第三章平均指數(shù)和變異指數(shù)

1、本章將討論的是數(shù)據(jù)的本章將討論的是數(shù)據(jù)的總量總量和和相對關(guān)系相對關(guān)系的測度，數(shù)據(jù)的測度，數(shù)據(jù)的集中趨勢、離散趨勢及其形態(tài)的測度。的集中趨勢、離散趨勢及其形態(tài)的測度。 總量指標和相對指標總量指標和相對指標集中趨勢的測定集中趨勢的測定-平均指標平均指標離散趨勢的測定離散趨勢的測定-離散指標離散指標數(shù)據(jù)的形態(tài)測定數(shù)據(jù)的形態(tài)測定-偏度和峰度偏度和峰度主要內(nèi)容主要內(nèi)容（一）總量指標（一）總量指標總量指標（亦稱絕對數(shù)）是統(tǒng)計資料經(jīng)過匯總整理總量指標（亦稱絕對數(shù)）是統(tǒng)計資料經(jīng)過匯總整理后得到的反映總體規(guī)模和水平的總和指標。后得到的反映總體規(guī)模和水平的總和指標。 （3）是計算相對指標和平均指標的基礎(chǔ)。）是計算

2、相對指標和平均指標的基礎(chǔ)。作用作用概念概念例如，企業(yè)的銷售收入、一個地區(qū)或國家的社會總例如，企業(yè)的銷售收入、一個地區(qū)或國家的社會總產(chǎn)值、國內(nèi)生產(chǎn)總值等。產(chǎn)值、國內(nèi)生產(chǎn)總值等。 （1 1）反映一個國家的國情和國力，一個地區(qū)或一）反映一個國家的國情和國力，一個地區(qū)或一個企業(yè)的人力、物力、財力個企業(yè)的人力、物力、財力 （2 2）是進行經(jīng)濟核算和經(jīng)濟活動分析的基礎(chǔ)）是進行經(jīng)濟核算和經(jīng)濟活動分析的基礎(chǔ) 、實物單位、實物單位自然單位自然單位度量衡單位度量衡單位簡單單位簡單單位雙重單位雙重單位復合單位復合單位2 2、貨幣單位、貨幣單位3 3、勞動單位（工時、工日）、勞動單位（工時、工日） 相對指標是用兩個有

3、聯(lián)系的指標進行對比相對指標是用兩個有聯(lián)系的指標進行對比的比值的比值，可以反映現(xiàn)象的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系，并可將現(xiàn)象可以反映現(xiàn)象的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系，并可將現(xiàn)象的絕對差異抽象化，使原來不能直接相比的絕對數(shù)的絕對差異抽象化，使原來不能直接相比的絕對數(shù)可以進行比較?？梢赃M行比較。 相對指標的表現(xiàn)形式相對指標的表現(xiàn)形式（一）名數(shù)（一）名數(shù)（二）無名數(shù)（二）無名數(shù)1、系數(shù)和倍數(shù)、系數(shù)和倍數(shù)2、成數(shù)、成數(shù)3、百分數(shù)、百分數(shù)4、千分數(shù)、千分數(shù)二、相對指標二、相對指標概念概念%100 總體中全部數(shù)值總體中全部數(shù)值總體中的部分數(shù)值總體中的部分數(shù)值結(jié)構(gòu)相對指標結(jié)構(gòu)相對指標%100 總總體體中中另另一一部部分分數(shù)數(shù)值

4、值總總體體中中某某一一部部分分數(shù)數(shù)值值比比例例相相對對指指標標女生人數(shù)女生人數(shù)男生人數(shù)男生人數(shù)總?cè)藬?shù)總?cè)藬?shù)男生人數(shù)男生人數(shù)如如: :如如: :( (一一) )( (二二) )另另一一條條件件下下的的同同類類數(shù)數(shù)值值某某條條件件下下的的某某類類數(shù)數(shù)值值比比較較相相對對指指標標三三 )(大慶油田原油產(chǎn)量大慶油田原油產(chǎn)量長慶油田原油產(chǎn)量長慶油田原油產(chǎn)量如如:%100) 基期數(shù)值基期數(shù)值報告期數(shù)值報告期數(shù)值動態(tài)相對指標動態(tài)相對指標（四（四年年國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值年年國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值如如20012002:返回返回的的指指標標數(shù)數(shù)值值另另一一有有聯(lián)聯(lián)系系但但性性質(zhì)質(zhì)不不同同某某一一指指標標數(shù)數(shù)

5、值值 銷銷售售收收入入流流通通費費用用總總額額流流通通費費用用率率 (%)平平均均人人數(shù)數(shù)國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值人人均均國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值 )()()(千千人人人人口口數(shù)數(shù)地地全全國國商商業(yè)業(yè)機機構(gòu)構(gòu)數(shù)數(shù)地地全全國國商商業(yè)業(yè)網(wǎng)網(wǎng)密密度度 %100 計計劃劃數(shù)數(shù)實實際際完完成成數(shù)數(shù)計計劃劃完完成成相相對對指指標標%100 計劃絕對水平計劃絕對水平實際絕對水平實際絕對水平計劃完成相對指標計劃完成相對指標%951000950 %100 計劃平均水平計劃平均水平實際平均水平實際平均水平計劃完成相對指標計劃完成相對指標%905045 %100% 計計劃劃規(guī)規(guī)定定實實際際完完成成計計劃劃完完成成相

6、相對對指指標標%5 .104%110%115 %95.98%95%94 不同時期不同時期比比 較較動動 態(tài)態(tài)相對數(shù)相對數(shù)注：注：又稱發(fā)又稱發(fā)展速度展速度 強強 度度相對數(shù)相對數(shù)注：注：復名數(shù)復名數(shù)有正逆有正逆指標指標不同現(xiàn)象不同現(xiàn)象比較比較不同總體不同總體比較或者比較或者同一總體同一總體的兩個不的兩個不同部分同部分比比 較較相對數(shù)相對數(shù)同一總體中同一總體中部分與總體部分與總體比比 較較實際與計劃實際與計劃比比 較較結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu)相對數(shù)相對數(shù)計劃完成計劃完成相對數(shù)相對數(shù)注：注：有正逆指標有正逆指標同一時期比較同一時期比較同類現(xiàn)象比較同類現(xiàn)象比較（1）正確選擇對比的基數(shù)；）正確選擇對比的基數(shù)；（2）必

7、須注意統(tǒng)計的可比性；）必須注意統(tǒng)計的可比性；（3）相對指標要與總量指標相結(jié)合。）相對指標要與總量指標相結(jié)合。應(yīng)用原則應(yīng)用原則iffffffLM)()(1110)(1235)1014()814(8141200個 M2f中位數(shù)位置中位數(shù)位置N12為偶數(shù)時當為奇數(shù)時當NXXNXMNNNe1222121例子見書42頁15 1322N 位置ifSfLMmme12概念概念表明同類現(xiàn)象在一定時間、地點、條件下所達到的表明同類現(xiàn)象在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平，是總體內(nèi)某個變量大小各異的觀察值的一般水平，是總體內(nèi)某個變量大小各異的觀察值的代表性代表性數(shù)值。也是對變量分布數(shù)值。也是對變量分布集中趨勢集

8、中趨勢的測定。的測定。數(shù)據(jù)集中區(qū)數(shù)據(jù)集中區(qū)變量變量xxxxxxnxnxxxxxn321 分分平平均均成成績績73536558253649075 fxfffxfxfxfxxnn332211權(quán)數(shù)解釋權(quán)數(shù)解釋權(quán)數(shù)（權(quán)數(shù)（Weighted），是分布數(shù)列中的頻數(shù)或頻率。），是分布數(shù)列中的頻數(shù)或頻率。對求平均數(shù)具有對求平均數(shù)具有權(quán)衡輕重權(quán)衡輕重的作用，是影響平均數(shù)變的作用，是影響平均數(shù)變動的兩個因素之一（另一因素是變量值）。動的兩個因素之一（另一因素是變量值）。(1) (2)(3)X456合計合計頻數(shù)頻數(shù) 頻率頻率(%)10201025.050.025.040100.0X456合計合計頻數(shù)頻數(shù) 頻率頻率(

9、%)20402025.050.025.080100.0X456合計合計頻數(shù)頻數(shù) 頻率頻率(%)20101050.025.025.080100.0 =5 =5 =4.75 頻率分布變了，均值也變。因此，嚴格地說，頻率分布變了，均值也變。因此，嚴格地說，權(quán)數(shù)應(yīng)指權(quán)數(shù)應(yīng)指頻率頻率。xxx 件件平均日產(chǎn)量平均日產(chǎn)量1620319 返回返回 公斤公斤平均日產(chǎn)量平均日產(chǎn)量422008400 返回返回 ffxffxffxffxffxxnn332211 ff)(42%1555%4545%3535%525公斤公斤平均日產(chǎn)量平均日產(chǎn)量 返回返回x%10515001575)f()xf(% 計劃產(chǎn)值計劃產(chǎn)值實際產(chǎn)值實

10、際產(chǎn)值平均計劃完成平均計劃完成)(09f()xf(工時工時件件車間實際工時車間實際工時車間產(chǎn)品產(chǎn)量車間產(chǎn)品產(chǎn)量平均勞動生產(chǎn)率平均勞動生產(chǎn)率 返回返回0N1N ffpNN1 qNN0 PNN0N1fxfx01 是是返回返回 0 xx 最最小小值值 2xx0f)xx( 最最小小值值 fxx2xx 0設(shè)設(shè)cxx 0 22222220)()(2)()()()(ncxxncxxcxxcxxcxxxx 為最小值為最小值22202)()()(0 xxxxxxnc AxnAx AxffAx xAnAx xA1nAx xAfAxf xA1ffAx 返回返回 x1x1x1x1x1nnHn

11、321)(31132201101小小時時里里 xmnn3322xmn321mxmxmxmmmmmH11)(小小時時里里xm201152103103152201 )(2912126103152201小時小時里里平均速度平均速度 nnn321xxxxxG 33%450%70%90%80 三三個個車車間間平平均均合合格格率率10005047205048007201000800%70%90%80 ffffnf3f2f1xxxxxGn3210 x%105%5000 xxx 2000%105%5%105%105xxx %108%105%8%105%105202020 xxx 23320%112%110%1

12、08%105x%77108%112%110%108%105102332 平平均均本本利利率率平均年利率平均年利率=8.77%=8.77%常用的幾種平均數(shù)常用的幾種平均數(shù)概概 念念 計算計算 公公 式式 特特 點點優(yōu)點：靈敏度高優(yōu)點：靈敏度高 受極值影響小受極值影響小于于 和和 適宜于各比率適宜于各比率之積為總比率的變之積為總比率的變量求平均量求平均缺點缺點:有有“ 0”或負或負值時不能計算值時不能計算 偶數(shù)項數(shù)列只偶數(shù)項數(shù)列只能用正根能用正根2. 幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)（ ）幾個變量幾個變量值連乘積值連乘積的的n次根次根簡單：簡單：加權(quán)：加權(quán)：GxniGxxififiGxxHxx概概 念念 計算

13、計算 公公 式式 特特 點點3. 中位數(shù)中位數(shù)（Me）是一種位是一種位置平均數(shù)置平均數(shù), ,數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)按按大小順序大小順序排列，處排列，處于數(shù)據(jù)序于數(shù)據(jù)序列中間位列中間位置的數(shù)值置的數(shù)值就是中位就是中位數(shù)數(shù) 上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：ifSmfUMem1/2ifSmfLMem1/2優(yōu)點：優(yōu)點：容易容易理解，理解， 不受極值不受極值影響影響適宜于開口適宜于開口組資料和些不組資料和些不能用數(shù)字測定能用數(shù)字測定的事物的事物缺點：缺點：靈敏靈敏度和計算功能度和計算功能差差 間斷數(shù)間斷數(shù)Me常用的幾種平均數(shù)常用的幾種平均數(shù)常用的幾種平均數(shù)常用的幾種平均數(shù)概概 念念 計算計算 公公 式式 特特

14、 點點4. 眾數(shù)眾數(shù)（Mo）是一種位是一種位置平均數(shù)置平均數(shù)，是一批，是一批數(shù)據(jù)中出數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最現(xiàn)次數(shù)最多的那個多的那個數(shù)值數(shù)值. .通通常只用于常只用于定性數(shù)據(jù)定性數(shù)據(jù)或離散型或離散型的定量數(shù)的定量數(shù)據(jù)。據(jù)。上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：優(yōu)點：優(yōu)點：容易容易理解，理解， 不受極值不受極值影響影響 缺點：缺點：靈敏靈敏度和計算功能度和計算功能差差 穩(wěn)定性差穩(wěn)定性差 具 有 不 唯具 有 不 唯一性一性idddUMo212idddLMo211位置平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系位置平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系1.眾數(shù)眾數(shù)適用于所有的定性數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)適用于所有的定性數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù) 中位數(shù)中位數(shù)

15、適用于定性數(shù)據(jù)中的定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)適用于定性數(shù)據(jù)中的定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)只適用于定量數(shù)據(jù)只適用于定量數(shù)據(jù)2.定量數(shù)據(jù)定量數(shù)據(jù):若是若是鐘形分布，鐘形分布，三種集中趨勢指標一般三種集中趨勢指標一般 都可適用。而都可適用。而對對J形形分布，分布，反反J形形分布和分布和U形分布，中位形分布，中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)沒有任何意義。數(shù)和算術(shù)平均數(shù)沒有任何意義。3.3.在確定集中趨勢指標的過程中，算術(shù)平均數(shù)比中位在確定集中趨勢指標的過程中，算術(shù)平均數(shù)比中位數(shù)和眾數(shù)使用了更多的數(shù)據(jù)信息數(shù)和眾數(shù)使用了更多的數(shù)據(jù)信息 。4.對于鐘形分布且數(shù)據(jù)量很大時，三種集中趨勢指標有對于鐘形分布且數(shù)據(jù)量很大時

16、，三種集中趨勢指標有如下三種數(shù)量關(guān)系：如下三種數(shù)量關(guān)系： XfXfXfMoMex(對稱分布對稱分布)MoMex正偏態(tài)分布正偏態(tài)分布（右）（右）MoMex負偏態(tài)分布負偏態(tài)分布(左）左）1212xxMeMeMoMoxMeMo應(yīng)用平均指標的原則：應(yīng)用平均指標的原則：1必須是同質(zhì)的量方可平均；必須是同質(zhì)的量方可平均；2總平均數(shù)與組平均數(shù)結(jié)合分析；總平均數(shù)與組平均數(shù)結(jié)合分析；3集中趨勢與離散趨勢結(jié)合分析集中趨勢與離散趨勢結(jié)合分析概念概念標志變異指標是反映變量分布標志變異指標是反映變量分布離散趨勢離散趨勢、與平均、與平均指標指標相匹配相匹配的指標。的指標。 （1）反映變量分布的離散趨勢；）反映變量分布的離

17、散趨勢； （3）是對事物發(fā)展均衡性的量度）是對事物發(fā)展均衡性的量度。 （2）是對平均數(shù)的代表性程度的量度；）是對平均數(shù)的代表性程度的量度；作用作用概概 念念 計計 算方法算方法 特特 點點是非眾數(shù)組所是非眾數(shù)組所占比重占比重 1異眾異眾比率比率 如百得便利超市如百得便利超市公司公司5050家門店按家門店按區(qū)域劃分的眾數(shù)區(qū)域劃分的眾數(shù)是是A區(qū)域，該組的區(qū)域，該組的次數(shù)是次數(shù)是20家，所家，所以異眾比率為以異眾比率為60%，這說明，這說明5050家門店按區(qū)域劃家門店按區(qū)域劃分的離散程度比分的離散程度比較大，眾數(shù)的代較大，眾數(shù)的代表性較差。表性較差。 異眾比率是反映異眾比率是反映定名數(shù)據(jù)離散趨定名數(shù)

18、據(jù)離散趨勢的唯一指標，勢的唯一指標，這個指標越小，這個指標越小，說明數(shù)據(jù)的離散說明數(shù)據(jù)的離散程度越小，集中程度越小，集中程度越大程度越大 概概 念念 計計 算算 特特 點點數(shù)列中最大值數(shù)列中最大值與最小值之差與最小值之差2極差極差 （R）R=最大值最大值-最小值最小值R=最大組的上限最大組的上限-最小組的下限最小組的下限 優(yōu)點：容易理解，優(yōu)點：容易理解， 計算方便計算方便缺點：不能反映全缺點：不能反映全部數(shù)據(jù)分布狀況部數(shù)據(jù)分布狀況3四分四分位差位差 （M3- M1）/2 在反映數(shù)據(jù)的離在反映數(shù)據(jù)的離散程度方面比全散程度方面比全距較為準確，但距較為準確，但仍顯粗略仍顯粗略 是一批數(shù)據(jù)中是一批數(shù)據(jù)

19、中的第三四分位的第三四分位數(shù)與第一四分數(shù)與第一四分位數(shù)之差的二位數(shù)之差的二分之一分之一 概概 念念 計計 算算 特特 點點4平均差平均差 （AD）各標志值與各標志值與均值離差絕均值離差絕對值的算術(shù)對值的算術(shù)平均平均iiffiXXADnXXADi簡單：簡單：加權(quán)：加權(quán)：優(yōu)點：反映全部優(yōu)點：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況數(shù)據(jù)分布狀況 缺點：取絕對值缺點：取絕對值 數(shù)字上數(shù)字上 不盡合理不盡合理所 有 觀 察 值所 有 觀 察 值與 平 均 數(shù) 離與 平 均 數(shù) 離差 平 方 平 均差 平 方 平 均數(shù) 的 平 方 根數(shù) 的 平 方 根， 亦 稱 均 方， 亦 稱 均 方差 。 標 準 差差 。 標 準 差的

20、 平 方 即 為的 平 方 即 為方差。方差。 5方差方差（2 s2） 和和 標準差標準差( s)優(yōu)點：反映全部優(yōu)點：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況，數(shù)據(jù)分布狀況，數(shù)字上合理。數(shù)字上合理。缺點：受計量單缺點：受計量單位和平均水平影位和平均水平影響，不便于比較響，不便于比較簡單簡單：加權(quán)加權(quán)：ffXX22nXXi2221)(22nxxS1)(22ffxxS2ss 概概 念念 計計 算算 特特 點點6標準標準差系差系 數(shù)數(shù) （V）標準差與標準差與均值之商均值之商，是無量，是無量綱的綱的兩列數(shù)據(jù)的分布進行離兩列數(shù)據(jù)的分布進行離散程度的比較，當它們散程度的比較，當它們的的平均數(shù)不等、計量單平均數(shù)不等、計量單位不

21、同時位不同時則應(yīng)消除平均則應(yīng)消除平均數(shù)不同和計量單位不可數(shù)不同和計量單位不可比的影響。此時就需要比的影響。此時就需要用離散系數(shù)這種相對數(shù)用離散系數(shù)這種相對數(shù)來是測定離散趨勢來是測定離散趨勢 XV方差（方差（2）和標準差（）和標準差（）是應(yīng)用最廣的標志變異指標）是應(yīng)用最廣的標志變異指標NXXNii122)(KiiKiiiFFXX1122)(NXXNii12)(KiiKiiiFFXX112)(1)(1221nxxSniinkiikiiinffxxS112211)(1)(121nxxSniinkiikiiinffxxS11211)(3 . 816) 5 . 88 () 5 . 85 () 5 . 8

22、10(1)(2221221nxxSniin樣本標準差樣本標準差88. 23 . 81)(121nxxSniin) 1(11)(21121221nnxnxnxxSniiniiniin 212122)(XNXNXXNiiNii2021202)(XXNXXDNii偏度偏度:是測定數(shù)據(jù)分布的偏斜程度的指標是測定數(shù)據(jù)分布的偏斜程度的指標.。 定義定義M=(X-A)k/n為變量為變量X關(guān)于關(guān)于A的的k階矩階矩。 當當A=0，即以原點為中心，上式稱為，即以原點為中心，上式稱為“K階原點矩階原點矩”。K=1，2，3時，有：時，有：一階原點矩一階原點矩M1=(X-0)1/n=X/n二階原點矩二階原點矩M2=(X-0)2/n=X2/n三階原點矩三階原點矩M3=(X-0)3/n=X3/n 當當A= 0 ，即以，即以 為中心，上式稱為為中心，上式稱為“K階中心矩階中心矩”。xK=1，2，3時，有：時，有：0/)(11nXXmnXXm/)(22nXXm/)(33 所以，所以，m3可以測定偏度。為消除量綱，轉(zhuǎn)變?yōu)橄禂?shù)可以測定偏度。為消除量綱，轉(zhuǎn)變?yōu)橄禂?shù)