最新北師大相似三角形_基本知識點+經(jīng)典例題

1、最新北師大相似三角形基本知識點+經(jīng)典例題相似三角形知識點知識點1有關(guān)相似形的概念(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最 簡單的是相似三角形.(2)如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊 成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比(相似系數(shù)).知識點2 比例線段的相關(guān)概念如果選用同一單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比是am,或?qū)慴n成a:bm:n .注：在求線段比時，線段單位 要統(tǒng)一。在四條線段a,b,c,d 中，如果a和b的比等于c和d的 比，那么這四條線段 a,b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線 段.注：比例線段是

2、有順序的，如果說a是b,c,d的第四比例項，那么應(yīng)得比例式為：bcd .aac(a : bc: d)中，a、d叫比例外項，b、c叫比例內(nèi)項，a、c叫比例前項，b、d 叫比例后bd2項，d叫第四比例項，如果 b=c,即a : bb: d 那么b叫做a、d的比例中項， 此時有bad。 在比例式黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC,BC（ACBC）且使AC是AB和BC的比例中項，即AC2ABBC叫做把線段 AB黃金分割，點 C叫做線段AB 的黃金分割點，其中 AC.即51AM 2 長短 51ACBC51 簡記為：= ABAC2 全長 20注：黃金三角形：頂角是 36的等腰三角形。黃金矩形： 寬與長的

3、比等于黃金數(shù)的矩形知識點3 比例的性質(zhì)基本性質(zhì)：a:bc:dadbc ; a:bb:cbac .注：一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共 可化成八個比例式，如adbc,除了可化為 a:bc:d ,還可化為 a:cb:d , c:da:b , b:da:c , b:ad:c , c:ad:b , d:cb:a , d:bc:a .2更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項或外項）：acbd反比性質(zhì)（把比的前項、后項交換）：合、分比性質(zhì)：acbdab（交換內(nèi)項）cd , dc,（交換外項）badb（同時交換 內(nèi)外項）ca . bd .acacabcd . bdbd注：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式

4、中等號 左右兩個比的前項，后項之間badcacac發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如：等等.abcdbdabcd 等比性質(zhì)：如果acemaacem (bdfn0),那么bdfnbbdfn 注：此性質(zhì)的證明運用了 “設(shè)k法”這樣可以減少未知數(shù)的個數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計算變形中一種常用方法. 應(yīng)用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零.可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立.如：acea2c3ea2c3ea ;其中 b2d3f0 . bdfb2d3fb2d3fb 知識點4比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊

5、的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例. ADE/ BC可得：ADAEBDECADAM DBECADEAABACDECB注：重要結(jié)論：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成 比例.三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給由了一種證明兩直線平行方法，即：利用比例式證平行線.平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時，輔助線往往 做平行線，但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的 比及所求的兩條線段的比.A 2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線 所

6、截得的對應(yīng)線段成比例. D已知AD/ BE/ CF,BE可得ABDEABDEBCEFBCEFABB豉或或或等BCEFACDFABDEACDFDEEFCF注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如 果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線 段也相等。知識點5相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角 形.相似用符號“s”表示，讀作“相似于”.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）.相似三角形對應(yīng)角 相等，對應(yīng)邊成比例.注：對應(yīng)性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應(yīng)頂 點的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角

7、形 的對應(yīng)角和對應(yīng)邊.順序性：相似三角形的相似比是有順序的.兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣.全等三 角形是相似比為1的相似三角形.二者的區(qū)別在于全等要求 對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例.知識點6三角形相似的等價關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價關(guān)系：反身性：對于任一 ABC有ABS ABC對稱性：若 ABSA'B'C',則 A'B'C' sABC傳遞性：若 ABSA'B'C ,且 A'B'C sABC 則 ABSABC (2)三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊 的直線

8、和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與 原三角形相似.定理的基本圖形：ADE ABADEBC(1)CDE(2)B(3)C 用數(shù)學(xué)語言表述是：DE/BC,，ADEsABC知識點7三角形相似的判定方法1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角 形與原三角形相似.3、判定定理1:如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.4、判定定理2:如果一個三角形的兩條邊與另一個三角 形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形

9、相似.簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相 似.5、判定定理3:如果一個三角形的三條邊與另一個三 角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用.(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個 直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直 角三角形相似.(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似.知識點8相似三角形常見的圖形1、下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形： 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形BAAEDEDABC(1)CDE(2)B(3)C(2) 如圖

10、：其中/ 1=/2,則AADk ABC稱為“斜交型”的相似三角形。B2E1DC2BAA4D1E1DC2ABC®:稱為“垂直型”“三垂直型”)BEDCAAEBEABC(D)CDAD2EBC1躥：/ 1 = /2, / B=/D,則 ADa A ABC；稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：若 DE/ BC貝必 ADk A ABC射影定理 若CD為RtABC斜邊上的高222則 Rt ABS RtAACtD RtACBDS AC=ADAB, CD=ADBD, BC=BD AB;ADBECEABDC滿足 1、AC=AD AB, 2、/ACD= B, 3、/ ACBW ADC

11、 都可判定 ADS A ACB2CAD明ADA或 AD AB=ACAE時，AADEi A ACB ACABADBCADEBC 知識點9:全等與相似的比較：三角形全等兩角夾一邊對應(yīng)相等 (ASA)兩角一對邊對應(yīng)相等(AAS)兩邊及夾角對應(yīng)相等(SAS)三邊對應(yīng)相等(SSS)直角三角形中一直角邊與斜邊對應(yīng)相等(HL)三角形相似相似判定的預(yù)備定理兩角對應(yīng)相等兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等 三邊對應(yīng)成比例 直角三角形中斜邊與一直 角邊對應(yīng)成比例知識點10相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平 分線的比都等于相似比.(3)相似三角形周長的

12、比等于相似 比.(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方.注：相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等， 也可用來計算周長、邊長等.知識點11相似三角形中有關(guān)證題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：(1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系知識點12相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形周長比，對應(yīng)對角線的比都等于相似比.(2)相似多邊形中對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多 邊形的相似比.(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方.注意：相似多邊形問題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問題去 解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是

13、基礎(chǔ)和關(guān)鍵.知識點13位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1 .如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)頂點 的連線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.2 .這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.注：位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且 對應(yīng)頂點的連線相交于一點.位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或共線.3 .位似圖形的性質(zhì)： 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位 似中心的距離之比等于相似比.注：位似圖形具有相似圖 形的所有性質(zhì).4 .畫位似圖形的一般步驟：確定位似中心分別連接原圖形中的關(guān)鍵點和位似中心，并延長. 根據(jù)已知的位似比，確定所

14、畫位似圖形中關(guān)鍵點的位置順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點，即可得到一個放大或縮小 的圖形. 注：位似中心可以是平面內(nèi)任意一 點，該點可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上。外位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段之外，稱 為“外位似”內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的 線段上，稱為“內(nèi)位似”在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點O為位似中心，相似比為 k,原圖形上點的坐標(biāo)為，那么同向位似圖形 對應(yīng)點的坐標(biāo)為（kx,ky）,反向位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)為（-kx,-ky）,相似三角形經(jīng)典例題透析類型一、相似三角形的概念1 .判斷對錯：（1）兩個直角三角形一定相似嗎？為什么？（2）兩個等腰三角形一定相似嗎？為什么

15、？（3） 兩個等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？（4） 兩個等邊三角形一定相似嗎？為什么？ （5） 兩個全等三角形一定相似嗎？為什 么？思路點撥：要說明兩個三角形相似，要同時滿足對應(yīng)角 相等，對應(yīng)邊成比例.要說明不相似，則只要否定其中的一 個條件.解：（1）不一定相似.反例直角三角形只確定一個直角，其他的兩對角可能相等， 也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.（2）不一定相似.反例等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個等腰三角形中有兩邊對應(yīng)成比例，兩底邊的比不一定等于對 應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3) 一定相似.在直角三角形 ABC與直角三角形 A B C中(4) 一定

16、相似.因為等邊三角形各邊都相等，各角都等于60度，所以兩個等邊三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，因此兩個等邊 三角形一定相似.(5) 一定相似.全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，所以對應(yīng)邊比為1,所以全等三角形一定相似，且相似比為1.【變式21下列能夠相似的一組三角形為()A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形類型二、相似三角形的判定2 .如圖所示，已知中，E為AB延長線上的一點， AB=3BE DE與BC相交于 F,請戰(zhàn)由圖中各對相似三角形，并求生相應(yīng)的相似比.3 .已知在 RtAABC, / C=90 , AB=1Q BC=6.

17、在 Rt EDF中，/ F=90 , DF=3, EF=4,貝U4 ABC和 EDF相似嗎?為什么？舉一反三【變式1】已知：如圖正方形 ABC計，P是BC上的點， 且BP=3PC Q是CD的中點.求證： AD3 QCP.【變式31已知：如圖，AD是4ABC的高，E、F分別是 AB AC的中點. 求證： DF% A ABC類型三、相似三角形的性質(zhì)5. ABSDEF,若 ABC 的邊長分別為 5cms 6cm. 7cm,而4cm是 DEF中一邊的長度，你能求由 DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理 .6.如圖所示，已知 ABC中，AD是高，矩形EFGH9接 于4ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰

18、兩邊的比為 1: 2, 若BC=30cm AD=10cm求矩形EFGH勺面積.舉一反三【變式1】4ABC中，DE/ BC, M為DE中點，CM交 AB 于N,若求.類型四、相似三角形的應(yīng)用舉一反三【變式1】如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在 該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 mi已知小明的身高是mn,他的影長是2 m.【變式21已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在 地面上留下寬的亮區(qū) DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=,窗口高AB=,求窗口底邊離地面的高 BC?類型五、相似三角形的周長與面積8 .已知：如圖，在 ABC與ACAD中，DA BC, CD與 AB相交于 E 點，且 AE： EB=1： 2, EF/ BC交 AC于 F 點， ADE的面積為1,求 BCE和4AEF的面積.【變式21如圖，已知: ABC中，AB=5, BC=3,