課堂探究 1.4.2微積分基本定理

1、.課堂探究探究一 利用微積分根本定理求簡(jiǎn)單的定積分1微積分根本定理是求定積分的一種根本方法，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，特別注意y的原函數(shù)是yln x根本過(guò)程分為兩步：求fx的原函數(shù)Fx；計(jì)算FbFa的值2求定積分時(shí)要注意積分變量，有時(shí)在被積函數(shù)中含有參數(shù)，但它不一定是積分變量，例如在定積分x2tdx中，積分變量是x，m和t是常數(shù)【典型例題1】 計(jì)算以下定積分：1xdx；21t3dt；3dx；4cos xexdx；5x12dx；6t2dx.思路分析：求原函數(shù)時(shí)要和求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算聯(lián)絡(luò)起來(lái)，充分借助導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么解：1x，xdxx2202.21t3，1t3dt.3ln x，dxln xln

2、 2ln 1ln 2.4sin xexcos xex，cos xexdxsin xex010e1e.5x12x22x1，x22x1，x12dx.6t2xt2，t2dxt2xt2.探究二 利用微積分根本定理和定積分的性,質(zhì)求定積分1求復(fù)雜函數(shù)定積分要根據(jù)定積分的性質(zhì)1有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和差的積分，等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和差，即f1x±f2x±±fnxdxf1xdx±f2xdx±±fnxdx.2常數(shù)因子可提到積分符號(hào)外面，即kfxdxkfxdx.3當(dāng)積分上限與下限交換時(shí)，積分值一定要反號(hào)，即fxdxfxdx.4定積分對(duì)區(qū)間的可加性，假設(shè)ca，

3、b，那么有fxdxfxdxfxdx.2對(duì)被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，根據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性，分段積分再求和3對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能積分4當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)時(shí)，要特別注意原函數(shù)的求解，與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)區(qū)分開(kāi)來(lái)例如：對(duì)于被積函數(shù)ysin 3x，其原函數(shù)應(yīng)為ycos 3x，而其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為y3cos 3x，再如：被積函數(shù)ye2x時(shí)，其原函數(shù)是ye2x，而其導(dǎo)數(shù)是y2e2x.【典型例題2】 計(jì)算以下定積分：1fxdx，其中fx2|x4|dx；3 0sin2xdx；4e2xdx；5dx.思路分析：首先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)展恰當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、變形，然后再求定積分解：1fxdxx

4、2dx4dx4x4；2|x4|dx4xdxx4dx224；3sin2xdxdx0；4e2xdxe4；5 dxdx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dxcos xsin xdxsin xcos xdxsin xcos xcos xsin x22.探究三 利用定積分求平面圖形的面積1利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般步驟是：畫(huà)草圖；求曲線的交點(diǎn)定出積分上、下限；確定被積函數(shù)，但要保證求出的面積是非負(fù)的；寫(xiě)出定積分并計(jì)算2求由一條曲線yfx和直線xa，xbab及y0所圍成平面圖形的面積S.圖中，fx0，fxdx0，因此面積Sfxdx；圖中，fx0，fxd

5、x0，因此面積Sfxdx；圖中，當(dāng)axc時(shí)，fx0，當(dāng)cxb時(shí)，fx0，因此面積S|fx|dxfxdxfxdx.3求由兩條曲線fx和gx，直線xa，xbab所圍成平面圖形的面積S.圖中，fxgx0，面積Sfxgxdx；圖中，fx0，gx0，面積Sfxdx|gx|dxfxgxdx.【典型例題3】 1求拋物線yx2x與x軸所圍成圖形的面積；2求曲線ycos x與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積；3求直線y2x3與拋物線yx2圍成圖形的面積思路分析：畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形分析定積分的積分區(qū)間，同時(shí)注意面積與積分的關(guān)系解：1由圖形可知，所求面積為S|x2x|dxxx2dx.2畫(huà)出曲線ycos x，由于當(dāng)0x時(shí)，c

6、os x0，x時(shí)，cos x0，故圖形的面積為|cos x|dxcos xdxcos xdxsin xsin x3.3如圖，由求得兩曲線的交點(diǎn)為1,1和3,9，于是陰影部分的面積為S2x3x2dxx22x3dx.“教書(shū)先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱(chēng)呼，從最初的門(mén)館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書(shū)先生那一行當(dāng)怎么說(shuō)也算是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書(shū)，最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識(shí)那般的含義。?孟子?中的“先生何為出此言也？；?論語(yǔ)?中的“有酒食，先生饌；?國(guó)策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生為父兄或有學(xué)問(wèn)、有德行的長(zhǎng)輩。其實(shí)?國(guó)策?中本身就有“

7、先生長(zhǎng)者，有德之稱(chēng)的說(shuō)法?？梢?jiàn)“先生之原意非真正的“老師之意，倒是與當(dāng)今“先生的稱(chēng)呼更接近?？磥?lái)，“先生之根源含義在于禮貌和尊稱(chēng)，并非具學(xué)問(wèn)者的專(zhuān)稱(chēng)。稱(chēng)“老師為“先生的記載，首見(jiàn)于?禮記?曲禮?，有“從于先生，不越禮而與人言，其中之“先生意為“年長(zhǎng)、資深之傳授知識(shí)者，與老師、老師之意根本一致。要練說(shuō)，得練看?？磁c說(shuō)是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說(shuō)得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察才能，擴(kuò)大幼兒的認(rèn)知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動(dòng)中，積累詞匯、理解詞義、開(kāi)展語(yǔ)言。在運(yùn)用觀察法組織活動(dòng)時(shí)，我著眼觀察于觀察對(duì)象的選擇，著力于觀察過(guò)程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀察才能和語(yǔ)言表達(dá)才能的進(jìn)步?！皫熤拍?，大體是從先秦時(shí)期的“師長(zhǎng)、師傅、先生而來(lái)。其中“師傅更早那么意指春秋時(shí)國(guó)君的老師。?說(shuō)文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱(chēng)也。“師之含義，如今泛指從事教育工作或是傳授知識(shí)技術(shù)也或是某方面有特長(zhǎng)值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煹脑獠⒎怯伞袄隙稳荨皫??！袄显谂f語(yǔ)義中也是一種尊稱(chēng)，隱喻年長(zhǎng)且學(xué)識(shí)淵博者?！袄稀皫熯B用最初見(jiàn)于?史記?，有“荀卿最為老師之說(shuō)法。漸漸“老師之說(shuō)也不再有年齡的限制，老