)10 (陜西文15)若不等式|x+1|十|x2|a對任意xW R恒成立，則a的取值范圍是 .【分析】先確定|x+1|+|x2|的取值范圍，則只要 a不大于|x+1|

8、+|x-2|的最小值即可.【解】當(dāng) x, -1 時(shí),|x+1| + |x-2|=-x -1 -x+2 = -2x + 1-3；當(dāng) 7<x, 2 時(shí)，|x+1| 十 |x2| = x+1x+2=3；當(dāng) x>2 時(shí)，|x+1|+|x-2| = x+1+x-2=2x-1>3；綜上可得|x+1|+|x2|3,所以只要a, 3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-笛,3.【答案】(-二,311 (江蘇)解不等式：x+|2x-1|<3 .1111xx141解：原不等式可以化為12，或2 ，解得1 Ex <4或2<x<一一 2323x ： 41 -x ： 3232x | -2

9、< x < - > o34綜合得：-2 <x,所以原不等式的解集是3補(bǔ)充練習(xí)1.(全國課標(biāo)理)在直角坐標(biāo)系 xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為x = 2cos ;y = 2 2sin ;(a為參數(shù))M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足OP=2OM, P點(diǎn)的軌跡為曲線C2(I)求C2的方程(n)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線8 =£與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A ,3與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B ,求AB .【解析】(I)設(shè)P(x, y),則由條件知M(=').由于M點(diǎn)在C1上，所以2 2x一 二2cos -,2（2即y = 2 2sin 1.2x

10、= 4cos:, y = 4 4sin 1.從而C2的參數(shù)方程為x = 4cos -（0為參數(shù)）y = 4 4sin ;(n)曲線Ci的極坐標(biāo)方程為 4 = 4sin日，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 8 = 8sin日.射線8 =£與Ci的交點(diǎn)A的極徑為P1 =4sin33射線H =£與C2的交點(diǎn)B的極徑為P2 =8sin -.33所以 |AB|=| 七 _二1 |=2、,3.2.(本小題滿分10分)選彳4-5：不等式選講設(shè)函數(shù) f (x) = xa+3x,其中 a >0 .(i)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f (x)2 3x+2的解集；(n)若不等式f (x) E0的解集為x|x

11、M1 ，求a的值.【解析】(I)當(dāng)a=1時(shí)，f(x) >3x+2可化為|x1巨2.由此可得 乂23或乂£一1.故不等式f (x)至3x+2的解集為x|x之3或x<-1.(n )由 f(x)E0 得 xa+3xE0此不等式化為不等式組,Lx -aJx mai或，x - a 3x - 0 a - x 3x - 0x -a x- a即，x wa 或 $x M -42因?yàn)閍 a0,所以不等式組的解集為 ix|x<-a ,2由題設(shè)可得=1,故a = 2.251 xy 1 yz 1 zx 5 12657.(山東理)不等式|x5|+| x+3|主10的解集為( )(A) 1-5,7 1 (B)1-4,61 (C) -二，-5】U17, ,