——大地水準(zhǔn)面的起伏和垂線偏差

1、第五章 大地水準(zhǔn)面的起伏和垂線偏差確定地面點(diǎn)在地球上的位置需要知道其三個(gè)坐標(biāo)通過(guò)天文觀測(cè)可以確定它的天文經(jīng)度、天文緯度兩個(gè)坐標(biāo)、通過(guò)重力測(cè)量和水準(zhǔn)測(cè)量可以確定第三個(gè)坐標(biāo)-正高；地面點(diǎn)的天文經(jīng)、緯度這兩個(gè)坐標(biāo)是以該點(diǎn)的重力矢量方向?yàn)橐罁?jù)的，而正高則從該點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面起算。受地球內(nèi)部密度分布不規(guī)律的影響，重力矢量方向在地球中是雜亂無(wú)章的，同時(shí)大地水準(zhǔn)面也是一個(gè)不規(guī)則的曲面；地面各點(diǎn)的這三個(gè)可觀測(cè)坐標(biāo)是以重力矢量方向定向的局部坐標(biāo)架為根據(jù)的，它們之間難以進(jìn)行精確對(duì)比。為了克服這種局限，在大地測(cè)量中通常采用大地坐標(biāo)系；大地坐標(biāo)系是一種以中心置于地球質(zhì)心的參考橢球?yàn)橐罁?jù)的全球統(tǒng)一坐標(biāo)系，地面點(diǎn)相對(duì)參考橢

2、球的坐標(biāo)稱(chēng)為它的大地坐標(biāo)，大地坐標(biāo)有三個(gè)：大地經(jīng)度、大地緯度和大地高程。三個(gè)大地坐標(biāo)不能直接觀測(cè)，它們與參考橢球的幾何參數(shù)和它在地球中的定位有關(guān)；幾何參數(shù)合適的參考橢球選定并在地球中定位后，三個(gè)大地坐標(biāo)可以通過(guò)可觀測(cè)的三個(gè)坐標(biāo)（天文經(jīng)、緯度和正高）計(jì)算出來(lái)；為此，需要知道大地水準(zhǔn)面的起伏和垂線偏差。本章給出如何根據(jù)混合重力異常計(jì)算大地水準(zhǔn)面起伏和垂線偏差的公式。5.1 自然坐標(biāo)和大地坐標(biāo)1.自然坐標(biāo)地球表面上的任一點(diǎn)的自然坐標(biāo)式以該點(diǎn)的重力方向?yàn)橐罁?jù)的，自然坐標(biāo)有三個(gè)，它們式：天文精度、天文緯度和正高。圖式點(diǎn)的地面天球，地球的旋轉(zhuǎn)軸在空間的取向是固定的，點(diǎn)與地球旋轉(zhuǎn)軸的平行直線與天球交點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)

3、地面天球的北極；過(guò)點(diǎn)作一條直線，沿著點(diǎn)重力矢量的反方向向上，它與點(diǎn)的地面天球相交與點(diǎn)，稱(chēng)為點(diǎn)的天文天頂，平面稱(chēng)為點(diǎn)的天文子午面；過(guò)作一平面，令與格林尼治初始子午面平行，則稱(chēng)為點(diǎn)的初始天文子午面。點(diǎn)的天文緯度等于北天極在點(diǎn)的告訴，點(diǎn)的天文經(jīng)度等于點(diǎn)的地方恒星時(shí)與格林尼治地方恒星時(shí)的差；點(diǎn)的天文經(jīng)度和天文緯度這兩個(gè)天文坐標(biāo)可以通過(guò)在點(diǎn)的天文觀測(cè)測(cè)量出來(lái)。如圖所示，點(diǎn)的第三個(gè)坐標(biāo)式它的正高，它等于點(diǎn)沿垂線至帶地水準(zhǔn)面的距離，因?yàn)榈厍虻闹亓Φ任幻姹舜碎g不平行，從水準(zhǔn)原點(diǎn)開(kāi)始，通過(guò)水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)出點(diǎn)至大地水準(zhǔn)面的高差與水準(zhǔn)測(cè)量的路徑有關(guān)，它不等于點(diǎn)的正高，即有假若在水準(zhǔn)測(cè)量的路徑上同時(shí)進(jìn)行重力測(cè)量，考慮到根

4、據(jù)（）式，有為地球在大地水準(zhǔn)面上的重力位。（）式表明，通過(guò)水準(zhǔn)路徑上同時(shí)進(jìn)行水準(zhǔn)和重力測(cè)量可以測(cè)出點(diǎn)的重力位與大地水準(zhǔn)面上的重力位之間的差，因而有根據(jù)（）式，點(diǎn)的正高為為、兩點(diǎn)間的平均重力。這樣，通過(guò)水準(zhǔn)測(cè)量和沿著水準(zhǔn)測(cè)量路徑上同時(shí)進(jìn)行重力測(cè)量，根據(jù)（）式可以求出點(diǎn)的正高。2.大地坐標(biāo)如圖所示，選擇參數(shù)合適的參考橢球，將其中心置于地球的質(zhì)心，在全球地心直角坐標(biāo)系內(nèi)，令參考橢球的極軸沿著地球的旋轉(zhuǎn)軸，位于赤道平面內(nèi)，并令子午面為參考橢球的初始子午面；以這種參考橢球?yàn)榛緟⒖技艿淖鴺?biāo)系稱(chēng)為大地坐標(biāo)系，大地坐標(biāo)系式一種全球統(tǒng)一的地球坐標(biāo)系。地面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)由它的大地緯度、大地經(jīng)度、大地高程三個(gè)大地

5、坐標(biāo)給出。用表示點(diǎn)沿該點(diǎn)正常重力方向在參考橢球面上的投影，則稱(chēng)為點(diǎn)的大地高程，而過(guò)點(diǎn)的參考橢球面法線，即該點(diǎn)的正常重力方向與赤道平面的夾角稱(chēng)為點(diǎn)的大地緯度，過(guò)點(diǎn)的子午面與初始子午面的夾角稱(chēng)為點(diǎn)的大地經(jīng)度，地面點(diǎn)的這三個(gè)大地坐標(biāo)不能直接觀測(cè)出來(lái)，它們與參考橢球的參數(shù)有關(guān)；當(dāng)參考橢球的參數(shù)選定并在地球內(nèi)部定位后，地面點(diǎn)的大地高程、大地經(jīng)度和大地緯度，可以根據(jù)可直接觀測(cè)的地面點(diǎn)的正高、天文經(jīng)度、天文緯度計(jì)算出來(lái)。5.2 擾動(dòng)位，大地水準(zhǔn)面的高度和垂線偏差地面上某點(diǎn)重力矢量方向與該點(diǎn)正常重力方向之間的夾角稱(chēng)為該點(diǎn)的垂線偏差；地球在空間任一點(diǎn)的重力位與正常場(chǎng)地球模型在該點(diǎn)產(chǎn)生的重力位的差稱(chēng)為地球在該點(diǎn)的

6、擾動(dòng)位，即地球與正常場(chǎng)地球模型的密度分布上的差異一方面產(chǎn)生擾動(dòng)位，另一方面使得大地水準(zhǔn)面相對(duì)參考橢球面發(fā)生起伏，同時(shí)產(chǎn)生垂線偏差。這樣，擾動(dòng)位、大地水準(zhǔn)面的起伏、垂線偏差都來(lái)源于地球與正常場(chǎng)地球模型內(nèi)部密度的分布不同。如圖所示，根據(jù)大地高程的定義，點(diǎn)的大地高程等于點(diǎn)的正高和點(diǎn)至參考橢球面的距離的和，即點(diǎn)至大地水準(zhǔn)面的高度與點(diǎn)的擾動(dòng)位有關(guān)；事實(shí)上，大地水準(zhǔn)面上點(diǎn)的擾動(dòng)位等于大地水準(zhǔn)面上的重力位等于正常重力位，即，考慮到位于旋轉(zhuǎn)橢球面上，因而有將上式代入（）式，有（）式表明，大地水準(zhǔn)面上點(diǎn)的擾動(dòng)位實(shí)際上等于、兩點(diǎn)的正常重力位的差；根據(jù)（）式，至參考橢球面的距離為其中為的正常重力，（）式稱(chēng)為布隆斯（

7、Brunes）公式。如圖所示，由于擾動(dòng)位的存在，大地水準(zhǔn)面上的重力矢量與正常重力矢量不重合，大地水準(zhǔn)面上點(diǎn)重力矢量與正常重力矢量之間的夾角稱(chēng)為點(diǎn)的垂線偏差，即垂線偏差是一個(gè)矢量，它有偏差方向和大小。用、分別表示它的南北分量和東西分量，并約定地球的重力矢量的方向在正常重力矢量方向的西南方時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)的天文天頂在它的大地天頂東北時(shí)，出現(xiàn)偏差的南北分量和東西分量為正。圖為點(diǎn)的地面天球，為它的北天極，、分別為它的天文天頂和大地天頂，則點(diǎn)的垂線偏差等于?？紤]到天文緯度、大地緯度分別等于天文天頂和大地天頂?shù)教斐嗟赖木嚯x，并且天文經(jīng)度、大地經(jīng)度分別為點(diǎn)的天文子午圈、大地子午圈與初始子午圈的繳交，根據(jù)球面三角形

8、，有如圖所示，用表示地面上點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的投影，為原點(diǎn)選在點(diǎn)的局部直角坐標(biāo)系，軸垂直向下沿著點(diǎn)的正常重力方向，沿著點(diǎn)的大地子午圈向北，向東；根據(jù)擾動(dòng)位的定義（）式，點(diǎn)的重力位等于正常點(diǎn)的正常重力位與地球的擾動(dòng)位的和，在所選定局部直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的重力矢量為考慮到因而有根據(jù)垂線偏差矢量的定義（）式以及（）式，有其中，為點(diǎn)垂線偏差的南北分量向南為正，為點(diǎn)垂線偏差的東西分量向西為正。5.3 混合重力異常如圖所示，地面上任一點(diǎn)的重力值可以觀測(cè)出來(lái)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q算，可以根據(jù)地面點(diǎn)的重力觀測(cè)值計(jì)算出與其點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的大地水準(zhǔn)面上點(diǎn)的重力，假定為過(guò)點(diǎn)的正常重力矢量方向，為與參考橢球面的交點(diǎn)，則點(diǎn)的重力與點(diǎn)的正

9、常重力之差稱(chēng)為的混合重力異常，即點(diǎn)的正常重力可以根據(jù)正常重力公式計(jì)算出來(lái)，因而原則上可以認(rèn)為大地水準(zhǔn)面上的混合重力異常式已知的?？紤]到其中為點(diǎn)重力矢量方向，為點(diǎn)的正常重力矢量方向。與、之間的夾角約為參考橢球的扁率量級(jí)，準(zhǔn)確至參考橢球扁率量級(jí)，可以把（）式寫(xiě)成：將（）式代入混合重力異常表達(dá)式（）式，得根據(jù)（）式以及（）式，準(zhǔn)確至參考橢球扁率量級(jí)其中為參考橢球的平均半徑。將（）式代入（）式，并將其寫(xiě)成：（）式、（）式給出了大地水準(zhǔn)面的高度、垂線偏差與擾動(dòng)位的關(guān)系，所以若能根據(jù)大地水準(zhǔn)而上的已知的混合重力異常計(jì)算出擾動(dòng)位、則能根據(jù)上述二式計(jì)算出大地水準(zhǔn)面的高度和垂線偏差。正常場(chǎng)地球模型的極軸與地球的

10、旋轉(zhuǎn)軸重合，并且它們的旋轉(zhuǎn)角速度也相同、因而地球的離心力位與正常場(chǎng)地球模型的離心力位相同。所以地球的擾動(dòng)位等于地球的引力位和正常場(chǎng)地球模型的引力位的差，因此擾動(dòng)促在大地水準(zhǔn)面上及其外部空間滿足拉普拉斯方程。要想根據(jù)在大地水準(zhǔn)面上給定的混合重力異常計(jì)算出擾動(dòng)位，問(wèn)題就歸結(jié)為解擾動(dòng)位的拉普拉斯方程，使其滿足給定的邊界條件（）式，即5.4 大地水準(zhǔn)面的高度，斯托克斯公式為了便于計(jì)算，斯托克斯對(duì)（）式中的邊界做了簡(jiǎn)化，把大地水準(zhǔn)面邊界簡(jiǎn)化為半徑等于地球平均半徑的球面，這樣，（）式變?yōu)槠渲?，為半徑等于的球面，此時(shí)，由于這種邊界條件的簡(jiǎn)化，解滿足（）式求得的擾動(dòng)位，其誤差約為地球扁率的量級(jí)。將半徑為的球面

11、上的擾動(dòng)位展成球面函數(shù)，有其中為階球面函數(shù)，因?yàn)榈厍虻馁|(zhì)量等于正常場(chǎng)地球模型的質(zhì)量，并且坐標(biāo)原點(diǎn)選在地球的質(zhì)心，所以（）式中從2開(kāi)始，根據(jù)（）式，地球外的擾動(dòng)位為將（）式代入（）式中的邊界條件，得將球面上給定的混合重力異常展成球面函數(shù)，根據(jù)（）式，有將（）式代入（）式，得將（）式代入（）式，得用表示稱(chēng)為廣義斯托克斯函數(shù)。將（）式代入（）式，得如圖所示，令，根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)（）式，有將廣義斯托克斯函數(shù)（）式寫(xiě)成根據(jù)（）式，有而根據(jù)（）式，有考慮到將（）式代入（）式右側(cè)的積分，得考慮到將上式代入（）式，得將（）式、（）式代入（）式，得出廣義斯托克斯函數(shù)，它等于當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，在半徑為的球面上

12、，有考慮到當(dāng)時(shí)，有將（）式代入（）式，得出球面上的斯托克斯函數(shù)，即球面上的斯托克斯函數(shù)的數(shù)值如表所示。將（）式代入（）式，得出根據(jù)球面上混合重力異常計(jì)算球面上的擾動(dòng)位的關(guān)系式，即將（）式代入布隆斯公式（）式，得出根據(jù)球面上的混合重力異常求大地水準(zhǔn)面高度的公式，即為地球的平均正常重力，（）式稱(chēng)為計(jì)算大地水準(zhǔn)面高度的斯托克斯公式。該式表明，球面上任一點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面的高度等于全球面上的混合重力異常與斯托克斯函數(shù)乘積在全球面上的積分，也就是說(shuō)，要想根據(jù)斯托克斯公式（）計(jì)算球面上任一點(diǎn)大地水準(zhǔn)面的高度，需要知道全球面上的混合重力異常。5.5 溫寧.曼乃茲（Vening Meinesz）垂線偏差公式根據(jù)大地水準(zhǔn)面上任一點(diǎn)的垂線偏差南北分量和東西分量與擾動(dòng)位之間的關(guān)系式（）式，有其中，為地球的平均重力，、為以為坐標(biāo)原點(diǎn)的局部直角坐標(biāo)系的兩個(gè)水平坐標(biāo)，軸垂直向下沿著點(diǎn)的正常重力方向，軸向北，軸向東，在根據(jù)混合重力異常計(jì)算擾動(dòng)位時(shí)，為了便于計(jì)算，把邊界簡(jiǎn)化為半徑為的球面，在按照（）式計(jì)算垂線