一線三角模型及例題

1、標(biāo)準(zhǔn)實用相似三角形判定的復(fù)習(xí)：1 .相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所截成的三角形與原三角形相似。2 .相似三角形的判定定理：(1)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似。(2)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似。(3)三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似。3 .直角三角形相似的判定定理：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。(2) 一直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩三角形 相似。相似三角形的性質(zhì)： 要點1 :相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例要點2:相似三角形的性質(zhì)定

2、理：相似三角形的性質(zhì)定理 1：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形的性質(zhì)定理 2:相似三角形的周長的比等于相似比相似三角形的性質(zhì)定理 3:相似三角形的面積的比等于相似比的平方要點3:知識架構(gòu)圖1、如圖，銳角？ ABC的高CD和BE相交于點O,圖中相似三角形有多少對？請分別寫出BC2、如圖，在銳角？ ABC中，/ ADE玄ACB圖中相似三角形有多少對？請分別寫出B3、如圖已知/ BACh BDC=90 , S注bc =16, Se =8 .問：/ BEC的大小確定嗎？若確定，求期度數(shù)；若不確 定，請說明理由.文案大全(1)(2)4、如圖，在 ABC中，/BA

3、C=90,，AD是BC邊上的高，點 E在線段DC上，EF_LAB, EG _L AC ,垂足分別為F, G .求證:EG CG=;AD CDFD ± DG .5、如圖，四邊形 ABCLfr, AC與 BD交于點 E, AC!AB,BD! CD. S? eb(=16, S?aed=8.AD(1)求二D的值；BC(2)問：/ BEC是不是定角？如果是，把它求出來；如果不是，請說明理由5、如圖，在 ABC中，角ACB為直角，CDLAB于點D,又 AC日 BCF都是等邊三角形，連結(jié) DE DF;求證：DELDF中考熱點：一線三等角型的相似三角形、問題引入如圖，AABC中，NB=90'

4、 CD _L AC ,過D作DE _L AB交BC延長線與E。求證：ABCL CED三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示:其他常見的一線三等角圖形(等腰三角形中底邊上一線三等角)(等腰梯形中底邊上一線三等角)(直角坐標(biāo)系中一線三等角)(矩形中一線三等角)等角的頂點在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點移動到底邊的延長線時，形成變式 圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會。(1)等腰三角形中一線三等角例1、 如圖，已知在 ABOK

5、 AB=AG=6,BG5,D是AB上一點，BD=2, E是BC上一動點，聯(lián)結(jié)DE并作/DEF =/B ,射線EF交線段AC于F.(1)求證： DB呼AECF(2)當(dāng)F是線段AC中點時，求線段 BE的長;(3)聯(lián)結(jié)DF,如果 DEF與DBEf似，求FC的長.講解：1、本題中，第一問的結(jié)論是這類題共同的特性，只要等腰三角形底邊上有三等角，必有三角形相似；2、第二問中根據(jù)相似求線段的長，也很常見；有時候會反過來問，線段的長是多少是，三角線相似。變式練習(xí)1就是這類題型；3、第三問中間的三角形與左右兩個形似時有兩種情況，一種是DF與底邊平行，一種是E為中點;4、在等腰三角形，將腰延長會交于一點，也構(gòu)成等

6、腰三角形，故而以上三點，在等腰梯形中也適用。變式練習(xí)1 （浦東新區(qū)22題）BC、AC 上，BD = 3, E 為 AC 中如圖，已知等邊 ABC的邊長為8,點D、F、E分別在邊 AB、點，當(dāng) BPDA PCE相似時，求BP的值.如圖6,已知A ABC中，AB = AC_忒E、F在邊BC上，滿足/2EAF =/C.求證：BF CE=AB ；變式練習(xí)3如圖，在三角形ABC中，AB=4, AC=2 / A =900,點D為腰AC中點,點 E在底邊 BC上，且 DE，BD,求 CED的面積。變式練習(xí)4已知/ ABC=90 , AD/ BC, P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上，且滿足PQ =膽，當(dāng)

7、AD Y AB ,且點PC ABQ在線段AB的延長線上時，求 ZQPC的大小.A(2)等腰梯形中一線三等角例1、(長寧區(qū)18題)如圖，等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AD=J2, BC = 4J2 , / B = 45?,直角三角板含45度角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點 A,斜邊與CD交于點F2 ABE為等腰三角 形，則CF的長等于例2、如圖，梯形 ABC由，AB/ DC ZB=90° , E為BC上一點,心 ABa ECD(1)若 BC=8, AB=3, D(=4,求 BE的長(2)若 BC= 473 , AB=3 DG4,求 BE的長.(3)若 BC=6, AB

8、=3, D(=4,求 BE的長.例 3、如圖，梯形ABCM,AB/CD / ABC=900 AB=8,CD=6 在AB上取動點 P,連結(jié)DP,PPQL DP,使得 PQ交射線BC與點E,設(shè)AP=x, BE=y。(1)當(dāng)BC=4時，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)BC在什么范圍時，存在點 P,使得PQ經(jīng)過點C (直接寫出結(jié)果) 中點，以M為頂點作/EMF =NB ,射線ME交腰AB于點E ,射線MF交腰CD于點F ,聯(lián)結(jié)EF .例4、(徐匯區(qū)25).如圖，在梯形 ABCD中,AD / BC , AB = CD = BC =6 , AD = 3 .點 M 為邊 BC 的(1)求證： MEF be

9、m ；(2)若 BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長;(3)若EF 1CD ,求BE的長.例 4、(楊浦區(qū)基礎(chǔ)考)四邊形 ABCD 中，AD / BC , NABC (0<90 ), AB = DC = 3, BC=5 .點P為射線BC上動點(不與點B、C重合)，點E在直線DC上，且NAPE=o(.記NPAB = N1，/EPC=N2, BP =x, CE =y .(1)當(dāng)點P在線段BC上時，寫出并證明 /1與/2的數(shù)量關(guān)系；(2)隨著點P的運動，(1)中得到的關(guān)于 /1與/2的數(shù)量關(guān)系，是否改變？若認(rèn)為不改變，請證明；若認(rèn)為會 改變，請求出不同于(1)的數(shù)量關(guān)系，并指出相應(yīng)的

10、x的取值范圍；(3)若cos a =1 ,試用x的代數(shù)式表示 y .3(3)坐標(biāo)系中一線三等角4例1、(金山區(qū)24)如圖，住平面直角系中，直線 AB ： y = x+4(a #0)分別交x軸、y軸于B、A兩點，直 a線AE分別交x軸、y軸于E、A兩點，D是x軸上的一點，OA= OD ,過D作CD _L x軸交AE于C ,連接B C ,當(dāng)動點B在線段OD上運動(不與點 。點D重合)且AB_L BC時(1)求證：AABOs ABCD ; (2)求線段CD的長(用a的代數(shù)式表示)；13(3)若直線AE的萬程是y = x + b ,求tan/BAC的值.161例2、如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線 丫=一*

11、+2與*軸, 2軸分別交于A, B兩點，以A B為邊在第二象限內(nèi)作,求點D的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系 XOY中，AAOB的位置如圖所示，已知/AOB =900,/A = 600，點 A 的坐標(biāo)為J3,1)(1) 求點B的坐標(biāo);求函數(shù)解析式。(2) 若拋物線y = ax2+bx+c經(jīng)過A、Q B三點,如圖所示:2RTAAO抻/ACB=90 , OA=4, OB=2點B在反比仞函數(shù) y =一圖像上，求過點 A的雙曲線解析式。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,如圖，四邊形O A B C是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,點A在X軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊,使點B落在邊OA的點 D處.已知折疊線 CE且

12、CE=5，5,一3 tan / EDA =一,求直線C E與x軸父點的坐標(biāo);4OBL OA且OB= 2OA點A的坐標(biāo)是(一1, 2).求過點A、。B的拋物線的表達(dá)式;AD =6,點P是射線DA上的一個動點，將三角板C ,另一直角邊交射線 BA于點E .例6、(長寧區(qū)24題).如圖，在矩形 ABCD中，AB=4,的直角頂點重合于點P,三角板兩直角中的一邊始終經(jīng)過點(1)判斷 EAP與 PDC一定相似嗎？請證明你的結(jié)論；(2)設(shè)PD =x , AE = y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；(3)是否存在這樣的點 P,是 EAP周長等于 PDC周長的2倍？若存在，請求出 PD的長度；若不存在

13、, 請簡要說明理由.“一線三等角”專題練習(xí)、知識梳理:1、如圖1,AB= AC, / B= / ADE那么一定存在的相似三角形有AB= AC, / B= / EDF2、如圖2,那么一定存在的相似三角形有3、在等腰 ABC中，月長10厘米，底邊長16厘米，點P在底邊上以0.5厘米/秒的速度從點B向點C移動.當(dāng)點P運動到PA與腰垂直的位置時，點 P的運動時間為 秒.二、經(jīng)典例題解析1、如圖，在A ABC AB=AC=4, BC= 6, / B= /ADE點D、E分別在 BC AC上(點 D與R C不重合)，設(shè)BD= x , AE= y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及 x的取值范圍。2、如圖：在直角梯形

14、 ABCD43, AD/ BC, / B = 90 ° , DHL BC于 H, AB = 6 , BC = 16 , DC = 10 ,線段 BC上有一動點E (不與點C重合)，過點E作ED DC交線段DC于點F.(1)求CH的長；(2)設(shè)BE = x , EF = y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；(3)當(dāng)以E、F、C為頂點的三角形與 ABE相似時，求BE的長.C3、如圖，在 RtABC中，/ ACE=90o , AB=10, AG6,點E、F分別是邊 AC BC上的動點，過點 E作Ed AB于點D,過點F作FG，AB于點G DG的長始終為2.(1)當(dāng)AD=3時，求DE

15、的長；(2)當(dāng)點E、F在邊AC BC上移動時，設(shè) AD=x, FG = y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)在點E、F移動過程中， AEDWCEFt歸否相似，若能，求AD的長；若不能，請說明理由.4、已知在梯形 ABCD, AD/ BC A* BC 且 BC=6 , AB=DG4,點 E 是 AB的中點.(1)如圖3, P為BC上的一點，且 BP=2.求證： BEMACPD(2)如果點P在BC邊上移動(點 P與點R C不重合)，且滿足/ EPf=ZC, PF交直線CD于點F,同時交直線AD于點M那么當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè) BP=x, DF=y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解

16、析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)S.iDMF9c 4SEP時，求BP的長.5、(2009閘北22題)(本題滿分10分，第(1)小題滿分3分，第(2)小題滿分7分)如圖七，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABO等腰才!形，CB/ OAOA=7, AB=4, / COA=60，點P為x軸上的一個動點，但是點 P不與點0、點A重合.連結(jié)CP,D點是線段AB上一點，連結(jié)PD.(1)求點B的坐標(biāo);P的坐標(biāo).6、如圖，已知在 ABC中，AB=AC=8接EF.(1)如果BE=4,求CF的長；(2)如果EF/ BC,求EF的長.5cosB=_, D是邊BC的中點，點 E、F分在邊 AR AC上，且/ EDFW B,連7

17、、(徐匯2009年25題)如圖，AABC中，AB = AC=10, BC =12,點D在邊BC上，且BD = 4,以點D為頂點作/EDF =/B,分別交邊 AB于點E,交射線CA于點F .(1)當(dāng)AE =6時，求AF的長；(2)當(dāng)以點C為圓心CF長為半彳的。C和以點A為圓心AE長為半彳5的。A相切時，求BE的長；(3)當(dāng)以邊AC為直徑的。O與線段DE相切時，求BE的長.知識總結(jié):補充：關(guān)于“一線三等角”圖形的提煉及變式:當(dāng)a為銳角時:總結(jié):在教學(xué)中要突出重點、深化學(xué)生對于“一線三等角”模型的理解；把握難點：“一線三等角”模型變式;通過問題建構(gòu)，關(guān)注課堂再生資源的挖掘，引導(dǎo)學(xué)生對于幾何綜合習(xí)題的

18、有效分解具體的1 .在教學(xué)中通過“回憶舊知”環(huán)節(jié)的師生互動過程讓95盼生掌握解函數(shù)型綜合題需要的必備知識儲備.2 .在教學(xué)中通過一個“一線三等角”模型綜合題的有效分析引導(dǎo)過程，讓95%勺學(xué)生樹立幾何型綜合題的解決的信心，讓75%勺學(xué)生能夠順利解決前兩小題，培養(yǎng)更多的學(xué)生具備解決最后壓軸點一小題的能力.3.在教學(xué)中通過有效分解策略的實施，打破他們對綜合題的畏懼心理，讓同學(xué)們加深對于題目條件的使用：條件用完，即使題目沒有求解完畢，也得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，提高問題解決的能力，在這個師生共同探討的過程中鼓勵學(xué)生嘗試著加強解后反思與培養(yǎng)他們欣賞試題的能力.【課后作業(yè)】1、如圖，已知正方形 ABCD勺邊長為4,

19、 P是射線CD上一動點.將一把三角尺的直角頂點與 P重合，一條直角邊 始終經(jīng)過點B,另一條直角邊所在直線與射線 AD相交于點E.設(shè)CP、DE=y.(1)當(dāng)點P在線段CD上時，求證： BPS APED(2)當(dāng)點P在線段CD的延長線上時，求 y與x的函數(shù)解析式及自變量 x的取值范圍；(3)當(dāng)DE=1時，求CP的長.2、如圖，在矩形 ABCD中,E為AD的中點，EF _LEC交AB于點F ,聯(lián)結(jié)FC(AB>AE).(1) 4AEF與4EFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由;(2)設(shè)AB =k ,是否存在這樣的k值，使得4AEFBFC ?若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不

20、BC存在，請說明理由.(第12題)3、等腰 ABC AB=AC=8, / BAC=120 , P為BC的中點，小慧拿著含 30°角的透明三角板，使 30°角的頂點落在點P,三角板繞P點旋轉(zhuǎn).(1)如圖a,當(dāng)三角板的兩邊分別交 AR AC于點E、F時.求證：BP卜 ACFP;(2)操作：將三角板繞點 P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊 AC于點E、F.探究1: BPE與 CFP還相似嗎？(只需寫出結(jié)論)探究2 :連結(jié) EF, BPE與 PFE是否相似？請說明理由;設(shè)EF=mg EPF的面積為S,試用m的代數(shù)式表示 S.Pa4、如圖，在邊長為1的正方形ABC

21、DK點E在邊BC上(與端點不重合)，點F在射線DC±.(1)若AF=AE并設(shè)CE=x, 4AEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;(2)當(dāng)CE的長度為何值時， AE林口 EC耕目似？一41 一 一一.(3)若CE =一，延長FE與直線AB交于點G,當(dāng)CF的長度為何值時， EAO等腰三角形？45、如圖，在 ABC, AG=BC=2,/C=900,點D為腰BC中點，點E在底邊AB上，且DEI AD則BE的長為 .6、如圖，？ ABC中，/ ACB=90 , / A=60°,AC=2,CD± AB,垂足為D.任意彳EDF=60°,點E、F 分別在AGBC上.設(shè) AE=x, BF=y.(