高中數(shù)學(xué)人教A版必修(第二冊)第六章-平面向量及其應(yīng)用知識點

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六章 平面向量及其應(yīng)用1向量的概念與向量的模（1）向量概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標(biāo)量海拔、溫度、角度都是數(shù)量，不是向量。向量可以平移，與位置無關(guān)。（2）向量的幾何表示：用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向即用表示有向線段的起點、終點的字母表示，例如AB、BC，字母表示，用小寫字母a、b，表示有向線段的長度為模，表示為AB、a（3）向量的模：AB的大小，也就是AB的長度

2、（或稱模），記作AB（4）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0，零向量的長度為0，方向是任意的（5）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是 ±ABAB）（6）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性（7）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量如果a，b，c是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直線平行或重合），則 abc。任一組平行向量都可移動到同一條直線上，因此平行向量又叫共線向量，任一向量都與它自身是平行向量，并且規(guī)定，零向量與任一向量平行平行向量沒有傳遞性。相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等。（8）

3、相反向量：與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量，記作 - a2向量的加法運算（1）三角形法則：AB+BC=AC特征：首尾相接的幾個向量相加，等于從首向量的起點指向末向量的終點的向量。（2）平行四邊形法則：ABCD為平行四邊形，則AB+AD=AC特征：同起點的兩個向量相加，等于以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線所在向量（起點不變）（3）向量的加法性質(zhì) a+0=0+a=a；a+（-a）=0； a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c） a+b a+b4向量的減法運算法則： OA-OB=BA特征；同起點的兩個向量相減，等于由減向量終點指向被減向量終點的向量.(一個向量等于由第三點指向終

4、點的向量減去由第三點指向起點的向量)5向量數(shù)乘和線性運算（1）向量的數(shù)乘：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的大小為a a，其方向與的正負有關(guān)若a0，當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同，當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反當(dāng)0時，a與a平行對于非零向量a、b，當(dāng)0時，有aba=b.（2）向量數(shù)乘運算法則 1a=a；（1）a= -a；（）a=（a）=（a）；（+）a=a+a； （a+b）a+b向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍是向量，注意 a-a=0。一般地，a+b叫做a，b的一個線性組合（其中，、均為系數(shù)）如果l=a+b，則稱l可以用a，b線性表示（3） 向量a (a0

5、 )與向量b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使b=a.（4） A、B、C三點共線 ACAB AC=AB .6平面向量數(shù)量積（1）向量的夾角：對于兩個非零向量a，b如果以O(shè)為起點，作OA=a，OB=b，那么射線OA，OB的夾角叫做向量a與向量b的夾角，其中0（2）向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a，b的夾角為，那么我們把abos叫做a與b的數(shù)量積，記做a b 即：ab=abcos規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：0a=0注意：ab 表示數(shù)量而不表示向量，符號由cos決定； 符號“”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是

6、：0（3）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，a與b和夾角為，則： a e =ea =acos； ab ab =0；（判定兩向量垂直的充要條件） 當(dāng)a，b方向相同時，ab =ab；當(dāng)a，b方向相反時，ab =-ab；特別地：aa=a2或a=aa（用于計算向量的模） cos=ab ab（為銳角 a b>0且abab； 為鈍角 a b < 0且ab -ab） a b ab（4）平面向量數(shù)量積的運算律交換律：ab =b a；數(shù)乘向量的結(jié)合律：（a）b=（ab ）=a （b）；分配律：（a+b）c=a c+b c（5） 平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)（a

7、± b）2 =a 2± 2ab +b 2（a-b）（a+b）=a 2-b2 a（bc）（ab）c，（6） 投影：b在a上的投影是一個數(shù)量bcos，它可以為正，可以為負，也可以為0（7） 投影向量：a在b上的投影向量等于acose （其中e為與b同向的單位向量）7 平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)任一向量a，有且僅有一對實數(shù)1、2，使a=1e1+2e2我們把e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底8平面向量的坐標(biāo)運算（1）平面向量的坐標(biāo)表示：a=（x，y）表示以原點為起點，以（x，y）為終點的向量（2）平面向量的坐標(biāo)運算：若A

8、（x1，y1），B（x2，y2），則AB=（x2x1，y2y1）若a=（x，y）則 a=x2+y2，a2=a2=x2+y2，a=（x，y）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則：a+b=（x1+x2，y1+y2）；a-b=（x1x2，y1y2）；ab= x1x2+y1y2。平面向量平行的坐標(biāo)表示：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則 ba（a0） b=a x1y2x2y10平面向量垂直的坐標(biāo)表示：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則 ba ab=0 x1x2+ y1y20向量的夾角公式： cos=ab|a|b|=x1x2+y1y2x12+y12x22+y229向量中一些常

9、用的結(jié)論：（1）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。為重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；（2）向量PA、PB 、PC 三終點A、B、C共線存在實數(shù)、使得PA=PB +PC 且+=1.10三角形中的重要結(jié)論 在三角形中，大邊對大角，中邊對中角，小邊對小角，等邊對等角。 在三角形中，只有最大的角才可能是鈍角或直角，當(dāng)然也可以是銳角，中間的角和最小的角一定為銳角。 三角形內(nèi)角的正弦值一定大于0，銳角的余弦值大于0，直角的余弦值等于0，鈍角的余弦值小于0.11三角形中的誘導(dǎo)公式 12正弦定理和余弦定理三角形常用面積公式定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=bsinB=

10、csinC=2R （ R是ABC外接圓半徑）a2b2+c22bccosA，b2a2+c22accosB，c2a2+b22abcosC變形形式 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC； sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R； asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA a：b：csinA：sinB：sinC；ab=sinAsinBasinA=a+bsinA+sinB=a+b+csinA+sinB+sinCcosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab解決三角形的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他

11、兩條邊；已知兩邊和一邊對角，求另一邊和其他兩角 邊角互化已知三邊，求各角；已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩角13三角形常用面積公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA = abc4R= 12（a+b+c）r14 三角形解的個數(shù)的判斷已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況如已知a，b，A，則:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式b sin Ab sinAb sin Abbbb解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解平面向量基礎(chǔ)知識練習(xí)題1、 與a共線的單位向量是_，a的相反向量是_2、 平行向量也叫_3、 AB+BC=_ OA-OB=_ a-a=_4、 |a+b | _ |

12、a | + | b |5、 向量a (a0 )與向量b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使_6、 A、B、C三點共線 ACAB _7、 ab=_ a 2= _ 0a=_8、 a，b方向相同 _ a，b方向相反 _a，b夾角為銳角 _ a，b夾角為直角 _a，b夾角為鈍角 _9、 b在a上的投影= _ ， e為與b同向的單位向量，a在b上的投影向量等于_10、 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)任一向量a，有且僅有一對實數(shù)1、2，使_我們把e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個_11、 平面向量的坐標(biāo)運算：若A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=_若a=（x，y）則 |a|=_ ，a2=_，a=_若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則：a+b=_；a-b=_；ab=_平面向量平行的坐標(biāo)表示：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則 ba（a0）_ 平面向量垂直的坐標(biāo)表示：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則 ba _向量的夾角公式： cos=_=_12、 向量PA、PB 、PC 三終點A、B、C共線存在實數(shù)、使得PA=PB +PC 且_13、 下列運算錯誤的是_(1) a+0=0+a=a；a+（-a）=0；(2