高中數(shù)學(xué)-第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念講義-新人教A版必修一第一冊(cè)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上3.1.1函數(shù)的概念最新課程標(biāo)準(zhǔn)：在初中用變量之間的依賴(lài)關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫(huà)函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用。了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念1函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function)，記作yf(x)，xA.2函數(shù)的定義域和值域函數(shù)yf(x)中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain)；與x的值相對(duì)應(yīng)的

2、y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域(range)顯然，值域是集合B的子集對(duì)函數(shù)概念的3點(diǎn)說(shuō)明(1)當(dāng)A , B為非空實(shí)數(shù)集時(shí)，符號(hào)“ f ：AB ”表示A到B的一個(gè)函數(shù)(2)集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性(3)符號(hào)“f ”表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣知識(shí)點(diǎn)二區(qū)間的概念1區(qū)間的幾何表示定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示x|axb閉區(qū)間a，bx|a<x<b開(kāi)區(qū)間(a，b)x|ax<b半開(kāi)半閉區(qū)間a，b)x|a<xb半開(kāi)半閉區(qū)間(a，b2.實(shí)數(shù)集R的區(qū)間表示實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(，)，“”讀作“無(wú)窮大”；“”讀作“負(fù)無(wú)窮大”；“”

3、讀作“正無(wú)窮大”3無(wú)窮大的幾何表示定義符號(hào)數(shù)軸表示x|xaa，)x|x>a(a，)x|xb(，bx|x<b(，b)關(guān)于無(wú)窮大的2點(diǎn)說(shuō)明(1)“”是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)(2)以“”或“”為端點(diǎn)時(shí)，區(qū)間這一端必須是小括號(hào)知識(shí)點(diǎn)三同一函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)教材解難1教材P60思考根據(jù)問(wèn)題1的條件，我們不能判斷列車(chē)以350 km/h運(yùn)行半小時(shí)后的情況，所以上述說(shuō)法不正確顯然，其原因是沒(méi)有關(guān)注到t的變化范圍2教材P63思考反比例函數(shù)y(k0)的定義域?yàn)閤|x0，對(duì)應(yīng)關(guān)系為“倒數(shù)的k倍”，值域?yàn)閥|y0

4、反比例函數(shù)用函數(shù)定義敘述為：對(duì)于非空數(shù)集Ax|x0中的任意一個(gè)x值，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f“倒數(shù)的k(k0)倍”，在集合By|y0中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么此時(shí)f：AB就是集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作f(x)(k0)，xA.3教材P66思考初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)傳統(tǒng)定義與高中的近代定義之間的異同點(diǎn)如下：不同點(diǎn)：傳統(tǒng)定義從變量變化的角度，刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；而近代定義，則從集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)非空數(shù)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同點(diǎn)：兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系滿(mǎn)足的條件是相同的，“變量x的每一個(gè)值”以及“集合A中的每一個(gè)數(shù)”，都有唯一一個(gè)“y值”與之對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)自測(cè)1下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是()AA1

5、,0,1，B0,1，f：A中的數(shù)平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)開(kāi)方CAZ，BQ，f：A中的數(shù)取倒數(shù)DA平行四邊形，BR，f：求A中平行四邊形的面積解析：對(duì)B，集合A中的元素1對(duì)應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)的定義；對(duì)C，集合A中的元素0取倒數(shù)沒(méi)有意義，在集合B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義；對(duì)D，A集合不是數(shù)集，故不符合函數(shù)的定義綜上，選A.答案：A2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A(1，)B1，)C1,2) D1,2)(2，)解析：使函數(shù)f(x)有意義，則即x1，且x2.所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1且x2故選D.答案：D3下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()Ay與yx3B

6、y1與yx1Cyx0(x0)與y1(x0)Dyx1，xZ與yx1，xZ解析：A中兩函數(shù)定義域不同；B中兩函數(shù)值域不同；D中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則不同答案：C4用區(qū)間表示下列集合：(1)_；(2)x|x<1或2<x3_.解析：(1)注意到包括不包括區(qū)間的端點(diǎn)與不等式含不含等號(hào)對(duì)應(yīng)，則x|x<5，5)(2)注意到集合中的“或”對(duì)應(yīng)區(qū)間中的“”，則x|x<1或2<x3(，1)(2,3答案：(1)(2)(，1)(2,3題型一函數(shù)的定義經(jīng)典例題例1根據(jù)函數(shù)的定義判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為從集合A到集合B的函數(shù)：(1)A1,2,3，B7,8,9，f(1)f(2)7，f(3)8；(2)A1

7、,2,3，B4,5,6，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示；(3)AR，By|y>0，f：xy|x|；(4)AZ，B1,1，n為奇數(shù)時(shí)，f(n)1，n為偶數(shù)時(shí)，f(n)1.【解析】對(duì)于集合A中的任意一個(gè)值，在集合B中都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，因此(1)(4)中對(duì)應(yīng)關(guān)系f是從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(2)集合A中的元素3在集合B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，且集合A中的元素2在集合B中有兩個(gè)元素(5和6)與之對(duì)應(yīng)，故所給對(duì)應(yīng)關(guān)系不是集合A到集合B的函數(shù)(3)A中的元素0在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，故所給對(duì)應(yīng)關(guān)系不是集合A到集合B的函數(shù).1.從本題(1)可以看出函數(shù)f(x)的定義域是非空數(shù)集A，但值域不一定是非空數(shù)集B，也可以是集合B

8、的子集2判斷從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)，一定要以函數(shù)的概念為準(zhǔn)則，另外也要看A中的元素是否有意義，同時(shí)，一定要注意對(duì)特殊值的分析方法歸納(1)判斷一個(gè)集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系的方法：A，B必須都是非空數(shù)集；A中任意一個(gè)數(shù)在B中必須有并且是唯一的實(shí)數(shù)和它對(duì)應(yīng)注意A中元素?zé)o剩余，B中元素允許有剩余(2)函數(shù)的定義中“任意一個(gè)x”與“有唯一確定的y”說(shuō)明函數(shù)中兩變量x，y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或者是“多對(duì)一”，而不能是“一對(duì)多”跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)Mx|0x2，Ny|0y2，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有() A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)(2)下列對(duì)應(yīng)是否

9、是函數(shù)？x，x0，xR；xy，其中y2x，xR，yR.解析：(1)圖號(hào)正誤原因 ×x2時(shí)，在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿(mǎn)足任意性同時(shí)滿(mǎn)足任意性與唯一性×x2時(shí)，對(duì)應(yīng)元素y3N，不滿(mǎn)足任意性×x1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿(mǎn)足唯一性答案：(1)B(1)x0，1取不到1，2.y0，3超出了N0，2范圍.可取一個(gè)x值，y有2個(gè)對(duì)應(yīng)，不符合題意.(2)是函數(shù)因?yàn)槿稳∫粋€(gè)非零實(shí)數(shù)x，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)定義不是函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，y±1，即一個(gè)非零自然數(shù)x，對(duì)應(yīng)兩個(gè)y的值，不符合函數(shù)的概念答案：(2)是函數(shù)不是函數(shù)(2)關(guān)鍵是否符合函數(shù)定義題型二求函數(shù)的定

10、義域經(jīng)典例題例2(1)函數(shù)f(x)的定義域是()A.1,1)B1,1)(1，)C1，)D(1，)(2)求下列函數(shù)的定義域y；y.【解析】(1)由解得x1，且x1.所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?,1)(1，)【答案】(1)B(1)依據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于0，列不等式組求定義域【解析】(2)要使函數(shù)有意義，需滿(mǎn)足即得x>2且x3.所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)(3，)要使函數(shù)有意義，需滿(mǎn)足即所以x>0且x1，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)(1，)【答案】(2)見(jiàn)解析(2)依據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于0,0的0次冪沒(méi)有意義，列不等式組求定義域方法

11、歸納求函數(shù)的定義域(1)要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：分式的分母不為0；偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；yx0要求x0.(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合(3)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“”連接跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x).解析：(1)要使函數(shù)有意義，只需x23x20，即x1且x2，故函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1且x2(2)要使函數(shù)有意義，則解得x<0且x1.所以定義域?yàn)?，1)(1

12、,0)(3)要使函數(shù)有意義，則解得x<2，且x0.故定義域?yàn)?0,2)(1)分母不為0(2)(3)題型三同一函數(shù)教材P66例3例3下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)yx是同一個(gè)函數(shù)？(1)y()2; (2)u；(3)y； (4)m.【解析】(1)y()2x(xx|x0)，它與函數(shù)yx(xR)雖然對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但是定義域不相同，所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù)yx(xR)不是同一個(gè)函數(shù)(2)uv(vR)，它與函數(shù)yx(xR)不僅對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，而且定義域也相同，所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù)yx(xR)是同一個(gè)函數(shù)(3)y|x|它與函數(shù)yx(xR)的定義域都是實(shí)數(shù)集R，但是當(dāng)x<0時(shí)，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)yx(xR)不相同所以

13、這個(gè)函數(shù)與函數(shù)yx(xR)不是同一個(gè)函數(shù)(4)mn(nn|n0)，它與函數(shù)yx(xR)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同但定義域不相同所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù)yx(xR)不是同一個(gè)函數(shù)教材反思判斷同一函數(shù)的三個(gè)步驟和兩個(gè)注意點(diǎn)(1)判斷同一函數(shù)的三個(gè)步驟(2)兩個(gè)注意點(diǎn)：在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形；與用哪個(gè)字母表示無(wú)關(guān)跟蹤訓(xùn)練3試判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)(1)f(x)，g(x)x1；(2)f(x)，g(x)；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2；(4)f(x)|x|，g(x).解析：序號(hào)是否相同原因(1)不同定義域不同，f(x)的定義域?yàn)閤|x0，g(x)的定義域?yàn)镽(2)不同對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，f(x)，g(x)(

14、3)不同定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同(4)相同定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，要看三要素是否對(duì)應(yīng)相同函數(shù)的值域可由定義域及對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)確定，因而只要判斷定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否對(duì)應(yīng)相同即可題型四求函數(shù)的值域經(jīng)典例題例4求下列函數(shù)的值域(1)y34x，x(1,3(2)y.(3)yx24x5，x1,2,3(4)yx24x5.【解析】(1)因?yàn)?<x3，所以124x<4，所以934x<7，所以函數(shù)y34x，x(1,3的值域是9,7)(2)因?yàn)閥22，所以函數(shù)y的值域?yàn)閥|yR且y2(3)函數(shù)的定義域?yàn)?,2,3，當(dāng)x1時(shí)，y124×152，當(dāng)x2時(shí)，y224

15、5;251，當(dāng)x3時(shí)，y324×352，所以這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?,2，(4)因?yàn)閥x24x5(x2)21，xR時(shí)，(x2)211，所以這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?，)(1)用不等式的性質(zhì)先由x(1,3求4x的取值范圍，再求34x的取值范圍即為所求(2)先分離常數(shù)將函數(shù)解析式變形，再求值域(3)將自變量x1,2,3代入解析式求值，即可得值域(4)先配方，然后根據(jù)任意實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)求值域.方法歸納求函數(shù)值域的常用方法(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察法得到(2)配方法：是求“二次函數(shù)”類(lèi)值域的基本方法(3)換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)

16、的值域?qū)τ趂(x)axb(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac0)型的函數(shù)常用換元法(4)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類(lèi)”的形式，便于求值域跟蹤訓(xùn)練4求下列函數(shù)的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)y1；(3)y；(4)yx22x3(5x2)解析：(1)將x1,2,3,4,5分別代入y2x1，計(jì)算得函數(shù)的值域?yàn)?,5,7,9,11(2)因?yàn)?，所以11，即所求函數(shù)的值域?yàn)?，)(3)因?yàn)閥1，所以函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閤211，所以0<2.所以y(1,1所以所求函數(shù)的值域?yàn)?1,1(4)yx22x3(x1)24.因?yàn)?x2，所以4x11.

17、所以1(x1)216.所以124(x1)23.所以所求函數(shù)的值域?yàn)?2,3(3)先分離再求值域(4)配方法求值域一、選擇題1下列各個(gè)圖形中，不可能是函數(shù)yf(x)的圖象的是()解析：對(duì)于1個(gè)x有無(wú)數(shù)個(gè)y與其對(duì)應(yīng)，故不是y的函數(shù)答案：A2函數(shù)f(x)的定義域是()A.B.C.D.解析：由題意得解得3x<且x，故選B.答案：B3已知函數(shù)f(x)1，則f(2)的值為()A2B1C0 D不確定解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)1，所以不論x取何值其函數(shù)值都等于1，故f(2)1.故選B.答案：B4下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Ayx1和yBy和y()2Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)和g(x

18、)解析：只有D是相同的函數(shù)，A與B中定義域不同，C是對(duì)應(yīng)法則不同答案：D二、填空題5. 用區(qū)間表示下列數(shù)集(1)x|x2_；(2)x|3<x4_；(3)x|x>1且x2_.解析：由區(qū)間表示法知：(1)2，)；(2)(3,4；(3)(1,2)(2，)答案：(1)2，)(2)(3,4(3)(1,2)(2，)6函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的定義域?yàn)開(kāi)，值域?yàn)開(kāi)解析：由f(x)的圖象可知 5x5，2y3.答案：5,52,37若Ax|y，By|yx21，則AB_.解析：由Ax|y，By|yx21，得A1，)，B1，)，AB1，)答案：1，)三、解答題8(1)求下列函數(shù)的定義域：y；y；y；(2)將長(zhǎng)為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長(zhǎng)x的解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域解析：(1)4x0，即x4，故函數(shù)的定義域?yàn)閤|x4分母|x|x0, 即|x|x，所以x<0.故函數(shù)的定義域?yàn)閤|x<0解不等式組得故函數(shù)的定義域是x|1x5，且x3(2)設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為(a2x)，所以yx·(a2x)x2ax，函數(shù)的定義域?yàn)?<x<，定義域?yàn)?9求下列各函數(shù)的值域：(1)yx1，x2,3,4,5,6；(2)yx24x6；(3)yx.解析：(1)因