高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易忘題分類匯編

1、提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51高中高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易忘題分類匯總及“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在難，進(jìn)行中常見的 66 個(gè)易錯(cuò)、易忘典型題目，這些問題也是高的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、剖析并配以近幾年的高題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高確實(shí)，乘風(fēng)另一方面通過作性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)。例1、設(shè) Ax | x2 - 8x +15 = 0， B = x

2、 | ax -1 = 0 ，若 AB = B ，求實(shí)數(shù) a 組成的集合的子集有多少個(gè)？B = BB Í A ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件 A忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a 值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。：集合A 化簡得 A = 3,5，由 AB = B 知 B Í A 故（）當(dāng) B = f 時(shí)，即方程 ax -1 = 0 無解，此時(shí) a=0 符合已知條件（）當(dāng) B ¹ f 時(shí)，即方程 ax -1 = 0 的3 或 5，代入得 a = 1 或 1 。35ì1 ü1綜上滿足條件的a 組成的集合為í0,

3、, ý，故其子集共有 2 = 8 個(gè)。3î3 5 þ【練 1】已知集合 Ax | x2 + 4x = 0 、 B = x | x2 + 2(a + 1) x + a2 -1 = 0，若 B Í A ，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是。： a = 1 或 a £ -1。y2例 2、已知( x + 2)2+ = 1,求 x + y 的取值范圍224【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x 的函數(shù)最值求解，但極易忽略 x、y2y 滿足( x + 2)2+ = 1這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。4提分寶解答您學(xué)習(xí)上的

4、所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 1 頁 共 61 頁【易錯(cuò)點(diǎn) 2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在應(yīng)用條件 AB Û AB Û 時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想， 將集合是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論（2）在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學(xué)語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如： A = ( x, y) | x2 + y2 = 4，B = ( x, y ) | ( x - 3)2 + ( y - 4)2

5、= r 2，其中 r > 0 ,若 AB = f 求r 的取值范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A 表示以原點(diǎn)為圓心以 2 的半徑的圓，集合B 表示以（3，4） 為圓心，以r 為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑r 的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的 等也要注意集合語言的應(yīng)用?！疽族e(cuò)點(diǎn) 1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51y2y 2：由于( x + 2)2+= 1得(x+2)2=1-1，-3x-1 從而x2+y2=-3x2-16x-12=4428828+因

6、此當(dāng)x=-1 時(shí)x2+y2 有最小值1, 當(dāng)x=- 時(shí)，x2+y2 有最大值。故x2+y2 的取值范圍是1,283333x2y2= 1 (b > 0) 上變化，則 x+ 2 y 的最大值為【練 2】（05 高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y）在曲線+b224（）ìb2ìb2+ 4 (0 < b < 4)+ 4 (0 < b < 2)ïïb24+ 4 （D） 2b（A） í 4（B） í 4（C）ïî2b (b ³ 4)ïî2b (b ³ 2)：Aa &#

7、215; 2x -1f ( x) =( x)-1是R 上的奇函數(shù)，（1）求 a 的值（2）求的反函數(shù) f例3、1+ 2x【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。f ( x) + f (-x) = 0 （或 f (0) = 0 ）求得 a=1.：（1）利用2x -11+ yf ( x) =+1 ，設(shè) y = f ( x) ,則 2 (1- y) = 1+ y 由于 y ¹ 1 故 2 2x（2）由 a = 1即=，1- yxx1+ y2x -12x +11+ x22x +1f ( x) =Î(-1,1) 所以 f -1 ( x) =

8、 log 1-x (-1 < x < 1)x = log1- y ，而= 1-22f (³ 1) 的反函數(shù)是（）³ 1)³ 1)【練 3】（2004理）函數(shù)< 1)< 1)A、 y =B、 y =C、 y =D、 y =提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 2 頁 共 61 頁【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)镽 可省略）。（2）應(yīng)用 f -1(b) = a Û f (a) = b 可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解

9、但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換?！疽族e(cuò)點(diǎn) 3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。2y2【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從幾何的角度來理解條件( x + 2) += 1對(duì) x、y 的限制，4顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則-3x-1， -2 £ y £ 2 。此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51：Bf ( x) = 1 - 2x ，函數(shù) y = g ( x) 的圖像與 y =f -1 ( x -1) 的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)例 4、已知函數(shù)1 + x式為（）稱，則 y = g

10、( x) 的3 - 2x2 - x1 + x1 - x2 + x32 + xA、 g ( x) =B、 g ( x) =C、 g ( x) =D、 g ( x) =xy = g ( x) 與 y =f -1 ( x -1)互為反函數(shù)，而認(rèn)為 y =f -1 ( x -1) 的【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)1 - 2 ( x -1)1 + ( x -1)3 - 2xf ( x -1) 則 y = g ( x) = f ( x -1) = =反函數(shù)是 y =而錯(cuò)選A。x1 - ( x -1)2 + (-1)1 - 2x1 - x2 - xf ( x) =( x) =( x -1) =-1從而 y = f

11、-1=得 f：由再求1 + x2 + x1 + x2 - x1 + x( x -1)的反函數(shù)得 g ( x) =y = f-1。正確：B-1-1【練 4】（2004 高考福建卷）已知函數(shù) y=log2x 的反函數(shù)是 y=f (x)，則函數(shù) y= f (1-x)的圖象是（）：Blg (1- x2 )函數(shù) f (x) =例5、的奇偶性。x - 2 - 2lg (1- x2 )x + 2 - 2f ( x) 從【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解： f (-x) =¹提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 3 頁 共 61 頁【易錯(cuò)點(diǎn) 5】函數(shù)的奇偶

12、性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?！局R(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù) y = f -1 ( x -1)與函數(shù) y = f ( x -1) 并不互為反函數(shù)，他只是表示 f -1 ( x)中x 用x-1 替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè) y = f ( x -1) 則 f -1 ( y) = x -1，x = f -1 ( y) + 1再將x、y 互換即得 y = f ( x -1) 的反函數(shù)為 y = f -1 ( x) + 1，故 y = f ( x -1) 的反函數(shù)不是 y = f -1 ( x -1)，因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎?！疽族e(cuò)點(diǎn) 4】求反函數(shù)與反函

13、數(shù)值錯(cuò)位提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51f ( x) 為而得出函數(shù)非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。ìï1- x2 > 0即函數(shù)的定義域?yàn)?-1, 0)(0,1) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，：由函數(shù)的式知x 滿足íïî x - 2¹ ±2lg (1- x2 )f ( x) =f (-x) = - f ( x) 即函數(shù)為奇函數(shù)。在定義域下易證-x【練 5】下列函數(shù)的奇偶性：f () =4 - x2 +x2 - 4 ff：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非偶函數(shù)非偶函數(shù)2 x-21 öf (1 ( x) ，證明1 ( x)

14、 是奇函數(shù)且在>-ff例6、÷ 的反函數(shù)為函數(shù)è22 ø其定義域上是增函數(shù)。f -1 ( x) 的表f -1 ( x) 與 f ( x) 具有相同的單調(diào)性和奇偶性，【思維分析】可求，再證明。若注意到f ( x) 的單調(diào)性和奇偶性即可。只需研究原函數(shù)-2-22 x+12 x-12 x+1f (-x) = log=- f ( x) ，故 f ( x) 為奇函數(shù)從而 f -1 ( x) 為= log 2 x-1 = -log：222奇函數(shù)。又令t = 2x -1 = 1-æ1 öæ 1ö22x +1在 -¥, -和

15、, +¥ 上均為增函數(shù)且 y = log t 為增函數(shù)，ç2 ÷ç 2÷2x +12èøèøæ1 öæ 1ö( )f -1 ( x) 分別在(0, +¥)和(-¥,0) 上分別為故 f x 在 -¥, -和, +¥ 上分別為增函數(shù)。故ç2 ÷ç 2÷èøèø增函數(shù)。ex - e- x高考題）已知 f (x) =【練 6】（1）（99，則如下結(jié)論正確

16、的是（）2提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 4 頁 共 61 頁【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不反函數(shù)。 （ 4 ）周期函數(shù)不反函數(shù)（ 5 ）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 f -1(b) = a Û f (a) = b ?！疽族e(cuò)點(diǎn) 6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在函數(shù)的奇

17、偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù) f ( x) 具有奇偶性，則 f ( x) = f (-x)或 f ( x) = - f (-x) 是對(duì)定義域內(nèi)x 的恒等式。常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51A、 f ( x) 是奇函數(shù)且為增函數(shù)C、 f ( x) 是偶函數(shù)且為增函數(shù)：Af ( x)B、是奇函數(shù)且為減函數(shù)D、 f ( x) 是偶函數(shù)且為減函數(shù)卷）設(shè) f -1 ( x) 是函數(shù) f ( x) = 1 (ax - a-x ) (a > 1) 的反函數(shù)，則使 f -1 ( x) > 1 成立的 x 的（2）（20052

18、a2 -1a2 -1a2 - 1, +¥)B、(-¥,D、(a, +¥)取值范圍為（）A、()C、(, a)2a2a2aa2 -1 .）f ( x) > 1 Û f ( f ( x) > f (1) Û x > f (1) =：A （ a > 1 時(shí)， f ( x) 單調(diào)增函數(shù)，所以-1-12abf ( x) = ax +(a > 0,b > 0) 的單調(diào)性并給出證明。例 7、試函數(shù)x【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義f ( x2 )( f ( x1 ) <

19、f ( x2 )中的 x1 , x2 的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是f ( x1 ) >x1 Î D, x2 Î D函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。f (-x) = - f ( x) 即函數(shù)f ( x) 為奇函數(shù)，因此只需f ( x) 在(0, +¥) 上的單調(diào)性：由于函數(shù)) ax1x2 - bf (- f ( x ) = ( x> x > 0- x- x > 0即可。設(shè) x由于 x，故當(dāng) 1221212x x 1 2Îæb , + ¥öf ( x ) - f ( x ) > 0 ，

20、此時(shí)函數(shù) f ( x) 在æö上增函數(shù)，同理可證b ,a+¥ ÷x , x時(shí)ç÷ç1212aèøèøæ0,上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)， 故函數(shù)在a ÷çb öæ -öbf ( x) 在 ç,0 為減函數(shù)， 在a÷函數(shù)èøèøö上分別為增函數(shù)，在æ -¥, - b ö 為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)f ( x) 在æ -&

21、#165;, -b öæ和b ,a+¥ ÷ça ÷ça ÷çèøèøèøæ0,b öæ -öb,0 上分別為減函數(shù).a÷ça ÷ 和çèøèø提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 5 頁 共 61 頁【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。f

22、( x1 ) - f ( x2 )（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式： f ( x) 在a, b 上是增函數(shù)Û> 0 ， f ( x) 在x1 - x2a, b 上是減函數(shù)Û f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 ，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩x1 - x2【易錯(cuò)點(diǎn) 7】證明或函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao511- xf ( x) = ax +(a > 0) （1）用單調(diào)性的定義f ( x) 在【練 7】（1） （濰坊市統(tǒng)考題）函數(shù)ax(0,

23、 +¥)上的單調(diào)性。（2）設(shè)f ( x) 在 0 < x £ 1的最小值為 g (a) ，求 y = g (a) 的式。ì2 - 1 (a ³ 1)æ：（1）函數(shù)在, +¥ 為增函數(shù)在 0,為減函數(shù)。（2） y = g a =öæöï11( )aíç a÷ça ÷èøèøïîa (0 < a < 1)exaaf ( x) =函數(shù)在(0, +¥)（2）（2001

24、）設(shè) a > 0 且+ 為R 上的偶函數(shù)。（1）求a 的值（2）試ex上的單調(diào)性并給出證明。：（1） a = 1 （2）函數(shù)在(0, +¥)上為增函數(shù)（證明略）f (ax3 + 3x2 - x +1上是減函數(shù)，求a 的取值范圍。例 8、（2004高考卷）已知函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 f ¢( x) < 0(x Î(a,b) 是f ( x) 在(a,b) 內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程f ( x) = -x3 在R 上遞減，但 f ¢( x) = -3x2 £ 0 。中易誤作是充要條件，如f ¢( x) = 3ax2 +

25、6x -1 （ 1 ）當(dāng) f ¢( x) < 0 時(shí)， f ( x)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 是減函數(shù)， 則ìa < 0f ¢(3ax2 + 6x -1 < 0( x Î R)a < -3 。（ 2 ） 當(dāng) a = -3 時(shí) ，íD< 0故îæ1 ö38f (-3x3 + 3x2 - x +1 = -3ç x -+此時(shí)函數(shù)也在R 上是減函數(shù)。（3）當(dāng) a > -3 時(shí)，÷è3 ø9f ¢( x) > 0 ，所以當(dāng) a > -3

26、時(shí)，函數(shù) f ( x) 不是減函數(shù)，綜上，所求在 R 上一個(gè)區(qū)間在其上有a的取值范圍是(-¥, -3 。提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 6 頁 共 61 頁【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù) f ( x) 可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明： f ¢(x) > 0【易錯(cuò)點(diǎn) 8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。點(diǎn)(x1, f ( x1 ),(x2 , f ( x2 )連線的斜率都大于（小于）零。b（3） f ( x) = ax +(a > 0,b > 0) 是一種重要的函數(shù)模

27、型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不x能說 f ( x) 在æ -¥, - b öæb ,ö 上為增函數(shù)，在æ 0,b öæ - bö 上為減函數(shù),在敘ça ÷ça +¥ ÷ça ÷ça ,0÷èøèøèøèø述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“”和“或”，提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51【練 8】

28、（1）（2003 新課程）函數(shù) y = x2 + bx + c (x Î(0, +¥)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）A、b ³ 0B、b £ 0 C、b > 0 D、b < 0：A212f ( x) = k在(1, 2) 上遞減，在(2, +¥)x -x - kx + 2x +2432（2）是否這樣的K 值，使函數(shù)3上遞增？： k = 1 。（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知f ¢(2) = 0 ，但 f ¢(2) = 0 是函數(shù)在(1, 2) 上遞減，2在(2, +¥) 上遞增的必要條件，不一定是充分條件因

29、此由 f ¢(2) = 0 求出K 值后要檢驗(yàn)。）11例 9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2 的最小值。ab11錯(cuò)解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+112ab1ab11+4=8(a+)2+(b+)2 的最小ab ·+44aba 2b2ab值是 81【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號(hào)成立的條件是 a=b=,第21二次等號(hào)成立的條件 ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8 不是最小值。ab提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 7 頁 共

30、61 頁【易錯(cuò)點(diǎn) 9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。與 f (x) 為增函數(shù)的關(guān)系: f ¢(x) > 0 能推出 f (x) 為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù) f (x) = x3 在(-¥,+¥) 上單調(diào)遞增， 但 f ¢(x) ³ 0 ， f ¢(x) > 0 是 f (x) 為增函數(shù)的充分不必要條件。f ¢(x) ¹ 0 時(shí)， f ¢(x) > 0 與 f (x) 為增函數(shù)的關(guān)系: 若將 f ¢(x

31、) = 0 的根作為分界點(diǎn)， 因?yàn)橐?guī)定f ¢(x) ¹ 0 ，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí) f (x) 為增函數(shù)，就一定有 f ¢(x) > 0 。當(dāng) f ¢(x) ¹ 0 時(shí)，f ¢(x) > 0 是 f (x) 為增函數(shù)的充分必要條件。 f ¢(x) ³ 0 與 f (x) 為增函數(shù)的關(guān)系: f (x) 為增函數(shù)，一定可以推出 f ¢(x) ³ 0 ，但反之不一定，因?yàn)?f ¢(x) ³ 0 ，即為 f ¢(x) > 0 或 f ¢(x) =

32、 0 。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 f ¢(x) = 0 ，則 f (x) 為，函數(shù)不具有單調(diào)性。 f ¢(x) ³ 0 是 f (x) 為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)好函數(shù)的單調(diào)性。因此新為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。 因此本題在第一步后再對(duì) a = -3 和 a > -3 進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的

33、錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性。提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao511111112：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4ababa 2b2a 2b2a + b111111)2=得：1-2ab1-=,且=(1-2ab)(1+)+4 由 ab(16，1+17a 2b2a 2b2a 2b2242212511125原式×17+4=(當(dāng)且僅當(dāng) a=b=時(shí)，等號(hào)成立)(a+)2+(b+)2 的最小值是。222ab2【練 9】（97卷文 22 理 22）甲、乙兩地相距 s km , 汽車從甲地勻速行駛到

34、乙地，速度不得超過 c km/h ,已知汽車每小時(shí)的成本（以元為）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為 b;固定部分為 a 元。（1）（2）把全程成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；為了使全程成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？為:（1）y =(bv + a)(0 < v £ c)（2）使全程sabab2成本最小，當(dāng)c 時(shí)，行駛速度 v=；va當(dāng)c 時(shí)，行駛速度 v=c。b例 10、是否實(shí)數(shù)a 使函數(shù) f ( x) = loga在2, 4 上是增函數(shù)？若ax2 -x明理由。求出a 的值，若不，說【易錯(cuò)點(diǎn)分析

35、】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a 的范圍擴(kuò)大。方法，在解題過程中易忽略對(duì)數(shù)f ( x) 是由f ( x) = ax2 - x 和 y = log f( x) 復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的a：函數(shù)方法（1）當(dāng) a>1 時(shí)，若使 f ( x) = loga在2, 4 上是增函數(shù)，則f ( x) = ax - x 在2, 4 上是增函ax2 -x2ì1£ 2ïax2 -x 在2, 4 上是增a>1。（2）當(dāng) a<1 時(shí)若使 f ( x) = log數(shù)且大于零。故有 2aíaï

36、îf (2) = 4a - 2 > 0ì1³ 4ï( )函數(shù)，則f x = ax - x 在 2, 4 上是減函數(shù)且大于零。 2a2í不等式組無解。綜上ïîf (4) = 16a - 4 > 0所述實(shí)數(shù) a>1 使得函數(shù) f ( x) = loga在2, 4 上是增函數(shù)ax2 -x提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 8 頁 共 61 頁【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、

37、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于 1 還是小于 1），特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）?！疽族e(cuò)點(diǎn) 10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件?！局R(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51【練 10】（1）（三月分統(tǒng)考變式題）設(shè) a > 0 ，且 a ¹ 1試求函數(shù)

38、y = loga 4 + 3x - x 的的單調(diào)區(qū)2間。æ3 ùé 3öæ3 ù：當(dāng) 0 < a < 1，函數(shù)在 -1,上單調(diào)遞減在,4 上單調(diào)遞增當(dāng) a > 1 函數(shù)在 -1,上單調(diào)ç÷ç2 úê 22 úèûëøèûé 3ö遞增在,4 上單調(diào)遞減。÷êë 2ø(x3 - ax) (a > 0, a ¹ 1) 在區(qū)間(-

39、1 , 0) 內(nèi)單調(diào)遞增，則 a 的）若函數(shù) f ( x) = log（2）（2005 高考a21399C、( , +¥) 4取值范圍是（）A、 ,1)4B、 ,1)4D、(1, )4：B.（記 g ( x) = x3 - ax ，則 g '( x) = 3x2 - a 當(dāng) a > 1 時(shí)，要使得 f ( x) 是增函數(shù)，則需有 g ' ( x) > 0æ 1 ö23.排除C、D 當(dāng) 0 < a < 1 時(shí)，要使 f ( x) 是函數(shù)，則需有 g ' ( x) < 0 恒a < 3 -=.4恒成立，所以&

40、#231;÷2èøæ 1 ö23成立，所以a > 3ç - 2 ÷= .排除A）4èø例 11、已知sin x + sin y = 1 求sin y - cos2 x 的最大值3【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件sin x + sin y =將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin x 的函數(shù)，進(jìn)而利用換3元的思想令t = sin x 將問題變?yōu)殛P(guān)于 t 的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解，111：由已知條件有 sin y =- sin x 且 sin y =- sin x Î-1

41、,1 （結(jié)合 sin x Î-1,1 ）得33- 2 £ sin x £ 1 3sin y - cos2 x = 1 - sin x3= sin2 x - sin x - 2 令3- cos2 x， 而=æ2ö2 æ2ö2t = sin x -£t £ 1t - t -£ t £ 1根據(jù)二次函數(shù)配方得： 當(dāng) t = -即32ç÷3 ç÷則原式=è3øè3ø24sin x = - 式取得最大值。93【練 11

42、】（1）（高考變式題）設(shè) a>0，000 求 f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a 2 的最大值和提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 9 頁 共 61 頁【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的就是提高 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化

43、，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的 變量，可以把分散的條件起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ?形式，把復(fù)雜的計(jì)算和推證簡化。【易錯(cuò)點(diǎn) 11】 用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51最小值。ì122ï 2 (0 < a <)12：f(x)的最小值為2a 2 2 a 2 ，最大值為íï- 2a 2 + 2122a -(a ³)ïî22x >ax 3 的是(4,b)，則 a，b。（2）不等式2x = t

44、原不等式變?yōu)殛P(guān)于t 的一元二次不等式的為(2, b )）： a = 1 , b = 36 （提示8且 a = 1, a= 1 s例 12、（2005 高考北京卷）數(shù)列a 前ns。（1）求 a , a , a 的值及數(shù)列nn1n+1n2343an 的通項(xiàng)公式。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用 sn 與 an 的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為 an = sn - sn-1 對(duì)于任意 n 值的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列an 為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。立，忽略了對(duì) n=1141627113sn-1 (n ³ 2)： 易 求 得 a2 =, a3 =, a4 =。由 a1 = 1, an+1 =sn得 an =故393a- a

45、 = 1 s - 1 s= 1 a= 4 an ³ 2= 1，a = 1 故該數(shù)列從第(n ³ 2) 得 a()又 an+1nnn-1nn+1n1233333ì1(n = 1)ï= í1 æ 4 ö二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故 ann-2。(n ³ 2)ï3 ç 3 ÷èøî理）已知數(shù)列an 滿足 a1+ (n -1) an-1 (n ³ 2)= 1, an = a1 + 2a2 + 3a3 +【練 12】（2004則數(shù)列an 的通 。ì1(n

46、 = 1)= ï：（將條件右端視為數(shù)列na 的前n-1利用公式法解答即可） aí n!(n ³ 2)nnïî 2提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 10 頁 共 61 頁【易錯(cuò)點(diǎn) 13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大n最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從 1 開始）ìïs1 (n = 1)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列 an 與 sn 之間有如： an = í利用兩者之間的關(guān)系ïîsn - sn-1 (n ³ 2)可以已知 sn 求 an 。但注意只有在當(dāng) a1

47、 適合 an = sn - sn-1 (n ³ 2)時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式?！疽族e(cuò)點(diǎn) 12】已知 Sn 求 an 時(shí), 易忽略n的情況提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51例 13、等差數(shù)列an 的首項(xiàng) a1 > 0 ，前nsn ，當(dāng)l ¹ m 時(shí)， sm = sl 。問n 為sn 最大?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前 n是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于 n 的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。()n n -12d =n + a - d ö n 此函數(shù)是以 n 為變量的二次函

48、0;df (n) = na+2：由題意知 s =ç 12 ÷n12èøf (l ) = f (m) 得當(dāng)數(shù)，因?yàn)?a1 > 0 ，當(dāng) l ¹ m 時(shí)， sm = sl 故 d < 0 即此二次函數(shù)開口，故由x = l + m 時(shí)f ( x) 取得最大值，但由于 n Î N + ，故若l + m 為偶數(shù)，當(dāng) n = l + m 時(shí)， s 最大。n22當(dāng)l + m 為奇數(shù)時(shí)，當(dāng) n = l + m ± 1 時(shí) s 最大。n2高考題）設(shè)an 是等差數(shù)列， sn 是前n，且 s5 < s6 ， s6 = s7 &g

49、t; s8 ，則下列【練 13】（2001結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、 d < 0 B、 a7 = 0 C、 s9 > s5 D、 s6 和 s7 均為 sn 的最大值。：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n關(guān)于n 的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）例 14、已知關(guān)于的方程 x2 - 3x + a = 0 和 x2 - 3x + b = 0 的四個(gè)根組成首3 的等差數(shù)列，求4a + b 的值?！舅季S分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的何排列的。如3：不妨設(shè)是方程 x2 - 3x + a = 0 的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性

50、質(zhì)知方程4x2 - 3x + a = 0 的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程 x2 - 3x + b = 0 的兩根是等差數(shù)列的中間兩3 5 7 9273531項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)此等差數(shù)列為： ,故 a =, b =從而 a + b =。4 4, 4 416168提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 11 頁 共 61 頁【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等差數(shù)列an ，若 n + m = p + q ，則 an + am = ap + aq ；【易錯(cuò)點(diǎn) 14】解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)

51、合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從 1 開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題。特別的等差數(shù)列的前 n公式是關(guān)于n 的二次函數(shù)且沒有項(xiàng)，反之滿足形如 sn = an + bn 所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前2snæs ön。此時(shí)由= an + b 知數(shù)列中的點(diǎn)ç n, n ÷ 是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外形如nèn ø前nsn = ca - c 所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必比數(shù)列的前n。n提分寶，解

52、答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51）已知方程 x2 - 2x + m = 0 和 x2 - 2x + n = 0 的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)【練 14】（2003理131238為的等差數(shù)列，則 m - n=（） A、1 B、C、D、44：C例 15、數(shù)列an 中， a1 = 1 ， a2 = 2 ，數(shù)列an × an+1 是公比為 q （ q > 0 ）的等比數(shù)列。（I）求使 an an+1 + an+1an+2> an+2 an+3 成立的 q 的取值范圍；（II）求數(shù)列an 的前 2n 項(xiàng)的和 S 2n 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前 n易忽略公比 q=1 的特殊

53、情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列an × an+1 是公比為 q （ q > 0 ）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題口。使思維受阻。解：（I）數(shù)列an × an+1 是公比為 q 的等比數(shù)列， an+1an+2= an an+1q ，an+2 an+3= anan+1q ，2由 an an+1 + an+1an+2 > an+2 an+3 得 an an+1 + an an+1q > an an+1q2Þ 1 +2 ，即- 1 < 0 （ q > 0 ），0 < q < 1 +52

54、（II）由數(shù)列a × a 是公比為 q 的等比數(shù)列，得 an+1an+2= q Þ an+2= q ，這表明數(shù)列a 的nn+1na aan n+1n所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是 q ，又 a1 = 1 ， a2 = 2 ，當(dāng) q ¹ 1 時(shí)，= a1 + a2 + a3 + a4 +L + a2n-1 + a2nS2n= (a1 + a2 + a3 +L+ an ) + (a2 + a4 + a6 +L+ a2n )a (1 - qn )a (1 - qn )3(1 - qn )= 1+ 2=，當(dāng) q = 1 時(shí)，1 - q1 - q1

55、- q= a1 + a2 + a3 + a4 +L+ a2n-1 + a2nS2n= (a1 + a2 + a3 +L+ an ) + (a2 + a4 + a6 +L+ a2n )提分寶解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51第 12 頁 共 61 頁【易錯(cuò)點(diǎn) 15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比的情況對(duì)于等比數(shù)列an ，若 n + m = u + v ，則 an × am = au × av ；若數(shù)列an 是等比數(shù)列， Sn 是其前 n項(xiàng)的和， k Î N * ，那么 Sk ， S 2k - Sk ， S3k - S2k 成等比數(shù)列；若數(shù)列an 是等差數(shù)列， Sn 是其前 n項(xiàng)的和， k Î N * ，那么 S ， S- S ， S- S成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。k2kk3k2k提分寶，解答您學(xué)習(xí)上的所有難題歡迎關(guān)注：tfbao51= (1 + 1 + 1 +L+ 1) + (2 + 2 + 2 +L+ 2) = 3n 【練 15】（2005 高考卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列an 的公比為q，前 n圍。：