概率論 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布§1二維隨機(jī)變量 定義1 設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)，則由定義在的樣板空間上的隨機(jī)變量與構(gòu)成的有序?qū)ΨQ為二維隨機(jī)變量（或二維隨機(jī)向量）。定義2 對(duì)任意實(shí)數(shù)，二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù)。若把二維隨機(jī)變量看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)就表示隨機(jī)點(diǎn)落在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的左下方的無限矩形域內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：（1），且 對(duì)任意固定的， 對(duì)任意固定的， ，。（2）分別是和的不減函數(shù)。（3），即關(guān)于或均右連續(xù)。（4）若，則如果二維隨機(jī)變量可能取的值是有限對(duì)或可列無限對(duì)，則稱是二維離散型隨機(jī)變量。的分布律或和的聯(lián)合分布律為，。其中

2、滿足 （1） （2）。和的聯(lián)合分布律也可用表格表示：和的聯(lián)合分布函數(shù)為。【例一箱子裝有5件產(chǎn)品，其中2件正品，3件次品每次從中取1件產(chǎn)品檢驗(yàn)質(zhì)量，不放回地抽取，連續(xù)抽取兩次定義隨機(jī)變量和如下：試求的分布律和分布函數(shù)。 解對(duì)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意的有則稱是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為的概率密度，或稱為和的聯(lián)合概率密度。具有性質(zhì)（1）。（2）。（3）設(shè)是平面上的區(qū)域，則落在內(nèi)的概率為。（4）若在點(diǎn)連續(xù)，則有?！纠O(shè)G是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A。二維隨機(jī)變量只在G中取值，并且取G中的每一個(gè)點(diǎn)都是“等可能的”，則的概率密度為稱其服從G上的均勻分布?！纠O(shè)二維隨機(jī)變量具有

3、概率密度（1）求分布函數(shù)；（2）求概率§2邊緣分布 二維隨機(jī)變量作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)。而隨機(jī)變量和各自的分布函數(shù)，分別記為，依次稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)可由分布函數(shù)確定。同理 其中 。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，由知的分布律為，同理的分布律為 ，分別稱和為二維離散型隨機(jī)變量關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，由知的概率密度為同理的概率密度為分別稱和為二維連續(xù)型隨機(jī)變量關(guān)于和關(guān)于的邊緣概率密度?！纠?】設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布律為且，求（1）的值；（2）關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律。解 （1）由，即，得。再由，得，最后得。（2）聯(lián)合分布律為關(guān)于和關(guān)于的邊

4、緣分布律為 和 【例2把兩封信隨機(jī)投入已編好號(hào)的3個(gè)郵筒內(nèi)，設(shè)、分別表示投入第1，2個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目，求的分布律及邊緣分布律。【例3把2個(gè)紅球和2個(gè)白球隨機(jī)投入已編好號(hào)的3個(gè)盒子內(nèi)，設(shè)表示落入第1個(gè)盒子內(nèi)紅球的數(shù)目，表示落入第2個(gè)盒子內(nèi)白球的數(shù)目，求的分布律及邊緣分布律。【例設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，求邊緣概率密度和。§4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 定義 設(shè)及分別是二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對(duì)所有有即 則稱隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立的。 一般由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布，但當(dāng)隨機(jī)變量具有獨(dú)立性時(shí)，聯(lián)合分布就可由邊緣分布確定。當(dāng)是二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，與相互獨(dú)立的充分必要條件是

5、即 ，。當(dāng)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，與相互獨(dú)立的充分必要條件是。在平面上幾乎處處成立?！纠O(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布律如下表所示：（1）問取什么值時(shí)，與相互獨(dú)立；（2）對(duì)上述求得的，求的分布函數(shù)。解 （1）的分布律和邊緣分布律由與相互獨(dú)立，得 ， ， （2）關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律 和 關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)， 的分布函數(shù)【例一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在812時(shí)，他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在79時(shí)設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間是相互獨(dú)立的，求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘（1/12小時(shí)）的概率 定理1 設(shè)和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，和是上的連續(xù)函數(shù)，則和也是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。 定理2 設(shè)和

6、相互獨(dú)立，則和相互獨(dú)立。又若和是連續(xù)函數(shù)，則和也相互獨(dú)立。§5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 一. 兩個(gè)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布律為 。則的函數(shù)的分布律可按以下步驟計(jì)算： （1）計(jì)算 ，將其中互不相同的按由小到大次序排列，設(shè)為；（2）按以下公式計(jì)算取各個(gè)的概率【例設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律為試求的分布律。 二. 兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布僅討論以下幾個(gè)具體的函數(shù)。（1）的分布設(shè)的概率密度為，則的分布函數(shù)為 。的概率密度為 或 。又若與相互獨(dú)立，則 或 ?！纠话?，設(shè)與相互獨(dú)立，且，則仍然服從正態(tài)分布，且有【例3】吳書p.82.例3。設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其概率密度分別為， 求的概率密度。（2）和的分布和的概率密度分別為，又若與相互獨(dú)立，則，【例某公司提供一種保險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)的概率密度為保險(xiǎn)賠付的概率密度為設(shè)與相互獨(dú)立，求的概率密度?！纠O(shè)二維隨機(jī)變量在矩形域上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為和的矩形面積的概率密度。解 的概率密度為 ， 當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí) （3）及的分布設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為和。的分布函數(shù)為 。的分布函數(shù)為