數(shù)值分析上機(jī)實(shí)習(xí)報(bào)告

1、數(shù)值分析上機(jī)實(shí)習(xí)報(bào)告 目錄1.問(wèn)題一1 1.1問(wèn)題一重述1 1.2秦九韶算法簡(jiǎn)介1 1.3問(wèn)題一算法實(shí)現(xiàn)11.4問(wèn)題一求解12.問(wèn)題二22.1問(wèn)題二重述22.2逐次超松弛迭代法（SOR法）簡(jiǎn)介22.3問(wèn)題二算法實(shí)現(xiàn)32.4問(wèn)題二求解33問(wèn)題三43.1問(wèn)題三重述43.2最小二乘擬合多項(xiàng)式與拉格朗日插值多項(xiàng)式簡(jiǎn)介43.2.1最小二乘擬合多項(xiàng)式簡(jiǎn)介43.2.2拉格朗日插值簡(jiǎn)介53.3問(wèn)題三算法實(shí)現(xiàn)53.3.1多項(xiàng)式擬合算法53.3.2拉格朗日插值算法63.4問(wèn)題三求解63.4.1最小二乘多項(xiàng)式擬合結(jié)果63.4.2拉格朗日插值結(jié)果83.5問(wèn)題三評(píng)價(jià)9 3.5.1問(wèn)題三評(píng)價(jià)方法9 3.5.2問(wèn)題三評(píng)價(jià)結(jié)

2、果94總結(jié)與體會(huì)105附錄11151. 問(wèn)題一1.1問(wèn)題一重述利用秦九韶算法簡(jiǎn)化求多項(xiàng)式的值的運(yùn)算式，并寫程序計(jì)算多項(xiàng)式在點(diǎn)處的值。1.2秦九韶算法簡(jiǎn)介化為以下形式：求多項(xiàng)式值時(shí)先計(jì)算內(nèi)層括號(hào)內(nèi)的一次多項(xiàng)式的值，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即： 1.3問(wèn)題一算法實(shí)現(xiàn)Step1：輸入多項(xiàng)式的降次排列的系數(shù)矩陣，某次缺失的系數(shù)用零補(bǔ)充之；Step2：計(jì)算表達(dá)式，按遞推公式，一直計(jì)算到表達(dá)式，表達(dá)式即為所求秦九韶表達(dá)式；Step3：輸入x的值；Step4：計(jì)算，按遞推公式，一直計(jì)算到的值，的值即為x處多項(xiàng)式的值。1.4問(wèn)題一求解求解的matlab代碼見附錄1首先根據(jù)提示輸入的系數(shù)向量得出按秦

3、九韶算法簡(jiǎn)化后的多項(xiàng)式：根據(jù)提示輸入x的值為-1得到多項(xiàng)式在點(diǎn)處的值為：7Matlab程序運(yùn)行結(jié)果如下：2. 問(wèn)題二2.1問(wèn)題二重述松弛因子對(duì)SOR法收斂速度的影響。用SOR法求解方程組Ax=b,其中要求程序中不存系數(shù)矩陣A,分別對(duì)不同的階數(shù)取w=1.1, 1.2, .,1.9進(jìn)行迭代，記錄近似解x(k)達(dá)到|x(k)-x(k-1)|<10-6時(shí)所用的迭代次數(shù)k，觀察松弛因子對(duì)收斂速度的影響，并觀察當(dāng)w£0或w³2會(huì)有什么影響？2.2逐次超松弛迭代法（SOR法）簡(jiǎn)介將高斯賽德爾迭代格式改寫成 記 則 可以認(rèn)為是在上加一修正量得到，將修正量改為 ，令，通過(guò)取適當(dāng)?shù)牡闹凳?/p>

4、迭代格式收斂得更快，其中稱為松弛因子。是稱為超松弛法，稱為低松弛法，時(shí)即為高斯賽德爾迭代法。2.3問(wèn)題二算法實(shí)現(xiàn)輸入方程組階數(shù)n對(duì)松弛因子進(jìn)行 對(duì)賦初值0 對(duì)迭代次數(shù)進(jìn)行 對(duì)于進(jìn)行 將每次迭代后的值賦給T F T F T F停止，輸出 繼續(xù)2.4問(wèn)題二求解求解matlab程序見附錄5.2分別求階數(shù)，松弛因子，所需的迭代次數(shù)，所得結(jié)果如下表：階數(shù)n松弛因子w 2 4 6 81.156771.267881.37910101.4101112131.5131214161.6161717191.7232425241.8363838391.976767979做出折線圖如下： 由圖和表可以看出，當(dāng)松弛因子為

5、1.1時(shí)，收斂速度最快，方程組的階數(shù)對(duì)方程的收斂速度影響不顯著。3. 問(wèn)題三3.1問(wèn)題三重述某過(guò)程測(cè)涉及兩變量x 和y, 擬分別用插值多項(xiàng)式和多項(xiàng)式擬合給出其對(duì)應(yīng)規(guī)律的近似多項(xiàng)式，已知xi與yi之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下，xi=1,2,10yi = 34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392（1）請(qǐng)用次數(shù)分別為3，4，5，6的多項(xiàng)式擬合并給出最好近似結(jié)果f(x)。（2）請(qǐng)用插值多項(xiàng)式給出最好近似結(jié)果下列數(shù)據(jù)為另外的對(duì)照記錄，它們可以作為近似函數(shù)的評(píng)價(jià)參考數(shù)據(jù)。xi = Column

6、s 1 through 7 1.5000 1.9000 2.3000 2.7000 3.1000 3.5000 3.9000 Columns 8 through 14 4.3000 4.7000 5.1000 5.5000 5.9000 6.3000 6.7000 Columns 15 through 17 7.1000 7.5000 7.9000yi = Columns 1 through 7 42.1498 41.4620 35.1182 24.3852 11.2732 -1.7813 -12.3006 Columns 8 through 14 -18.1566 -17.9069 -11.

7、0226 2.0284 19.8549 40.3626 61.0840 Columns 15 through 17 79.5688 93.7700 102.36773.2最小二乘擬合多項(xiàng)式與拉格朗日插值多項(xiàng)式簡(jiǎn)介3.2.1最小二乘擬合多項(xiàng)式簡(jiǎn)介對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)求作次多項(xiàng)式 使其滿足即將擬合函數(shù)取為多項(xiàng)式，這樣的曲線擬合方法叫多項(xiàng)式擬合。求解系數(shù)的方法：只需求解關(guān)于系數(shù)的線性方程組，矩陣形式如下：以上方程組稱為法方程組或正則方程組，簡(jiǎn)寫成。3.2.2拉格朗日插值簡(jiǎn)介拉格朗日基函數(shù)： 利用拉格朗日基函數(shù)，構(gòu)造多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。3.3問(wèn)題三算法實(shí)現(xiàn)3.3.1多項(xiàng)式擬合算法；Step1：

8、畫出原始數(shù)據(jù)，的散點(diǎn)圖；Step2：輸想要擬合的階數(shù)n；Step3：計(jì)算正則方程組的系數(shù)矩陣，具體流程圖如下 對(duì)l賦初值0對(duì)進(jìn)行對(duì)進(jìn)行 對(duì)進(jìn)行，輸出系數(shù)矩陣A Step4：計(jì)算正則方程組等號(hào)后側(cè)的列向量具體流程圖如下：對(duì)賦初值對(duì)進(jìn)行對(duì)進(jìn)行,輸出列向量Step5：利用matlab中內(nèi)置矩陣除法公式，求出向量，其中向量即為最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)向量 Step6：得出最小二乘擬合多項(xiàng)式 Step7：根據(jù)擬合多項(xiàng)式求出所需要點(diǎn)處的值。3.3.2拉格朗日插值算法Step1：畫出原始數(shù)據(jù)，的散點(diǎn)圖；Step2：求拉格朗日插值多項(xiàng)式： 具體算法如下： 給賦初值 對(duì)執(zhí)行 對(duì)執(zhí)行 對(duì)執(zhí)行簡(jiǎn)化Step3：根據(jù)擬

9、合多項(xiàng)式求出所要點(diǎn)處的值。3.4問(wèn)題三求解3.4.1最小二乘多項(xiàng)式擬合結(jié)果次數(shù)為3的多項(xiàng)式擬合結(jié)果：xi1.5000 1.90002.30002.70003.10003.50003.90004.30004.7000yi30.08614.9844.1832-2.7128-6.1008-6.3774-3.93920.81707.4945xi5.10005.50005.90006.30006.70007.10007.50007.9000yi15.696825.02735.08945.48555.819565.695274.715682.484次數(shù)為4的多項(xiàng)式擬合結(jié)果：xi1.5000 1.90002

10、.30002.70003.10003.50003.90004.30004.7000yi39.15933.88825.90616.8097.96270.4941-4.7022-6.9668-5.8750xi5.10005.50005.90006.30006.70007.10007.50007.9000yi-1.23626.905118.270232.345648.383465.400982.180997.2719次數(shù)為5的多項(xiàng)式擬合結(jié)果：xi1.5000 1.90002.30002.70003.10003.50003.90004.30004.7000yi51.269848.133036.3056

11、20.77985.3490-7.2717-15.3251-17.891-14.767xi5.10005.50005.90006.30006.70007.10007.50007.9000yi-6.34466.50622.561340.362358.33674.915688.661198.380次數(shù)為6的多項(xiàng)式擬合結(jié)果：xi1.5000 1.90002.30002.70003.10003.50003.90004.30004.7000yi43.885242.541334.934223.24349.9225-2.6081-12.212-17.2304-16.618xi5.10005.50005.900

12、06.30006.70007.10007.50007.9000yi-10.0232.190718.979638.710959.31378.479593.936103.7573.4.2拉格朗日插值結(jié)果xi1.5000 1.90002.30002.70003.10003.50003.90004.30004.7000yi42.384841.49635.076624.364211.2859-1.7576-12.2814-18.1385-17.88xi5.10005.50005.90006.30006.70007.10007.50007.9000yi-10.9742.097219.940240.4657

13、61.213479.73593.9738102.5983.5問(wèn)題三評(píng)價(jià)3.5.1評(píng)價(jià)方法將最小二乘擬合以及拉格朗日插值所得的在處的值，與給定的參考值比較，求方差，方差越大，說(shuō)明偏離理想值的程度越大，所得到的結(jié)果越不精確。設(shè)近似函數(shù)的評(píng)價(jià)參考數(shù)據(jù)在處的取值為向量，由3,4,5,6次多項(xiàng)式擬合，以及拉格朗日插值得到的數(shù)據(jù)設(shè)為矩陣。各方差的計(jì)算公式如下：評(píng)價(jià)程序見附錄。3.5.2評(píng)價(jià)所得結(jié)果如下：插值類型次數(shù)為3的多項(xiàng)式次數(shù)為4的多項(xiàng)式次數(shù)為5的多項(xiàng)式次數(shù)為6的多項(xiàng)式拉格朗日插值方差377.401174.180820.40391.25590.0132由上表可知：次數(shù)為6的多項(xiàng)式擬合結(jié)果是多項(xiàng)式擬合中

14、最優(yōu)的，而朗格朗日插值所得到的結(jié)果更接近于參考值，效果優(yōu)于6次多項(xiàng)式擬合。 4. 附錄4.1問(wèn)題一的matlab程序代碼clc;clear;syms x;a=input('按降次排序的系數(shù)向量：');n=length(a);f=a(1);for i=1:n-1 f=f*x+a(i+1);endfl=a(1);x=input('輸入x的值:');for i=1:n-1 l=l*x+a(i+1);enddisp('多項(xiàng)式在');xdisp('處的函數(shù)值為');l4.2問(wèn)題二的matlab程序代碼n=input('輸入方程組階數(shù)

15、n');for w=1.1:0.1:1.9for i=1:n x(i)=0;endfor k=1:100 for i=1:n t(i)=x(i); if i=1 x(i)=x(i)+w*(-1/4)*(-3-x(i+1)-(-4)*x(i); else if i=n x(i)=x(i)+w*(-1/4)*(-3-x(i-1)-(-4)*x(i); else x(i)=x(i)+w*(-1/4)*(-2-x(i-1)-(-4)*x(i)-x(i+1); end end end if norm(x-t)<10-3 break; endenddisp('迭代因子為');

16、disp(w);disp('時(shí)迭代次數(shù)為');disp(k);end4.3問(wèn)題三的matlab程序代碼4.3.1最小二乘多項(xiàng)式插值代碼clc;clear;x=1:10;y=34.6588,40.3719,14.6448,-14.2721,-13.3570,24.8234,75.2795,103.5743,97.4847,78.2392;plot(x,y,'r*');%畫出原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖hold on;syms t;n=input('輸入所要你和的階數(shù)n ');l=0;for i=1:n+1; for j=1:n+1 for k=1:10 %計(jì)算系

17、數(shù)矩陣A,(i,j)處的值 l=l+(k(i+j-2); end A(i,j)=l; %將值賦給A(i,j) l=0; endendAll=0;for i=1:n+1 for k=1:10 %計(jì)算等式右邊的列向量C(j) ll=ll+k(i-1)*y(k); end C(i)=ll; %將值賦給C(j) ll=0;endCB=AC' %求解a(j),j=0:nBf=0;for i=1:n+1%求插值函數(shù) f=f+B(n+2-i)*t(n+1-i); simplify(f);%簡(jiǎn)化f插值函數(shù)end f = collect(f); %將擬合多項(xiàng)式展開 f = vpa(f,4); %將擬合多

18、項(xiàng)式系數(shù)化為代數(shù)精度為4的小數(shù)fxi=1.1:0.4:10f = subs(f,'t',xi)%計(jì)算xi處多項(xiàng)式的值plot(xi,f);%畫出擬合多項(xiàng)式圖形 4.3.2拉格朗日插值matlab代碼clc;clear;x=1:10;y=34.6588,40.3719,14.6448,-14.2721,-13.3570,24.8234,75.2795,103.5743,97.4847,78.2392;plot(x,y,'r*');%畫出原始數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖hold on;syms t;n=length(x);f = 0.0;for(i =1:n) l = y(i);

19、for(j = 1:i-1) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; for(j = i+1:n) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; f = f + l; simplify(f); f = collect(f); f = vpa(f,6); endti=1.1:0.4:10f = subs(f,'t',ti)plot(ti,f)4.3.3問(wèn)題三評(píng)價(jià)matlab代碼clc;clear;x=1.5000,1.9000,2.3000,2.7000,3.1000,3.5000,3.9000,4.3000,4.7000,5.1000,5.

20、5000,5.9000,6.3000,6.7000,7.1000 ,7.5000,7.9000;y=42.1498,41.4620,35.1182,24.3852,11.2732,-1.7813,-12.3006,-18.1566,-17.9069,-11.0226,2.0284,19.8549,40.3626,61.0840,79.5688,93.7700,102.3677;y1=30.086,14.984,4.1832,-2.7128,-6.1008,-6.3774,-3.9392,0.8170,7.4945,15.6968,25.027,35.089,45.485,55.8195,65.

21、6952,74.7156,82.484; 39.159,33.888,25.906,16.809,7.9627,0.4941,-4.7022,-6.9668,-5.8750,-1.2362,6.9051,18.2702,32.3456,48.3834,65.4009,82.1809,97.2719; 51.2698,48.1330,36.3056,20.7798,5.3490,-7.2717,-15.3251,-17.891,-14.767,-6.3446,6.506,22.5613,40.3623,58.336,74.9156,88.6611,98.380; 43.8852,42.5413,

22、34.9342,23.2434,9.9225,-2.6081,-12.212,-17.2304,-16.618,-10.023,2.1907,18.9796,38.7109,59.313,78.4795,93.936,103.757; 42.3848,41.496,35.0766,24.3642,11.2859,-1.7576,-12.2814,-18.1385,-17.88,-10.974,2.0972,19.9402,40.4657,61.2134,79.735,93.9738,102.598;n=length(x);for i=1:5 s(i)=0;endfor i=1:5for j=1

23、:n s(i)=s(i)+(y1(i,j)-y(j)2 ;endS(i)=1/n*s(i);endfor i=1:5 if i=5 disp('拉格朗日插值方差： ');disp(S(i); else disp('最小二乘多項(xiàng)式擬合');disp(i+2);disp('次多項(xiàng)式的方差為:');disp(S(i); endend數(shù)值分析上機(jī)實(shí)習(xí)報(bào)告要求1應(yīng)提交一份完整的實(shí)習(xí)報(bào)告。具體要求如下：（1）要有封面，封面上要標(biāo)明姓名、學(xué)號(hào)、專業(yè)和聯(lián)系電話；（2）要有序言，說(shuō)明所用語(yǔ)言及簡(jiǎn)要優(yōu)、特點(diǎn)，說(shuō)明選用的考量；（3）要有目錄，指明題目、程序、計(jì)算結(jié)果，

24、圖標(biāo)和分析等內(nèi)容所在位置，作到信息簡(jiǎn)明而完全；（4）要有總結(jié)，全方位總結(jié)機(jī)編程計(jì)算的心得體會(huì)；（5）盡量使報(bào)告清晰明了，一般可將計(jì)算結(jié)果、圖表及對(duì)比分析放在前面，程序清單作為附錄放在后面，程序中關(guān)鍵部分要有中文說(shuō)明或標(biāo)注，指明該部分的功能和作用。2程序需完好保存到期末考試后的一個(gè)星期，以便老師索取用于驗(yàn)證、詢問(wèn)或質(zhì)疑部分內(nèi)容。3認(rèn)真完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，可以達(dá)到既學(xué)習(xí)計(jì)算方法又提高計(jì)算能力的目的，還可以切身體會(huì)書本內(nèi)容之精妙所在，期間可以得到很多樂(lè)趣。4拷貝或抄襲他人結(jié)果是不良行為，將視為不合格。5報(bào)告打印后按要求的時(shí)間提交給任課老師。6為了避免部分同學(xué)只做半期內(nèi)容前的上機(jī)題，本期分前后兩部分上機(jī)題。

25、數(shù)值計(jì)算2012年前半期上機(jī)試題 （選擇其中兩個(gè)題目）1. 利用秦九韶算法簡(jiǎn)化求多項(xiàng)式的值的運(yùn)算式，并寫程序計(jì)算多項(xiàng)式在點(diǎn)處的值。2. 分別用牛頓法，及基于牛頓算法下的Steffensen加速法 (1) 求ln(x+sinx)=0的根。初值x0分別取0.1, 1,1.5, 2, 4進(jìn)行計(jì)算。(2) 求sinx=0的根。初值x0分別取1，1.4，1.6, 1.8，3進(jìn)行計(jì)算。分析其中遇到的現(xiàn)象與問(wèn)題。3. 用雅格比法與高斯賽德爾迭代法解下列方程組Ax=b，研究其收斂性，上機(jī)驗(yàn)證理論分析是否正確，比較它們的收斂速度，觀察右端項(xiàng)對(duì)迭代收斂有無(wú)影響。(1)A行分別為A1=6,2,-1,A2=1,4,-

26、2,A3=-3,1,4； b1=-3,2,4T, b2=100,-200,345T,(2) A行分別為A1=1,0,8,0.8,A2=0.8,1,0.8,A3=0.8,0.8,1；b1=3,2,1 T, b2=5,0,-10T,(3)A行分別為A1=1,3,A2=-7,1；b=4,6T.4. 松弛因子對(duì)SOR法收斂速度的影響。用SOR法求解方程組Ax=b,其中要求程序中不存系數(shù)矩陣A,分別對(duì)不同的階數(shù)取w=1.1, 1.2, .,1.9進(jìn)行迭代，記錄近似解x(k)達(dá)到|x(k)-x(k-1)|<10-6時(shí)所用的迭代次數(shù)k，觀察松弛因子對(duì)收斂速度的影響，并觀察當(dāng)w£0或w³2會(huì)有什么影響？數(shù)值計(jì)算2012年后半期上機(jī)試題 （選擇其中一個(gè)題