二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題

1、第3講二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題【2013年高考會(huì)這樣考】1考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標(biāo)函數(shù)最值(或取值范圍)2考查約束條件、目標(biāo)函數(shù)中的參變量的取值范圍【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1掌握確定平面區(qū)域的方法(線定界、點(diǎn)定域)2理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，掌握解決線性規(guī)劃問題的方法(圖解法)，注意線性規(guī)劃問題與其他知識(shí)的綜合基礎(chǔ)梳理1二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，直線l：axbyc0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分：直線l上的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0；直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0；直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0.

2、所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn)(x0，y0)，從ax0by0c值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域(2)由于對(duì)直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入AxByC所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，由Ax0By0C的符號(hào)即可判斷AxByC0表示直線AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域2線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行

3、解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題一種方法確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時(shí)，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法(1)直線定界，即若不等式不含等號(hào)，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號(hào)，把直線畫成實(shí)線(2)特殊點(diǎn)定域，即在直線AxByC0的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測試點(diǎn)代入不等式檢驗(yàn)，若滿足不等式，則表示的就是包括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)特別地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為測試點(diǎn)；當(dāng)C0時(shí)，常選點(diǎn)(1,0)或者(0,1)作為測試點(diǎn)一個(gè)步驟利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(

4、1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值兩個(gè)防范(1)畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化(2)求二元一次函數(shù)zaxby(ab0)的最值，將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值要注意：當(dāng)b0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)如圖所示

5、的平面區(qū)域(陰影部分)，用不等式表示為()A2xy30B2xy30C2xy30D2xy30解析將原點(diǎn)(0,0)代入2xy3得2×00330，所以不等式為2xy30.答案B2下列各點(diǎn)中，不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()A(0,0) B(1,1) C(1,3) D(2，3)解析逐一代入得點(diǎn)(1,3)不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)答案C3如圖所示，陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示的是()A. B.C. D.解析兩條直線方程為：xy10，x2y20.將原點(diǎn)(0,0)代入xy1得10，代入x2y2得20，即點(diǎn)(0,0)在x2y20的內(nèi)部，在xy10的外部，故所求二元一次不等式組為

6、答案A4(2011·安徽)設(shè)變量x，y滿足|x|y|1，則x2y的最大值和最小值分別為()A1，1 B2，2C1，2 D2，1解析法一特殊值驗(yàn)證：當(dāng)y1，x0時(shí)，x2y2，排除A，C；當(dāng)y1，x0時(shí)，x2y2，排除D，故選B.法二直接求解：如圖，先畫出不等式|x|y|1表示的平面區(qū)域，易知當(dāng)直線x2yu經(jīng)過點(diǎn)B，D時(shí)分別對(duì)應(yīng)u的最大值和最小值，所以u(píng)max2，umin2.答案B5完成一項(xiàng)裝修工程需要木工和瓦工共同完成請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，請工人的約束條件是_答案 考向一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

7、【例1】(2011·湖北)直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D無數(shù)個(gè)審題視點(diǎn) 準(zhǔn)確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，比較直線2xy100與4x3y200的斜率即可判斷解析由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分)直線2xy100恰過點(diǎn)A(5,0)，且斜率k2kAB，即直線2xy100與平面區(qū)域僅有一個(gè)公共點(diǎn)A(5,0)答案B 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分【訓(xùn)練1】 已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為()A1 B3 C1或3 D0解析其中平面區(qū)域k

8、xy20是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平面直線kxy20又過定點(diǎn)(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個(gè)封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k1.答案A考向二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2】(2011·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)則zO·O的最大值為()A3 B4 C3 D4審題視點(diǎn) 作出平行域D，然后解出目標(biāo)函數(shù)z的表達(dá)式，用截距法求z的最大值解析畫出區(qū)域D，如圖中陰影部分所示，而zO·Oxy，yxz，令l0：yx，將l0平移到

9、過點(diǎn)(，2)時(shí)，截距z有最大值，故zmax×24.答案B 求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，必須先求出準(zhǔn)確的可行域，令目標(biāo)函數(shù)等于0，將其對(duì)應(yīng)的直線平行移動(dòng)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是最優(yōu)解【訓(xùn)練2】 已知變量x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)zaxy(其中a0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是()A. B.C. D.解析畫出x、y滿足條件的可行域如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)zaxy僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則直線yaxz的斜率應(yīng)小于直線x2y30的斜率，即a，a.答案D考向三求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例3】變量x、y滿足(1)設(shè)z，求z的最小值；(2)設(shè)zx2y2，求z的取值范圍審題視

10、點(diǎn) 利用目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義求解解由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z.z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率觀察圖形可知zminkOB.(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29. 求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先準(zhǔn)確地作出線性約束條件表示的可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定取得最優(yōu)解的點(diǎn)，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值【訓(xùn)練3】 如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上，點(diǎn)Q在曲線x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值為()A. B.1C21 D.1解析如

11、圖，當(dāng)P取點(diǎn)，Q取點(diǎn)(0，1)時(shí)，|PQ|有最小值為.答案A考向四線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例4】某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力、煤和電耗如下表：產(chǎn)品品種勞動(dòng)力(個(gè))煤(噸)電(千瓦)A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè)，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？審題視點(diǎn) 題目的設(shè)問是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤”，這個(gè)利潤是由兩種產(chǎn)品的利潤所決定的，因此A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤，這里兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量是問題的主要

12、變量，故可以設(shè)出A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，列不等式組和建立目標(biāo)函數(shù)解設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤為z萬元，依題意，得目標(biāo)函數(shù)為z7x12y.作出可行域，如圖陰影所示當(dāng)直線7x12y0向右上方平行移動(dòng)時(shí)，經(jīng)過M(20,24)時(shí)z取最大值該企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時(shí)，才能獲得最大利潤 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題【訓(xùn)練4】 (2011·四川)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車某天

13、需運(yùn)往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤350元該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z()A4 650元 B4 700元C4 900元 D5 000元解析設(shè)派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，獲得的利潤為z元，z450x350y，由題意，x、y滿足關(guān)系式作出相應(yīng)的平面區(qū)域，z450x350y50(9x7y)，在由確定的交點(diǎn)(7,5)處取得最大值4 900元答案C難點(diǎn)突破16高考中線性規(guī)劃問題近幾年新課標(biāo)高考對(duì)線性規(guī)劃問題的考查主要是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，線性約束條件下的線性目標(biāo)函