最新分享 高中數(shù)學(xué) 空間點 直線 平面之間的位置關(guān)系小結(jié)

1、分享聲明：本文檔來源網(wǎng)絡(luò)，文檔僅供讀者參考！對文檔版權(quán)不負任何法律責(zé)任！如有侵權(quán)行為，請作者聯(lián)系刪除文檔！最新分享 課題: 必修2第二章 點、直線、平面的位置關(guān)系 小結(jié) 一、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能（1）使學(xué)生掌握知識結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，進一步鞏固、深化所學(xué)知識；（2）通過對知識的梳理，提高學(xué)生的歸納知識和綜合運用知識的能力。2、過程與方法利用框圖對本章知識進行系統(tǒng)的小結(jié)，直觀、簡明再現(xiàn)所學(xué)知識，化抽象學(xué)習(xí)為直觀學(xué)習(xí)，易于識記；同時凸現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展和聯(lián)系。3情態(tài)與價值學(xué)生通過知識的整合、梳理，理會空間點、線面間的位置關(guān)系及其互相聯(lián)系，進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和解決問題能力。二、教學(xué)重點、難點重點：

2、各知識點間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系；難點：在空間如何實現(xiàn)平行關(guān)系、垂直關(guān)系、垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化。三、教學(xué)設(shè)計（一）知識回顧，整體認識1、本章知識回顧一、平面的基本性質(zhì):公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理2：如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其它公共點,這些公共點的集合是一條直線.公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點有且只有一個平面.推論1：一條直線和這條直線外一點確定一個平面.推論2：兩條相交直線確定一個平面.推論3：兩條平行直線確定一個平面. 三個公理的作用：公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)，亦作為判定點在平面內(nèi)的方法使用；公理2是判定兩個平面相交的

3、依據(jù)，亦作為判定幾個點在兩個相交平面的交線上（共線）的方法使用；公理3是確定一個平面的依據(jù)，亦作為判定幾個點共面的依據(jù) 證明三點共線的方法：即證明這些點都是某兩個平面的交點，據(jù)公理2它們必共線例1：在正方體 中（如圖1）， 與截面 交于 點， 、 交于 ，求證： 、 、 三點共線分析：三點共線問題的證法是：證明此三點同在兩個相交平面內(nèi)，顯然 、 、 平面 ，且 、 、 平面 ，故可證得三點共線證明： 、 、 平面 又 、 、 平面 據(jù)公理2，知 、 、 在平面 與平面 的交線上，即 、 、 三點共線。證明共面問題一般有兩種途徑：先證其中一部分點、線確定一個平面，再證剩余點、線落在確定好的平面上

4、先證其中一部分點、線確定一個平面，再證另一部分點、線確定另一個平面，最后證明前后兩個平面重合例2已知直線 與三條平行線 , ,都相交（如圖2），求證： 與 、 、 共面證明： ， ， 確定平面 ，設(shè) ， ， ， ， 同理， 、 確定平面 ， ，則平面 與 都過兩相交直線 與 ，而過 和 有且只有一個平面 與 重合故 、 、 、 共面練習(xí)：3個平面把空間分成 個部分。（4、6、7、8）（1）（2）（3）二、空間的兩條直線1. 空間二直線的位置關(guān)系：相交、平行、異面直線。對異面直線的理解：兩條直線若異面，則必不能同在任何一個平面內(nèi)因此它們不相交也不平行 分別在某兩個平面內(nèi)的兩條直線，不一定是異面直

5、線2. 二直線的平行：公理4：與同一條直線平行的二直線平行.等角定理：空間兩個角的對應(yīng)邊分別平行,并且方向相同,則兩個角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等3. 異面直線：定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.判定:(1)根據(jù)定義用反證法 (2)定理:平面內(nèi)的一點和平面外的一點的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過這點的直線是異面直線. 4. 兩異面直線所成的角（1）定義：過空間任意一點，分別作兩條異面直線的平行線，則這兩條相交直線所成的銳角（或直角）叫做這兩條異面直線所成的角（2）取值范圍（00，900（3）作法：平移法或補形法?？偨Y(jié)提煉在作異面直線所成

6、的角時，頂點往往選擇在其中一條直線上，而且常常是該線段的端點或中點，在構(gòu)成角的過程中，常常讓其中一條線不動，另一條線沿著某個平面滑動（平移），直到兩線相交，在計算異面直線所成的角時，要注意按“作證算”的步驟來進行在求這個角的大小時，一般是根據(jù)平面圖形中解三角形的知識求解的5兩異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度。對于任意兩條異面直線，它們的公垂線有且僅有一條。高考中，求異面直線的距離，只要求會已給出公垂線的距離的計算例3：如圖3，空間四邊形 邊長均為 ，連對角線 、 ，且 ， 、 分別為 、 的中點（1）證明： 是異面直線 、 的公垂線；（2）求異面直

7、線 與 的距離解：（1）連 、 ，由題設(shè)，知 ， 。在等腰 中， 是 的中線， 同理可證， 與異面直線 、 相交且垂直，即 是異面直線 與 的公垂線（2）在 中， ， ， 因此， 與 間的距離為 三、直線與平面：1、位置關(guān)系2、線面平行: 定義：直線和平面無公共點 判定（1）定義（2）判定定理：平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行(簡記:線線平行則線面平行）性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，則這條直線與平面的交線平行(簡記: 線面平行則交線平行) 例4 如圖1， 是空間四邊形， 分別是四邊上的點，它們共面且 是平行四邊形，求證： 平面 ， 平面 分析：欲證

8、平面 ，須證 平行于平面內(nèi)一條直線，顯然，只要證 即可證明： 是平行四邊形， ，可得 平面 ，又平面 經(jīng)過 且與平面 交于 又 平面 面 平面 同理可證： 平面 總結(jié)提煉直線和平面平行的判定定理及性質(zhì)定理在解題時往往交替使用證線面平行往往轉(zhuǎn)化為證線線平行，而證線線平行又將轉(zhuǎn)化為證線面平行在應(yīng)用線面平行的判定與性質(zhì)定理時，要注意認清條件，另外這兩個定理在證題時往往需要在交替使用，但要注意這種交替不是循環(huán)，而是步步向前推進的由已知想性質(zhì)定理，由結(jié)論想判定定理兩個結(jié)論：1、過一點有且只有一條直線與已知平面垂直。2、過一點有且只有一個平面與已知直線垂直。3、線面垂直的判定方法:1）.定義2）判定定理:

9、一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則這條直線與這個平面垂直. （線線垂直 線面垂直）3）兩條平行直線中的一條與一個平面垂直,則另一條直線也與這個平面平垂直.4）如果兩個平面互相垂直,則一個平面內(nèi)與交線垂直的直線與另一個平面垂直.5）兩個相交平面都與第三個平面垂直,則它們的交線與第三個平面垂直.6）兩個平行平面中的一個與一條直線垂直,則另一個平面也與這條直線垂直.4、線面垂直的性質(zhì):如果兩條直線都與同一平面垂直,則此二直線平行.5點到平面的距離從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離6直線和平面的距離一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的

10、距離，叫做這條直線到這個平面的距離5、射影的概念：應(yīng)該注意以下幾點：一個點在一個平面內(nèi)的射影就是從這點到這平面所作垂線的垂足一條線在一個平面內(nèi)的射影，就是這條線上所有的點在這平面內(nèi)的射影的集合當(dāng)圖形在平面上的射影是一個點時，這個圖形不一定是一個點當(dāng)圖形在平面上的射影是一條直線時，這個圖形不一定是一條直線6直線和平面所成的角（1）斜線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的角。范圍是 例題 如圖7，已知 垂直于直角三角形 所在的平面， ， ， ， ，求直線 與平面 所成的角解：作 于 ，由 平面 得 平面 ，連結(jié) ，則 即為所求 ， ， ， ， 在 中， ，在 中， 7、三垂線

11、定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直（線影垂直則線斜垂直）三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直（線斜垂直則線影垂直）關(guān)鍵：確定一平面、找到四線（垂線、斜線、射影、平面內(nèi)的直線）得到三垂直關(guān)系。實質(zhì)：平面內(nèi)直線與平面的斜線互相垂直的判定定理四、空間的兩個平面（1）（2）兩平面平行知識結(jié)構(gòu)1、判定：(1)定義; (2)判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行,則此二平面平行(3)一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別和另一個平面內(nèi)兩條直線平行,則此二平面平行.(4)與同一平面平行的二平面

12、平行。(5)垂直于同一直線的二平面平行。總結(jié)提煉要證面面平行，通常先證線面平行，而通過線面平行的判定定理又轉(zhuǎn)化為證線線平行線線平行的發(fā)現(xiàn)途徑很廣泛：利用比例相等、平行四邊形對邊、梯形兩底邊、公理4等均可得.2、性質(zhì)：(1)性質(zhì)定理:兩個平面平行,第三個平面與這兩個平面相交,所得交線平行. (2)兩個平面平行,則一個平面內(nèi)的任一條直線與另一個平面平行. (3)一條直線垂直于兩個平面中的一個,則必垂直于另一個. (4)夾在兩個平行平面間的線段相等。 (5)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.3、二面角: 定義:半平面,二面角,面,棱;4、二面角的平面角：在二面角的棱上取一點,分別在兩個半

13、平面內(nèi)作與棱垂直的射線,則這兩條射線所成的角,叫這個二面角的平面角. 范圍是:00,1800直二面角:二面角的平面角是直角.二面角的平面角的作法:(1)定義法; (2)三垂線法; (3)垂面法.求二面角的平面角: (1三垂線法; (2)垂面法(3)射影法如果 所在平面 與平面 所成的二面角的平面角為 ，且 在平面 內(nèi)的射影為 ，則有 例 如圖3，平面角為銳角的二面角 ， ， ， ，若 與 所成角為 ，求二面角 的平面角解：作 于 ，作 于 ，連結(jié) ，則 ， 是二面角的平面角又 是 與 所成的角，設(shè)，則， 5、二平面的垂直:定義:二平面相交所成的二面角是直角.判定:如果一個平面過另一個平面的一條

14、垂線則這兩個平面互相垂直.性質(zhì):1.兩個平面互相垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.2.兩個平面互相垂直,過一個平面內(nèi)一點作另一個平面的垂線,則這條直線必在第二個平面內(nèi).3.兩個相交平面都與第三個平面垂直,則它們的交線與第三個平面垂直.6兩個平行平面的距離（1）兩個平行平面的公垂線及公垂線段和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段兩個平行平面的公垂線段都相等。 2、本章知識結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系（

15、二）整合知識，發(fā)展思維1、刻畫平面的三個公理是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形問題，進行邏輯推理的基礎(chǔ)。公理1判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2提供確定平面最基本的依據(jù)；公理3判定兩個平面交線位置的依據(jù)；公理4判定空間直線之間平行的依據(jù)。2、空間問題解決的重要思想方法：化空間問題為平面問題；3、空間平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系：平面與平面平行直線與直線平行直線與平面平行平面與平面垂直直線與直線垂直直線與平面垂直4、觀察和推理是認識世界的兩種重要手段，兩者相輔相成，缺一不可。（三）應(yīng)用舉例，深化鞏固圖例1、正方形ABCD的邊長是2，E、F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF折成直二面角（如

16、圖所示）.M為矩形AEFD內(nèi)一點，如果MBE=MBC，MB和平面BCFE所成角的正切值為，那么點M到直線EF的距離為 。解析：過M作MOEF，交EF于O，則MO平面BCFE.如圖所示，作ONBC，設(shè)OM=x，又tanMBO=，BO=2x又SMBE=BEMBsinMBE=BEME SMBC=BCMBsinMBC=BCMNME=MN，而ME=，MN=，解得x=。點評：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題來處理。點面距離例2如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2。ABD為等腰直角三角形。（）求證：AO平面BCD；（）求異面直線AB

17、與CD所成角的余弦值；（）求點E到平面ACD的距離。解：(1)證明：連結(jié)OC。BO=DO,AB=AD, AOBD。BO=DO,BC=CD, COBD。在AOC中，由已知可得AO=1,CO=。而AC=2，AO2+CO2=AC2, AOC=90,即AOOC。AB平面BCD。（）解：取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知MEAB,OEDC。直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。在OME中，是直角AOC斜邊AC上的中線， 異面直線AB與CD所成角為（）解：設(shè)點E到平面ACD的距離為h. , SACD =AOSCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=, SACD=而AO=1, SCDE=h=點E到平面ACD的距離為。點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。小結(jié)（1）空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離（2）求距離的一般方法和步驟是：一作作出表示距離的線段；二證證明它就是所要求的距